李娜+王丹齡

【摘要】以案例式教學(xué)作為全概率公式的主要教學(xué)手段，選取貼近實(shí)際生活的案例——抽簽問(wèn)題作為教學(xué)切入點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題的實(shí)際背景出發(fā)，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的關(guān)鍵.經(jīng)過(guò)課堂教學(xué)實(shí)踐，案例式教學(xué)能夠加深學(xué)生對(duì)全概率公式的理解，開(kāi)闊學(xué)生的視野，并將全概率公式靈活應(yīng)用于其他實(shí)際問(wèn)題，如敏感性問(wèn)題等.

【關(guān)鍵詞】全概率公式；案例式教學(xué)；抽簽問(wèn)題；敏感問(wèn)題調(diào)查

一、引 言

全概率公式是概率論這門課程中非常重要的內(nèi)容之一，是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用.它具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，在醫(yī)療診斷、投資、保險(xiǎn)等不確定問(wèn)題中有著重要的應(yīng)用.本節(jié)要求學(xué)生理解和掌握劃分的定義和幾何解釋，能夠利用條件概率的定義及乘法公式推導(dǎo)出全概率公式，重點(diǎn)掌握全概率公式的產(chǎn)生背景及其本質(zhì)，能夠應(yīng)用公式正確地進(jìn)行運(yùn)算，并學(xué)會(huì)用全概率公式解決實(shí)際問(wèn)題.

在教學(xué)設(shè)計(jì)中，首先從有趣的抽簽問(wèn)題引出全概率公式，進(jìn)而通過(guò)概念的講解、敏感問(wèn)題調(diào)查的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到全概率公式的重要性和應(yīng)用的廣泛性，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去觀察生活，培養(yǎng)學(xué)生由淺入深地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維方式.特別地，在教學(xué)過(guò)程中融入新的教學(xué)手段，通過(guò)Matlab軟件模擬將各種分析和應(yīng)用直觀呈現(xiàn)出來(lái)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

二、抽簽問(wèn)題

10張同樣的卡片只有2張上面印有“迪士尼門票”，其余的什么也沒(méi)寫，將其洗勻后，做“無(wú)放回”地依次抽取.問(wèn)：后抽的人比先抽的人吃虧嗎？

【問(wèn)題分析】首先提問(wèn)學(xué)生，第一個(gè)人抽中的概率是多少？第二個(gè)人抽中的概率呢？

第一個(gè)人抽中的概率為15，第二個(gè)人抽中的概率就有回答29或19的，還有回答和第一個(gè)人抽中的概率一樣的.帶著學(xué)生給出的答案，分析第二個(gè)人抽中的概率需要分成第一個(gè)人抽中和第一個(gè)人沒(méi)抽中兩種情況分別考慮，這也就是這節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)——全概率公式.

通過(guò)圖解法讓學(xué)生理解全概率公式的核心思想，“化整為零，各個(gè)擊破”.用樣本空間的一個(gè)劃分將事件A分成一系列積事件的和事件，再逐個(gè)計(jì)算積事件的概率最后求和得到A的概率.

四、模擬結(jié)果

計(jì)算機(jī)模擬是為學(xué)生展示分析問(wèn)題的另一個(gè)直觀有效的方式.如圖2所示，圖中左上圖：模擬了1 000次試驗(yàn)結(jié)果，每一縱列是一次試驗(yàn)結(jié)果；右上圖：為一次試驗(yàn)的模擬圖，紅色代表沒(méi)有抽中，綠色代表抽中；右下圖：為10中2的理論概率值；左下圖：每個(gè)人在1 000次模擬中抽中的累計(jì)次數(shù)和累計(jì)頻率.

通過(guò)程序模擬既可以看到抽簽的公平性，又可以加深學(xué)生對(duì)概率和頻率關(guān)系的理解，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很多時(shí)，頻率與概率之間是非常接近的.

五、敏感問(wèn)題調(diào)查

敏感問(wèn)題是指涉及個(gè)人隱私的問(wèn)題以及大多數(shù)人認(rèn)為不便于在公開(kāi)場(chǎng)合表態(tài)或陳述的問(wèn)題，如私人財(cái)產(chǎn)、吸毒、作弊等.進(jìn)行這類問(wèn)題調(diào)查時(shí)，如不注意方式、措辭等，就會(huì)使拒答率相當(dāng)高，或者得不到真實(shí)的答案，從而導(dǎo)致調(diào)查失敗.1965年Warner提出了一種隨機(jī)化回答的方法.其設(shè)計(jì)原則是根據(jù)敏感性特征設(shè)計(jì)兩個(gè)相互對(duì)立的問(wèn)題，讓被調(diào)查者按預(yù)定的概率從中選擇一個(gè)回答，調(diào)查者無(wú)權(quán)過(guò)問(wèn)被調(diào)查者究竟回答的是哪一個(gè)問(wèn)題，從而起到了為被調(diào)查者保密的效果.

為調(diào)查某次考試的作弊情況，給被訪者設(shè)定兩個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題一：你在本次考試中作弊了嗎？

問(wèn)題二：你在本次考試中沒(méi)有作弊嗎？

被訪者通過(guò)隨機(jī)抽簽來(lái)回答問(wèn)題一或者問(wèn)題二.如果被訪者真的作弊了，抽中問(wèn)題一則答“是”，抽中問(wèn)題二則答“否”，抽簽的結(jié)果只有自己知道，他只需回答“是”或“否”，而訪問(wèn)者并不知道回答的是問(wèn)題一還是問(wèn)題二，所以被訪者可以沒(méi)有顧慮地真實(shí)回答.

假設(shè)被訪者回答問(wèn)題一的概率為0.7，所有收回的答案中回答“是”的概率是0.31，試估計(jì)此次考試的作弊率.

從本例可以看出，Warner提出的隨機(jī)化回答的方法就是利用全概率的思想，打消被訪者的顧慮真實(shí)回答問(wèn)題，調(diào)查者通過(guò)計(jì)算就能夠得到真實(shí)的數(shù)據(jù).

六、結(jié) 論

案例式教學(xué)設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和實(shí)際水平，通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析，培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)主動(dòng)地運(yùn)用課堂上學(xué)到的知識(shí)去解決實(shí)際生活中遇到的問(wèn)題，真正做到學(xué)以致用.如，在日常生活中經(jīng)常遇到的抽簽問(wèn)題，可通過(guò)Matlab模擬抽簽結(jié)果并分析感性認(rèn)識(shí)的誤區(qū).教學(xué)過(guò)程中由動(dòng)畫展示、計(jì)算機(jī)仿真模擬、現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)等營(yíng)造出的輕松活躍的教學(xué)氛圍有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有助于學(xué)生掌握本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

【參考文獻(xiàn)】

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