梁雅君　張末寒

摘 要：隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)與生產(chǎn)力的高速發(fā)展，各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域知識(shí)的相互交融是必然趨勢(shì)，線性代數(shù)的相關(guān)知識(shí)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。矩陣是線性代數(shù)中一個(gè)非常重要的板塊，它作為最基本的數(shù)學(xué)工具，對(duì)其進(jìn)行研究和拓展極為重要。筆者從矩陣基礎(chǔ)知識(shí)及基本運(yùn)算開始，首先介紹矩陣在數(shù)學(xué)各個(gè)分支學(xué)科的應(yīng)用，談及了矩陣在三角形面積，數(shù)學(xué)分析，圖論、信息密碼中的應(yīng)用及相關(guān)案例。接著拓展到了經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域、人文領(lǐng)域、生物領(lǐng)域的應(yīng)用及案例分析。用一個(gè)個(gè)案例充分地展現(xiàn)了矩陣的巨大應(yīng)用價(jià)值，細(xì)致地展示了矩陣在解決現(xiàn)實(shí)問題中帶來的方便與快捷，生動(dòng)形象地論述了矩陣作為一個(gè)基本數(shù)學(xué)工具應(yīng)用的廣泛性及重要性。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；矩陣；案例

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】1008-1216（2017）12B-0100-04

在高等代數(shù)這門課中，主要包含了兩個(gè)部分：第一部分是多項(xiàng)式與方程，第二部分是矩陣和二次型。這兩部分中最為重要的是線性代數(shù)部分?？梢哉f，線性代數(shù)是高等代數(shù)的一個(gè)較為重要的部分。

矩陣又是線性代數(shù)中最為常用的工具，其被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)分析、統(tǒng)計(jì)分析等領(lǐng)域中。隨著當(dāng)代科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，矩陣還被應(yīng)用于物理學(xué)及計(jì)算機(jī)科學(xué)中，并且迅速拓展到人文、經(jīng)濟(jì)、金融、生物等領(lǐng)域。矩陣已然成為各領(lǐng)域研究所不可或缺的數(shù)學(xué)工具。因此，我們需要進(jìn)一步對(duì)矩陣的應(yīng)用及案例進(jìn)行較為細(xì)致的分析。

一、 矩陣在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

（一）矩陣在三角形面積中的應(yīng)用

在三角形中，如果我們知道一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （x1，y1）， （x2， y2）， （x3， y3），那么，這個(gè)三角形的面積是：

（二）Jacobi矩陣在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

Jacobi矩陣在數(shù)學(xué)分析中有著非常廣泛的應(yīng)用，例如，我們常用的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t。我們先從數(shù)學(xué)分析中最基本的概念——導(dǎo)數(shù)開始說起。

一元函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)有函數(shù)y=f（x）在x0附近有定義，對(duì)應(yīng)于自變量的任一改變量?x，函數(shù)的改變量為?y=f（?x+x0）-f（x0），此時(shí)，如果極限存在，則稱此極限值為函數(shù)f=（x）在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)。

二元函數(shù)中全微分的定義：設(shè)函數(shù)u=f（x，y）的全改變量?u可以表示為?u=f（x+?x，y+?y）-f（x，y）=A?x+B?y+o（?x2+?y2），且其中A，B與?x，?y無關(guān)而僅與x，y有關(guān)，則稱函數(shù)u=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）可微，并稱A?x+B?y 為u=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）的全微分。

du=fx（x，y）dx+fy（x，y）dy

我們可以利用以上兩個(gè)定義將微分的概念推廣到多元，對(duì)于一個(gè)n元函數(shù)u=f（x1，x2，…，xn ）來說，我們可以寫出對(duì)應(yīng)的微分表達(dá)式du=dx1+dx2+…+dxn

若函數(shù)在點(diǎn)x0可微，f'（x0）是一個(gè)1×n矩陣：

（，，…，）

我們常將以上結(jié)論運(yùn)用于由方程組所確定的函數(shù)求導(dǎo)法則，設(shè)有方程組F（x，y，z）=0，G（x，y，z）=0 我們定義雅克比行列式

（三）矩陣在信息密碼中的應(yīng)用

研究矩陣在信息密碼中的應(yīng)用一定要提到希爾密碼。希爾密碼是Hill cipher在1929年提出的一種密碼體制，主要運(yùn)用矩陣的線性變換，把每一個(gè)字母看作一個(gè)數(shù)字，一串字母可以看作一個(gè)n×n矩陣，進(jìn)行加密。希爾密碼可以隱藏字符的頻率信息，加大了破譯的難度。

例如，現(xiàn)在我們對(duì)“數(shù)學(xué)真是太美妙了！”進(jìn)行加密和破譯。首先我們假設(shè)出要用的字母、聲調(diào)、符號(hào)等對(duì)應(yīng)的數(shù)字。我們將二十六個(gè)英文字母依次設(shè)為數(shù)字01，02，03，…，26。將拼音聲調(diào)中的平聲、一聲、二聲、三聲、四聲和輕音分別設(shè)為數(shù)字27，28，29，30，31。標(biāo)點(diǎn)中的逗號(hào)、句號(hào)、省略號(hào)、感嘆號(hào)、破折號(hào)、冒號(hào)、分號(hào)分別設(shè)為數(shù)字32，33，34，…，39。將空格設(shè)為數(shù)字00。

接著將“數(shù)學(xué)真是太美妙了！”這句話轉(zhuǎn)換為拼音：Shu4 Xue2 Zhen1 Shi4 Tai4 Mei3 Miao4 Le5 ！。再寫出密碼模式對(duì)應(yīng)的數(shù)字：19 08 21 30 24 21 05 28 26 08 05 14 27 19 08 09 30 20 01 09 30 13 05 09 29 13 09 01 15 30 12 05 36。將這33個(gè)數(shù)字依照次序?qū)懗梢粋€(gè)6×6的矩陣，不足的位數(shù)用00補(bǔ)齊。那么，我們可以寫出這個(gè)原始密碼的矩陣

我們需要事先與接收方預(yù)定一個(gè)保密矩陣，我們將這個(gè)保密矩陣記為M。用原始的密碼矩陣與這個(gè)保密矩陣相乘，得到一個(gè)新的密碼矩陣。我們記為N，即N=AM。我們把這個(gè)加密后的密碼矩陣N，依照次序?qū)?6個(gè)元素寫成一個(gè)數(shù)字串傳送給接收方。接收方在收到數(shù)字傳送串以后，把它寫為矩陣N，接著用事先約定好的保密矩陣M進(jìn)行運(yùn)算。那么可以得出A=NM-1。再按照字母、聲調(diào)、符號(hào)對(duì)應(yīng)的數(shù)字，就可以還原出要傳送的密碼“數(shù)學(xué)真是太美妙了！”。

從以上這幾個(gè)例子，我們不僅可以看出數(shù)學(xué)與各個(gè)學(xué)科相互交織、相互聯(lián)系，更可以看出矩陣作為數(shù)學(xué)運(yùn)算中的一個(gè)基本工具，在數(shù)學(xué)各個(gè)分支中的重要性。

二、矩陣在其他領(lǐng)域的應(yīng)用及案例

（一）矩陣在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用及案例

隨著當(dāng)代科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，數(shù)學(xué)在其他領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛和深入。其中最為主要的是在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用。數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)的交融已經(jīng)是不可阻擋的新趨勢(shì)，借用矩陣等數(shù)學(xué)工具解決經(jīng)濟(jì)問題能夠帶來巨大價(jià)值。

首先我們介紹投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型，它主要是依據(jù)投入產(chǎn)出的關(guān)系建立數(shù)學(xué)關(guān)系式。它揭示了國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門之間生產(chǎn)與分配之間的平衡關(guān)系，在實(shí)際問題中運(yùn)用十分廣泛。例如，我們國(guó)家的一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，有許多部門相互配合，共同完成經(jīng)濟(jì)運(yùn)轉(zhuǎn)。某一個(gè)部門在提供生產(chǎn)資料或消費(fèi)品的同時(shí)，需要消耗其他部門的生產(chǎn)資料進(jìn)行運(yùn)作。在這種生產(chǎn)與消耗之間要達(dá)到一種平衡。例如，某一座城市的煤礦，發(fā)電廠和鐵路。煤礦在產(chǎn)煤的同時(shí)要依靠電廠生產(chǎn)的電和鐵路進(jìn)行運(yùn)煤。發(fā)電廠在生產(chǎn)電的同時(shí)，也在消耗煤。鐵路在運(yùn)行過程中也要消耗煤和電。只有當(dāng)這三個(gè)部門達(dá)到一種平衡運(yùn)作起來，他們才能維持一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。我們可以運(yùn)用一下這個(gè)經(jīng)典案例給出的數(shù)據(jù)，來計(jì)算這三個(gè)部門的總產(chǎn)值各是多少才能達(dá)到平衡？

生產(chǎn)一塊錢的煤，需要0.25元運(yùn)輸費(fèi)。

生產(chǎn)一塊錢的電，消耗0.65元煤，0.05元電費(fèi)，需要0.05元運(yùn)輸費(fèi)。

產(chǎn)生一塊錢的運(yùn)輸費(fèi)，消耗0.05元煤，0.01元電費(fèi)。

在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，煤礦要向外運(yùn)送五萬元的煤礦，發(fā)電廠要向外輸送2.5萬元的電力。

由以上關(guān)系，我們先假設(shè)在這個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，煤礦、發(fā)電廠、鐵路的生產(chǎn)總值分別是x1，x2，x3那么我們可以得出：

所以煤礦、發(fā)電廠、鐵路的總產(chǎn)值分別為102087元，56163元，28330元。

（二）矩陣在人文領(lǐng)域的應(yīng)用及案例

我國(guó)正處在歷史上人口流動(dòng)最快的一個(gè)時(shí)期，人口流動(dòng)現(xiàn)象主要表現(xiàn)為從農(nóng)村流向城市，從欠發(fā)達(dá)地區(qū)流向發(fā)達(dá)地區(qū)。可以說，人口從農(nóng)村流向城鎮(zhèn)已然是一個(gè)發(fā)展的必然趨勢(shì)。那么，在這種流動(dòng)規(guī)?？涨暗男蝿?shì)下，城市與鄉(xiāng)村的人口數(shù)是否會(huì)達(dá)到一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)呢？

根據(jù)國(guó)務(wù)院農(nóng)民工工作領(lǐng)導(dǎo)小組對(duì)某一座城市的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，該城市每年大約有五分之一的農(nóng)民流向城市，而只有十分之一的城鎮(zhèn)居民流向農(nóng)村。在該城市人口總數(shù)保持不變的情況下，這座城市的城市與鄉(xiāng)村的人口數(shù)是否會(huì)達(dá)到一個(gè)相對(duì)平衡的狀態(tài)？

由題意，設(shè)該座城市的人口總數(shù)為N，初始時(shí)城市的人口數(shù)為x0，鄉(xiāng)村的人口數(shù)為y0。

在n取極限之后，我們可以看出城市與鄉(xiāng)村的人口數(shù)會(huì)達(dá)到一個(gè)相對(duì)平衡的狀態(tài)。

（三）矩陣在生物領(lǐng)域的應(yīng)用及案例

在生物領(lǐng)域，矩陣主要運(yùn)用于運(yùn)算生物種群的繁殖情況，矩陣的高次冪可以很好地描述種群多年之后的情況。

例如，在某個(gè)自然保護(hù)區(qū)，某種天鵝的最高壽命為15歲，可以將其分為三個(gè)年齡組分別是[0，5][6，10][11，15]。第一組中該物種的存活率為二分之一，第二組中該物種的存活率為四分之一，該年齡段的生育率為4，第三組中該物種在此年齡段的生育率為3，假設(shè)該種天鵝最先開始共有三千只。那么，在十五年以后，該種天鵝在這三個(gè)年齡段的個(gè)數(shù)分別是多少？

所以在十五年以后，該種天鵝在這三個(gè)年齡段的個(gè)數(shù)即可得出。 （下轉(zhuǎn)128頁(yè)）（上接102頁(yè)）三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，這篇論文從了解矩陣的基本運(yùn)算開始，在掌握矩陣的相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，先涉及了矩陣在數(shù)學(xué)其他分支學(xué)科中的應(yīng)用及一部分簡(jiǎn)單運(yùn)算，后又涉及到矩陣在經(jīng)濟(jì)、人文、生物等領(lǐng)域的實(shí)際案例?？梢钥吹骄仃噾?yīng)用的廣泛性，以及在解決實(shí)際問題中所帶來的方便。然而其仍有許多重要的應(yīng)用尚未涉及，研究還要繼續(xù)完善。

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