焦阿妮

【摘要】在經(jīng)濟(jì)和社會持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展的現(xiàn)今，我國各個領(lǐng)域逐漸深入研究，并取得了更為突出的優(yōu)異成績.數(shù)學(xué)問題一直被視為我國教育領(lǐng)域重點(diǎn)研究的話題內(nèi)容，深化數(shù)學(xué)問題的研究，提高數(shù)學(xué)的實(shí)踐應(yīng)用能力，是現(xiàn)今社會不可忽視的重要任務(wù).向量運(yùn)算與解析幾何、立體幾何以及函數(shù)和三角之間存在著密切的聯(lián)系，同時也是近幾年高考考題的重要趨勢.本文旨在分析基于空間解析幾何方法的立體幾何問題，以便為立體幾何問題的解決提供一個代數(shù)化的有效方法.

【關(guān)鍵詞】空間解析幾何；立體幾何

立體幾何所要解決的主要問題包括空間圖形中的平行、垂直以及距離、夾角等方面，立體幾何問題較為常用的解決方法則是通過定理和概念以及幾種不同圖形的變化狀態(tài)，對其進(jìn)行邏輯化推理，從而深入研究出空間圖形的性質(zhì).這些問題的出現(xiàn)往往存在著一定的技巧性和隨機(jī)性，需要學(xué)生自身具備著較強(qiáng)的空間想象能力和作圖能力，通過空間解析幾何方法對立體幾何問題進(jìn)行深入研究，在一定程度上可將復(fù)雜的問題變得更為簡單化、直觀化.本文將空間解析幾何方法應(yīng)用于立體幾何問題的解決，從而確保立體幾何問題的解決目標(biāo)得以順利實(shí)現(xiàn).

一、基于空間解析幾何方法以解決空間圖形平行和垂直關(guān)系的問題

空間圖形中存在的平行關(guān)系包括線線平行、線面平行、面面平行這三種類型，為此，可以將其分別轉(zhuǎn)化成為向量平行、向量共面以及垂直問題對其進(jìn)行解決.假設(shè)直線l的方向向量表示為s，平面π的法向向量則表示為n，兩條直線分別為l1和l2，這兩條直線的方向向量則分別設(shè)為s1和s2，其平面顯示的π1和π2，二者的法向量則分別為n1和n2，那么上述提到的問題，其向量之間的關(guān)系則可以將其具體表示為：

（1）線線平行：l1∥l2s1∥s2s2=ks1（其中k∈R）；

（2）線面平行：l∥πs⊥ns·n=0，或者是s與π之間存在的兩個相交的向量a，b是共面的；

（3）面面平行：π1∥π2n1∥n2n2=kn1（其中k∈R）.

另外，空間圖形中存在的垂直關(guān)系則包括線線垂直、線面垂直以及面面垂直這三種類型.為此，可以將其分別轉(zhuǎn)化成為向量垂直、向量平行來進(jìn)行解決.為此，根據(jù)上述已經(jīng)存在的假設(shè)依據(jù)，其向量之間的關(guān)系可將其具體表示為：

（1）線線垂直：l1⊥l2s1⊥s2s1·s2=0；

（2）線面垂直：l⊥πs∥ns=kn，或者是s與π之間存在的兩個相交向量a，b之間是垂直的.也就是說，s·a=0，s·b=0；

（3）面面垂直：π1⊥π2n1⊥n2n1·n2=0.

比如，2012年新課標(biāo)全國卷例題，如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=12AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，且DC1⊥BD，那么需證明DC1⊥BC，而這種證明往往表示的是線線之間的垂直關(guān)系.

證明過程如下：以C點(diǎn)位置為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，CA，CB，CC1則分別設(shè)定為x軸、y軸以及z軸的正向，并以此建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，假設(shè)AC=1，那么直三棱柱ABC-A1B1C1中？韉閽謐晗瞪系淖攴直鷂狝（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），A1（1，0，2），B1（0，1，2），C1（0，0，2），D（1，0，1），且DC1⊥BCDC1·BC=0，因?yàn)镈C1=（-1，0，1），BC=（0，-1，0），DC1·BC=0+0+0=0，所以，DC1⊥BC.

二、基于空間解析幾何方法以解決空間圖形夾角和距離的問題

立體幾何問題中存在的異面直線夾角、直線與平面之間的夾角以及二面角的平面角等方面的確定，針對這些方面的向量運(yùn)算則可以將其表示為：兩條直線分別設(shè)為l1和l2，這兩條直線的方向向量則設(shè)為s1和s2，二者之間呈現(xiàn)出的角可將其稱為兩直線的夾角，為此，可以通過公式對其進(jìn)行確定.其公式如下：

cosφ=|ccs（s1，s2）|=|s1·s2||s1||s2|.

假設(shè)直線l與其所在平面π上面出現(xiàn)的投影夾角為φ，因?yàn)棣?π2-（s，n），

所以，sinφ=|cos（s，n）|=|s·n||s||n|.

如果假設(shè)兩個平面之間的夾角表示為φ，而兩個平面分別通過π1和π2表示，二者的法向量通過n1和n2表示，那么當(dāng)0≤（n1，n2）≤π2時，那么這兩個平面之間的夾角則為（n1，n2），如果π2<（n1，n2）≤π時，那么兩個平面夾角則可以通過π-（n1，n2）的形式予以表示，為此，cosφ=|cos（n1，n2）|=|n1·n2||n1||n2|.

平面外一個點(diǎn)到平面之間的距離，假定此點(diǎn)為P，則P表示的是平面π外一點(diǎn)，平面π的法向量則為n，A表示的是平面π內(nèi)的任意一點(diǎn)，AP與平面π之間的夾角為θ0<θ<π2.

那么d=|AP？糡X→〗|sinθ=|AP|cos（AP，n）=|AP·n||n|.

也就是說AP在n上的投影存在的絕對值.

異面直線之間的距離：假定異面之間存在的兩條直線分別為l1和l2，其方向向量分別為s1和s2.n是直線l1和直線l2的公垂線共線的向量表示.根據(jù)n⊥s1n·s1=0，n⊥s2n·s2=0，最終可求得n的解.在直線l1和直線l2上面分別取點(diǎn)，兩點(diǎn)設(shè)為A、B，那么由此就可以求出AB在n上的投影絕對值，則d的表達(dá)公式如下：d=|AB·n||n|.

比如，2012年上海卷，在四棱柱P-ABCD中，底面為ABCD的矩形，且PA⊥底面ABCD，E在PC的中點(diǎn)位置，已知AB=2，AD=2，PA=2.求異面直線BC與AE之間所成角的大小.

證明過程如下：將A作為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP則作為x軸、y軸以及z軸的正向，由此建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.那么有A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，2，1）.所以，AE=（1，2，1），BC=（0，2，0）.假設(shè)AE，BC之間的夾角為φ，那么cosφ=|cos（AE，BC）=|AE·BC||AE||BC|=22，φ=π4.所以，異面直線BC與AE所成角的大小為π4.

三、結(jié)束語

綜上所述，通過空間解析幾何的方式解決立體幾何中的問題是十分重要的措施，同時也產(chǎn)生了良好的解決效果，在一定程度上具備著簡單化、有效化的價值.其中，最為關(guān)鍵的部分就是以幾何圖形的垂直關(guān)系為依據(jù)，進(jìn)而建立一個恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)體系，通過立體幾何圖形中的一些相關(guān)點(diǎn)來對向量予以表示，從而促使立體幾何的問題關(guān)于線線、線面以及面面，乃至夾角和距離等問題得以順利轉(zhuǎn)化為向量之間需要重視解決的問題，最后將向量運(yùn)算的最終結(jié)果通過上述提到的立體幾？撾侍庋細(xì)癖硎境隼矗傭迪至⑻寮負(fù)撾侍獾撓行Ы餼？.

【參考文獻(xiàn)】

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