劉小君

課后作業(yè)是以鞏固學習效果而安排的作業(yè)，是課堂教學過程中非常重要的組成部分，是鞏固新學知識、形成技能技巧、培養(yǎng)良好的思維品質、發(fā)展學生智力的重要途徑，是課堂教學過程中不可缺少的一環(huán).

學生的規(guī)范解題可以彰顯其數(shù)學素養(yǎng)，或者對其數(shù)學成績的提高也會有一定的作用，然而學生的規(guī)范解題來自于數(shù)學教師的規(guī)范教學，具體包含言行規(guī)范、板書規(guī)范、教材使用規(guī)范、推理論證規(guī)范、教法規(guī)范、運算求解規(guī)范、解題格式規(guī)范以及創(chuàng)新教學規(guī)范等.

案例（普陀中學高二第二次校考模擬卷第20題）

已知函數(shù)f（x）=ln（2ax+1）+x33-x2-2ax.

（1）若x=2為f（x）的極值點，求實數(shù)a的值；

（2）若y=f（x）在[3，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）當a=-12時，方程f（1-x）=（1-x）33+bx有實根，求實數(shù)b的最大值.

一、作業(yè)說明

本題對學生的要求比較高，考查對導函數(shù)、命題的等價條件等知識的綜合應用，學生雖然感覺很困難，但還是盡其所能.雖然結果不是很讓人滿意，但呈現(xiàn)出的問題值得學生以及教師思考、反思.

二、作業(yè)批改情況

（一）常見問題

第（1）小題：

① 部分學生對復合函數(shù)的求導法則不清楚；

② 由f′（x）=0得出a=0，沒有驗證是不是極值點.

第（2）小題：

① 不能正確理解“y=f（x）在[3，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)”，找不到其等價命題；

② 忽略了y=f（x）的定義域對a的范圍的限制；

③ 不能正確解答不等式；

④ 最后未總結得出a的取值范圍.

問題解法：f′（x）=x[2ax2+（1-4a）x-（4a2+2）]2ax+1，由題意知f′（x）=0在[3，+∞）內(nèi)有實數(shù)解.

令G（x）=2ax2+（1-4a）x-（4a2+2），則G（x）=0在[3，+∞）內(nèi)有實數(shù)解.

a=0，不符舍去；

a>0，G（3）<0，解得a∈3+134，+∞；

a<0，G（3）>0，解得a∈3-134，0；

綜上，a∈3-134，0∪3+134，+∞.

問題原因：題中[3，+∞）決定了函數(shù)的定義域的范圍，學生忽略了這一條件對a的取值范圍的影響.這也是學生在平時作業(yè)、考試中經(jīng)常犯錯的地方，因為忽略函數(shù)的定義域而導致求解錯誤，這一問題常見于對數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)、正切函數(shù)及復合函數(shù)中，學生需引起注意，否則，“成千古恨”.

第（3）小題：

① 不能得出原命題的等價命題；

② 此題對學生構造函數(shù)的能力要求較高；

③ 忽略了構造后的函數(shù)的定義域.

問題解法1：當a=-12時，方程f（1-x）=（1-x）33+bx可化為lnx-（1-x）2+（1-x）=bx，

令h（x）=lnx+x-x2（x>0）則h′（x）=1x+1-2x=（2x+1）（1-x）x，所以當00，從而h（x）在（0，1）上為增函數(shù)；

當x>1時，h′（x）<0，從而h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù).

因此，h（x）≤h（1）=0.∴bx≤0，又x>0，∴b≤0，即b的最大值為0.

問題原因：忽略了在lnx-（1-x）2+（1-x）=bx中，左右兩邊的x是同時存在的，而不是獨立存在的，這樣做題，就曲解了題目的意思，雖然結果是一樣的，但過程所體現(xiàn)的思想、邏輯完全不同，可以說，學生的這種邏輯是錯誤的.

問題解法2：當a=-12時，方程f（1-x）=（1-x）33+bx可化為b=xlnx-x（1-x）2+x（1-x）=xlnx+x2-x3在（0，+∞）上有解，令g（x）=xlnx+x2-x3，則g′（x）=lnx-3x2+2x+1.

注意到，當x=1時，有g′（x）=0，∴當x=1時，b取得最大值0.

問題原因：學生猜測b的最大值在g′（x）=0時取得，邏輯不嚴謹，這也是因為學生沒有繼續(xù)研究y=g′（x）的導函數(shù)的性質所致.

接下去進一步完善學生的解法得到b的最大值為0.

三、教學建議

1.注重數(shù)學教學中常見詞“極值點”“單調(diào)函數(shù)”“有實根”的理解；

2.注重學生讀題、審題能力的培養(yǎng)，首先要分清已知、未知條件，再尋求題目的等價命題；

3.在平時的訓練解題中，應重視學生的數(shù)據(jù)處理能力和運算求解能力的提高培養(yǎng)；

4.教師在平時的教學中應注重對應用類題型及相應解題策略的歸納與總結，幫助學生歸納總結；

5.教師應加強創(chuàng)新教學的探索與研究，努力形成學生“發(fā)現(xiàn)問題—分析問題—解決問題—提出問題”的學習模式.

師者，傳道授業(yè)解惑也.為學之道，貴在多疑，對于習題、試題中的疑問，教師應立足“道而弗牽”“授人以漁”，不僅讓學生了解解題過程、掌握答題方法和技巧，更要注重對答題規(guī)范素養(yǎng)的提高.教學的規(guī)范化有助于學生在高考中發(fā)揮出自己的真實水平，也有利于培養(yǎng)規(guī)范有序、嚴謹?shù)目茖W態(tài)度.這對學生將來在社會上從事任何工作都是十分重要的.