張世欽

【摘要】反思，可以提高自身學(xué)習(xí)效能、培養(yǎng)自身的學(xué)科素養(yǎng)；反思也是學(xué)習(xí)提高的重要環(huán)節(jié)，提高數(shù)學(xué)解題能力是學(xué)生不懈追求的目標(biāo)，也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的必要手段；通過反思，可以不斷積累經(jīng)驗，培養(yǎng)思維的深刻性與批判性，從而激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣；進(jìn)一步推動學(xué)生的探究意識，發(fā)展學(xué)生思維創(chuàng)造力.本文通過對反思解題規(guī)律、解題思維、數(shù)形結(jié)合思想等等的探究，闡述了如何養(yǎng)成反思習(xí)慣，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，提高學(xué)習(xí)的有效性.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；解題能力；教學(xué)反思

“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆.”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，許多學(xué)生只注意解題的數(shù)量，而不重視解題的質(zhì)量；只重視解題的結(jié)果，而不重視解題的過程.要讓學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)方法，就必須把學(xué)生從題海中領(lǐng)出來，引導(dǎo)學(xué)生從題目特征、解決問題的規(guī)律、思維策略等方面進(jìn)行多角度、多側(cè)面的反思，只有這樣才能拓寬思路，優(yōu)化解法，提高學(xué)習(xí)效率，增強(qiáng)創(chuàng)造性解決問題的能力.筆者結(jié)合平時的教學(xué)實踐對培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣做一些探索.

一、反思解題規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生探究精神

同一類型的問題，解題方法往往有其規(guī)律性，因此當(dāng)一個問題解決后，要不失時機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生反思解題方法，認(rèn)真總結(jié)解題規(guī)律，力圖從解決問題中找出新的普遍適用的東西，提高解決問題的能力.

如，在有些分式加減法運(yùn)算中，用常規(guī)方法通分去解相當(dāng)煩瑣，如果根據(jù)題型特征用拆項法解，能夠化繁為簡，化難為易，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.如果分式分母中的兩個因式相差1，逆用分式減法法則拆項.即表示為1x（x+1）=1x-1x+1.

例計算：1x（x+1）+1（x+1）（x+2）+…+1（x+99）（x+100）.

解原式=1x-1x+1+1x+1-1x+2+…+1x+99-1x+100

=1x-1x+100=100x2+100x.

通過例1的解法學(xué)生豁然開朗，較大地激發(fā)了學(xué)生的好奇心和解題積極性.這時教師及時給出練習(xí)1、練習(xí)2.

練習(xí)1解方程：1x+4+1（x+1）（x+2）+1（x+2）（x+3）+1（x+3）（x+4）=2.

解原方程可化為

1x+4+1x+1-1x+2+1x+2-1x+3+1x+3-1x+4=2，

1x+1=2，

去分母得2（x+1）=1，解得x=-12.

經(jīng)檢驗x=-12是原方程的根.

練習(xí)2化簡：a-bab+b-cbc+c-aca.

解原式=1b-1a+1c-1b+1a-1c=0.

數(shù)學(xué)問題，浩如煙海，根據(jù)題目特征，尋找解題規(guī)律，另辟蹊徑，?？色@得別開生面的妙解.通過此類題型的解答引導(dǎo)學(xué)生反思解題規(guī)律，即如果分式分母中的兩個因式相差1，逆用分式減法法則拆項即可簡化運(yùn)算，進(jìn)而提高學(xué)生的解題應(yīng)變能力.

又如，正方形ABCD與正方形CEFG的位置如圖所示，點G在線段CD或CD的延長線上.分別連接BD，BF，F(xiàn)D，得到△BFD.

（1）在圖1-圖3中，若正方形CEFG的邊長分別為1，3，4，且正方形ABCD的邊長均為3，請通過計算填寫下表.

正方形CEFG的邊長134

△BFD的面積

圖1

圖2

圖3

（2）若正方形CEFG的邊長為a，正方形ABCD的邊長為b，猜想S△BFD的大小，并結(jié)合圖3證明你的猜想.

解（1）92；92；92.

（2）猜想：S△BFD=b22.

證明：證法1：S△BFD=S△BCD+S△梯形DCEF-S△BEF

=b22+12a（a+b）-12a（a+b）=b22.

證法2：如圖，連接CF，由正方形的性質(zhì)可知∠DBC=∠FCE=45°，∴BD∥CF，

∴△BFD與△BCD的BD邊上的高相等，

∴S△BFD=S△BCD=b22.

本題（1）學(xué)生比較容易得出，并且發(fā)現(xiàn)正方形CEFG的邊長發(fā)生變化，但△BFD的面積卻不變.這樣引起學(xué)生的好奇心，是不是真的有這個關(guān)系呢？此時學(xué)生的思維處在獲得成功的興奮中，于是不失時機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生思考（2）.

經(jīng)過學(xué)生們的探索、反思，馬上有學(xué)生猜想得出了結(jié)論：S△BFD=b22.并通過數(shù)學(xué)推理加以證明.本題通過反思，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，反思解題規(guī)律，從而推廣出一類問題的解決辦法，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的深入鉆研的良好習(xí)慣，提高解題能力.

二、反思題目特征，培養(yǎng)發(fā)散思維

如何反思題目特征呢？我們首先應(yīng)從多角度、多方面、多層次去思考問題、認(rèn)識問題和解決問題，只有這樣才能將題目的特征反思得透徹，有利于將題目逐步引申、變式、推廣，不僅能鞏固所學(xué)的知識，而且能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的發(fā)散性，提高應(yīng)變能力.

又如，在復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識時，我布置了這樣一道作業(yè)題：

（1）如圖4所示，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內(nèi)部任意一點，將AP繞A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ，使得∠QAP=∠BAC，連接BQ，CP，求證BQ=CP.

通過對圖4的分析，大部分學(xué)生都能夠通過證明△ABQ≌△ACP，從而證得BQ=CP.當(dāng)直接證明原題后，可改變題目的條件，使圖形發(fā)生變化，在運(yùn)動變化中觀察相關(guān)圖形的變化，發(fā)現(xiàn)隱含在其中的不變量，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

圖4

圖5

（2）變式：若將點P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，“BQ=CP”仍然成立嗎？若成立，請你就圖5給出證明；若不成立，請說明理由.

此題圖形有交叉，初一看圖感覺有點亂.但只要仔細(xì)一看就會發(fā)現(xiàn)一樣能夠通過證明△ABQ≌△ACP，從而證得BQ=CP.endprint

比較兩題證法：

證明（1）∵∠QAP=∠BAC，

∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP，

即∠QAB=∠PAC.

在△BQA和△CPA中，AQ=AP，∠QAB=∠PAC，AB=AC，

∴△BQA≌△CPA（SAS），∴BQ=CP.

（2）BQ=CP仍然成立，理由如下：

∵∠QAP=∠BAC，

∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，

即∠QAB=∠PAC.

在△QAB和△PAC中，AQ=AP，∠QAB=∠PAC，AB=AC，

∴△QAB≌△PAC（SAS），∴BQ=CP.

通過證明過程我們發(fā)現(xiàn)，兩題證法的步驟、依據(jù)都一樣.在這一變式題中，證明過程都不復(fù)雜，而且上述結(jié)論都成立.但通過對原題的圖形適當(dāng)?shù)刈冃?，有利于激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，培養(yǎng)思維的靈活性.

又如，在勾股定理的簡單應(yīng)用中，我給學(xué)生出了這樣幾道題：

（1）如圖6所示，三個正方形中的兩個面積分別為25和46，則第三個正方形的面積為.

（2）如圖7所示，分別以直角三角形的三邊為邊長向外作正方形，然后分別以三個正方形的中心為圓心，正方形邊長的一半為半徑作圓，記三個圓的面積分別為S1，S2，S3，則S1，S2，S3之間的關(guān)系是.（S1+S2=S3）

（3）如圖8所示，△ABC是直角三角形，∠C=90°，AB=40，BC=24，試求以AC為直徑的半圓的面積.

圖6

圖7

圖8

通過對（1）、（2）、（3）題的解法引導(dǎo)學(xué)生反思此類題型的解題規(guī)律，圖中的S1，S2，S3都是由直角三角形三邊向外做的而且都相似，則面積一定有S1+S2=S3.

（4）在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖9所示）.已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=.

圖9

這一組變式題，解答過程都不復(fù)雜.但通過對原題的圖形適當(dāng)?shù)刈冃危m度地引申，使多題的問題變?yōu)橐恢v，這樣有利于激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的探索精神.在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，也充分證實了這一點，不僅活躍了課堂氣氛，學(xué)生們的思維廣闊性也得到了發(fā)展.

三、反思題目隱含條件，提高思維全面性

解數(shù)學(xué)題時往往有這么一種現(xiàn)象：對有一些含有附加條件的問題簡單易解，但結(jié)果經(jīng)常出錯，原因是學(xué)生沒有充分考慮條件中隱含的深層含義，挖掘所有的內(nèi)容.

如，先化簡1+1x-1÷xx2-1，再任意選擇一個你喜歡的x值代入并求值.

解原式=x+1（解略）.當(dāng)x=0時，原式=1.

反思錯解原因，此題關(guān)于化簡比較簡單，但在求值時題目沒有給出字母的具體取值，看起來簡單但實際要求更高.雖然化簡結(jié)果x+1中x的取值不受限制，但實際解題中還需考慮分式是否有意義這一隱含條件.故本題x的取值中1，-1，0都不能取到.

又如，已知a-b=2，（a-1）（b+2）

（1）求a的取值范圍；

（2）若a2+2ab+a+b2-b=38，求a+b的值.

解（1）∵（a-1）（b+2）

又∵a-b=2，∴a<-2.

（2）∵a2+2ab+a+b2-b=38，

∴a2+2ab+b2+a-b=38，

∴a2+2ab+b2=36，

即（a+b）2=36，∴a+b=6或-6.

反思錯解原因，本題共有兩問：（1）由題目已知條件直接求出a的取值范圍；（2）通過化簡得到（a+b）2=36，進(jìn)而得到a+b=6或-6.固然沒錯，但由（1）我們易得a，b都為負(fù)數(shù)，所以a+b=-6.

通過這些題的反思訓(xùn)練，使學(xué)生們領(lǐng)悟到審題一定要仔細(xì)，要注意對隱含條件的挖掘，提高思維的全面性.“吃一塹，長一智”，從錯誤中得到的教訓(xùn)，更能發(fā)人深思.

四、反思數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

數(shù)學(xué)思想方法主要有函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合，而初中學(xué)生運(yùn)用較多的是方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想，這幾種思想方法要注意在平時教學(xué)過程中滲透給學(xué)生.

例如，一個三角形三個內(nèi)角之比為2∶3∶4，求這三個角的度數(shù).這道題就可以運(yùn)用方程的思想解題.設(shè)三個角的度數(shù)分別為2x，3x，4x，則有2x+3x+4x=180，從而得出答案.

在解答某些數(shù)學(xué)問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法.

圖10

例如，如圖10所示，在y軸上求一點P，使△PAO為等腰三角形，求出滿足條件的P點的坐標(biāo).

本題所求P點滿足△PAO為等腰三角形，但沒說誰是腰誰是底，故要進(jìn)行分類討論：

① 當(dāng)OA為腰時，求出P點的坐標(biāo)（3點）；

② 當(dāng)OA為底時，求出P點的坐標(biāo)（1點）.

又如，求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整數(shù).

對于這個求和問題，如果采用純代數(shù)的方法（首尾兩頭加），問題雖然可以解決，但在求和過程中，需對n的奇偶性進(jìn)行討論.

如果采用數(shù)形結(jié)合的方法，即用圖形的性質(zhì)來說明數(shù)量關(guān)系的事實，那就非常的直觀.現(xiàn)利用圖形的性質(zhì)來求1+2+3+4+…+n的值？槳溉縵攏喝繽？11所示，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1，2，3，…，n個小圓圈排列組成的.而組成整個三角形的小圓圈的個數(shù)恰為所求式子1+2+3+4+…+n的值.為求式子的值，現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個平行四邊形.此時，組成平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有（n+1）個小圓圈，所以組成平行四邊形小圓圈的總個數(shù)為n（n+1）個，因此，組成一個三角形小圓圈的個數(shù)為n（n+1）2，即1+2+3+4+…+n=n（n+1）2.

圖11

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化、相互滲透.

總之，靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題，會使解題顯得更為游刃有余，要注意在解題教學(xué)的過程中注意滲透給學(xué)生，讓學(xué)生在潛移默化中學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題.

五、反思思維過程，培養(yǎng)思維的靈活性

解題的關(guān)鍵是從已知和未知中尋找解題途徑，學(xué)生在做完一道題后的反思，不僅是簡單回顧或檢驗，而應(yīng)根據(jù)題目的基本特征與特殊因素，進(jìn)行多角度、多方位的觀察、聯(lián)想.反思自己的解答過程，分析比較，找出最佳解法.在解題中培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的靈活性.

圖12

例如，如圖12所示，四邊形ABCD中，∠C>90°，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，AB=3，tanA是關(guān)于x的方程x2-23x+14（m2-2m+13）=0的一個實數(shù)根，求tanA.

對于此題，很多學(xué)生在解題時，沒有清晰的思路，一開始就從tanA是關(guān)于x的方程x2-23x+14（m2-2m+13）=0的一個實數(shù)根去考慮，直接將tanA代入計算但很快發(fā)現(xiàn)行不通，因為一個方程出現(xiàn)兩個未知數(shù)根本沒法解.于是在點評時，我鼓勵大家反思題目已知條件，既然從tanA入手有困難，何不以方程有實數(shù)根入手試試看？學(xué)生受到啟發(fā)：關(guān)于x的一元二次方程有根，得出Δ≥0，從而得到Δ=-m2+2m-1=-（m-1）2≥0，（m-1）2≤0，得m=1，從而得到解答.

又如，在利用函數(shù)圖像求不等式解集的教學(xué)中我補(bǔ)充了這樣3道題：

圖13

（1）根據(jù)圖13所示的圖像，指出：

① x取什么值時，函數(shù)值y等于零？

② x取什么值時，函數(shù)值y始終大于零？

本題對學(xué)生來講并不難，因為題目就一條直線，函數(shù)值y的大小很容易判斷.但在教學(xué)過程中我發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生都不習(xí)慣看圖而是通過計算求出取值范圍.

于是我給出了第（2）題：

圖14

（2）對照圖14所示的圖像，請回答下列問題：

① 當(dāng)x取何值時，2x-5=-x+1？

② 當(dāng)x取何值時，2x-5>-x+1？

③ 當(dāng)x取何值時，2x-5<-x+1？

這時發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生還是通過計算得到，只有少部分學(xué)生懂得看圖.

緊接著我給出第（3）題：

圖15

（3）如圖15所示，觀察圖像并回答：當(dāng)x為何值時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值？（已知一次函數(shù)關(guān)系式為y=-x-1，反比例函數(shù)關(guān)系式為y=-2x）

這時學(xué)生如果還想像剛才（1）（2）題一樣通過計算得到，就會發(fā)現(xiàn)計算比較煩瑣，甚至算不出來.于是我趁熱打鐵，把握時機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生看圖，觀察能不能用“從優(yōu)”“從快”的方法解決此題，讓學(xué)生反思題目條件，觀察圖像直接回答，進(jìn)一步讓學(xué)生通過反思探索，歸納與函數(shù)圖像有關(guān)的不等式解集的求法.總結(jié)解答此類題目的有效方法，使學(xué)生思維的靈活性在變換和化歸的訓(xùn)練中得到培養(yǎng)和發(fā)展.

總之，解題反思是一門很深的學(xué)問，還包括很多方面，但是學(xué)生在每次解題過程中如能先思考題目特征，觀察隱含條件，對解題過程中反映的數(shù)學(xué)思想、解題規(guī)律、思維過程進(jìn)行總結(jié)、概括，這樣，不僅能鞏固知識，避免解題錯誤，還可以把解決問題的數(shù)學(xué)思想方法及對問題的再認(rèn)識轉(zhuǎn)化為一個學(xué)習(xí)過程，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，優(yōu)化他們的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)習(xí)的效率.endprint