呂兆勇

[摘 要] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一種“真、善、美”的體現(xiàn)，它包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象以及數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面，數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)活動(dòng)是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)的主要途徑.教師在教學(xué)要明確學(xué)科素養(yǎng)的特點(diǎn)，將學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)有效落實(shí)到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力”的培養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；三角函數(shù)；周期性

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是在數(shù)學(xué)教育教學(xué)過程中，逐步讓學(xué)生形成適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展的必備品格與關(guān)鍵能力，是一種“真、善、美”的體現(xiàn).高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了一個(gè)明確的教育方向，而如何把對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有效落實(shí)到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，就成了一線教師迫切需要解決的問題.筆者根據(jù)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)容編寫執(zhí)教了“三角函數(shù)的周期性”這節(jié)概念課，并對(duì)這節(jié)課進(jìn)行了教學(xué)反思，供大家討論.

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境 啟發(fā)思考

情境一：在我們乘坐暨陽湖游樂園里的摩天輪的時(shí)候（所教學(xué)生的學(xué)校不遠(yuǎn)處就有這樣一個(gè)游樂公園，學(xué)生都乘坐過這種游樂設(shè)施，所以會(huì)有同感），我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，過一段相同的時(shí)間，我們就會(huì)在最高點(diǎn)看到最美的風(fēng)景.

情境二：我們教室后面鐘的時(shí)針、分針和秒針每經(jīng)過一定的時(shí)間就轉(zhuǎn)過一周.

師：你還能舉出一些這樣的例子嗎？

生：四季更替，課程表，地球公轉(zhuǎn).

師：這些現(xiàn)象都有一個(gè)什么樣的規(guī)律？

生：周而復(fù)始現(xiàn)象.

情境三：其實(shí)我們古人也發(fā)現(xiàn)了這種現(xiàn)象. （配樂詩朗誦（多媒體播放）《賦得古原草送別》：離離原上草，一歲一枯榮.野火燒不盡，春風(fēng)吹又生.）我國(guó)的“干支”記年法，即“天干地支”組合形成古代紀(jì)年歷法（教師給出“天干地支”相關(guān)知識(shí)的PPT.）

師：我們把這種周而復(fù)始現(xiàn)象稱為周期現(xiàn)象.（板書：周期.）

2. 合作交流 建構(gòu)數(shù)學(xué)

師：其中的“地支”就是十二屬相. 我們班里的同學(xué)是哪一年出生的？屬相是什么？哪些年份是本命年呢？

剛有同學(xué)說自己是2000年5月出生，今年17歲，屬龍. 即2000年出生的對(duì)應(yīng)屬相為龍，我們知道2001年出生的對(duì)應(yīng)屬相為蛇，2002年出生的對(duì)應(yīng)屬相為馬，……，那么這個(gè)對(duì)應(yīng)可以用數(shù)學(xué)的語言去描述嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生可能的回答是年份與屬相之間的對(duì)應(yīng)可以用函數(shù)的觀點(diǎn)去理解.教師在贊賞的同時(shí)，對(duì)這種觀點(diǎn)進(jìn)行進(jìn)一步設(shè)問出疑點(diǎn)（發(fā)現(xiàn)隨著年份的改變，屬相在改變，但函數(shù)的定義域和值域要求是非空數(shù)集），我們把屬相鼠、牛、虎、……、豬依次對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)1、2、3、…、12，其對(duì)應(yīng)法則記為f. 從而得到f（2000）=5，f（2001）=6，f（2002）=7，…. 可以很快得到一個(gè)結(jié)論，就是f（2000）=f（2000+12）=f（（2000+12）+12）=…=5. 所以，2012年，2024年以及2036年均是其本命年.

由2001年5月出生屬蛇的本命年我們可以得到f（2001）=f（2001+12）=f（（2001+12）+12）=….

設(shè)計(jì)立意：從生活中一類具有“周而復(fù)始”特點(diǎn)的現(xiàn)象出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，把生活中的問題抽象成數(shù)學(xué)問題，從而引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去分析問題.

關(guān)于這節(jié)課的幾點(diǎn)思考

1. 以“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”為抓手，整體把握教學(xué)思路，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)自然生成.

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長(zhǎng)史寧中教授把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)解讀為三句話，即：用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.通過用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)；通過用數(shù)學(xué)的思維分析世界，來發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；通過用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).這就需要教師在教學(xué)中，不僅要注重基本知識(shí)、基本技能的傳授，更要注重基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的培養(yǎng)，從而增強(qiáng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力以及分析和解決問題的能力.

本節(jié)課，教師牢牢抓住這個(gè)教學(xué)理念構(gòu)建教學(xué)框架，整體把握教學(xué)思路，從觀察現(xiàn)實(shí)世界的周期現(xiàn)象，到能不能用數(shù)學(xué)的思維來分析這個(gè)問題、如何用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)這個(gè)周期問題的教學(xué)過程，充分體現(xiàn)出教師的教學(xué)設(shè)想. 在學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)的同時(shí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活. 在對(duì)實(shí)際周期問題的抽象等教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，對(duì)事例進(jìn)行有效數(shù)學(xué)分析，得到事例所具有的共同特征，再進(jìn)行概括、歸納、抽象，得到概念的本質(zhì)屬性后，把數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的權(quán)力還給學(xué)生，讓學(xué)生初步建立概念，再由教師做好教學(xué)的先行者，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)概念.在概念的建構(gòu)過程中，既討論了所建構(gòu)概念的完備性，進(jìn)一步完善概念，又通過辨析，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析能力. 最后，通過對(duì)所學(xué)函數(shù)周期性的理性討論，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力. 教學(xué)中，逐步深入的“劇情”，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣油然而生，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)在學(xué)生的身上自然生成.

2. 在“三個(gè)理解”的基礎(chǔ)上，大膽進(jìn)行教材的重組，搭建適合學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的平臺(tái).

章建躍先生在評(píng)價(jià)一節(jié)課時(shí)，提出了“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生和理解教學(xué)”的三個(gè)理解. 在教學(xué)中，教師要以學(xué)生為主體，把知識(shí)的發(fā)生過程和發(fā)現(xiàn)的權(quán)力還給學(xué)生.這就需要教師對(duì)教材有一個(gè)充分的把握，了解教材的編寫意圖，知道知識(shí)的來龍去脈，清楚知識(shí)之間的聯(lián)系.然后，根據(jù)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)及大綱要求，把教材所涉及的內(nèi)容有目的、有方法地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，從而搭建適合學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的平臺(tái).

本節(jié)是蘇教版必修4第一章第3節(jié)第一課時(shí)內(nèi)容，教材呈現(xiàn)了通過對(duì)單位圓中三角函數(shù)線的討論，得到了三角函數(shù)的周期性，得出了函數(shù)周期性的相關(guān)知識(shí)，體現(xiàn)了三角函數(shù)的周期性 .在教學(xué)中，如果教師把教學(xué)思路僅僅局限于三角函數(shù)的范疇內(nèi)，就會(huì)讓學(xué)生誤以為只有三角函數(shù)才存在周期性，即周期性問題是在三角函數(shù)內(nèi)部考查出來的.其實(shí)不然，在必修4《教參》第24頁中明確指出“本節(jié)的重點(diǎn)是周期函數(shù)的定義和正弦、余弦、正切函數(shù)的周期性，周期的概念是本節(jié)的難點(diǎn)，解決難點(diǎn)的關(guān)鍵是通過實(shí)例分析來認(rèn)識(shí)周期和周期函數(shù)”. 也就是說，三角函數(shù)周期性的考查是在考查出函數(shù)周期性這樣一個(gè)性質(zhì)以后，對(duì)具體函數(shù)再分析的結(jié)果.這樣的教學(xué)思路的產(chǎn)生，就要求教師對(duì)整章三角函數(shù)乃至所有函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行整體把握，從認(rèn)識(shí)周期，到認(rèn)識(shí)周期函數(shù)，到認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的周期性有一個(gè)連貫的思考. 如何把這些問題有順序地呈現(xiàn)給學(xué)生，需要教師對(duì)研究函數(shù)的性質(zhì)有一個(gè)基本的、明確的思路，且這個(gè)思路在認(rèn)識(shí)函數(shù)的其他性質(zhì)的時(shí)候，能有一個(gè)指導(dǎo)作用，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的可持續(xù)性探究.最終搭建了適合學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的平臺(tái).

3. 從體系出發(fā)，通過對(duì)周期性的研究，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)“前后一致，邏輯連貫”的概念構(gòu)建過程，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力”的培養(yǎng).

對(duì)函數(shù)性質(zhì)的探究，一直貫穿于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)之中. 從小學(xué)課本中的對(duì)實(shí)例函數(shù)（正比例和反比例函數(shù)）的初步認(rèn)識(shí)到初中對(duì)二次函數(shù)的研究，再到高中對(duì)于函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的討論，都體現(xiàn)了“認(rèn)識(shí)函數(shù)就是要認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì)”這一研究函數(shù)的抓手. 教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生把實(shí)例函數(shù)的性質(zhì)，抽象為數(shù)學(xué)語言. 這其中，如何把這些實(shí)例呈現(xiàn)給學(xué)生，如何把零散的函數(shù)性質(zhì)變成體系的存在，以什么樣的視角來研究函數(shù)，都需要學(xué)生有一定的發(fā)現(xiàn)規(guī)律的眼光，而學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的眼光正是教師在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生觀察和發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出來的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

本節(jié)課中，教師通過對(duì)自然現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，再?gòu)奈覈?guó)古人創(chuàng)造的天干地支出發(fā)，引發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，結(jié)合學(xué)生屬相的研究，把學(xué)生的探究欲望引到最高點(diǎn)，如何把實(shí)際問題的規(guī)律抽象為數(shù)學(xué)問題中的規(guī)律，教師通過屬相與年份之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，引出了函數(shù)，從而抽象出函數(shù)的周期問題. 接下來，如何精確地表述函數(shù)周期性的定義是這節(jié)課的難點(diǎn)，教師在教學(xué)中，主動(dòng)幫助學(xué)生回憶函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義及研究方法，讓學(xué)生感受定義的構(gòu)建，體驗(yàn)知識(shí)的生成過程，即“發(fā)現(xiàn)生活中的有規(guī)律的現(xiàn)象→抽象為數(shù)學(xué)問題→用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)→用得到的規(guī)律考查已學(xué)過的函數(shù)，進(jìn)一步挖掘內(nèi)涵→數(shù)學(xué)應(yīng)用”這一順序來探究函數(shù)的性質(zhì). 這個(gè)思路也是探究函數(shù)性質(zhì)的基本方法和基本途徑.這個(gè)途徑的確立為學(xué)生的再次自我探究重獲了研究函數(shù)性質(zhì)的視角，奠定了方法基礎(chǔ). 從而為學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律、主動(dòng)構(gòu)建概念創(chuàng)造了條件，也增加了學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)研究方法的情感認(rèn)同和方法儲(chǔ)備. 可以說，對(duì)函數(shù)周期性的研究，不僅僅是對(duì)函數(shù)性質(zhì)的一次認(rèn)識(shí)，更是研究函數(shù)性質(zhì)的方法的一次螺旋上升，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力”的培養(yǎng).

4. 以問題教學(xué)為引領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)概念，有效落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升并不是空洞的，要以實(shí)際教學(xué)行為為載體，把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實(shí)處.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)應(yīng)該是“數(shù)學(xué)育人”，“數(shù)學(xué)育人”就要求教師在把握教學(xué)內(nèi)容在教材中的地位和作用的基礎(chǔ)上，以師生對(duì)話為媒介，以學(xué)生為主體，互相提出構(gòu)建概念中的疑點(diǎn)和問題，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)問題與提出問題，驅(qū)動(dòng)問題情境的展開，讓學(xué)生更加深入地思考，帶動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，從而達(dá)到有效落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)的教學(xué)目的[4].

本節(jié)課中，教師在不同教學(xué)環(huán)節(jié)都有意識(shí)地用問題串的形式展開教學(xué). 比如，在情境問題的引入中，“這些現(xiàn)象都有一個(gè)什么樣的規(guī)律”“你還能舉出一些這樣的例子嗎”這樣的問題提出，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來觀察世界，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 在引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建概念時(shí)，教師提出“那么這個(gè)對(duì)應(yīng)可以用數(shù)學(xué)的語言去描述嗎”“能不能嘗試給周期函數(shù)一個(gè)定義呢”這樣的問題，引導(dǎo)學(xué)生去生活化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 在對(duì)常數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的周期性進(jìn)行考查時(shí)，教師提問“①是周期函數(shù)嗎？為什么？②如果是，周期是多少？”在探究環(huán)節(jié)中，教師繼續(xù)深挖“函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ為常數(shù)，A≠0，ω>0）的周期和哪些量有關(guān)”，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用概念解決問題、運(yùn)用概念歸納結(jié)論，給學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析世界的空間，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 這些問題的設(shè)計(jì)，不僅讓學(xué)生學(xué)到了知識(shí)，更重要的是交給了學(xué)生研究問題的方法、探究問題的思路以及如何構(gòu)建知識(shí)體系的能力[5].

結(jié)束語

如何把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有效地落實(shí)到教學(xué)實(shí)踐中，這是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育對(duì)數(shù)學(xué)教師提出的新問題.教師只有在平時(shí)的教學(xué)工作中，不斷地進(jìn)行學(xué)習(xí)，更新教學(xué)觀念，把握核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，才能在教學(xué)中，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為理論指導(dǎo)，自覺踐行新課程理念，著力于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，從而提高學(xué)生的綜合素質(zhì)水平.

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[4] 王克亮. 課堂問題的設(shè)計(jì)與解決應(yīng)凸顯知識(shí)本質(zhì)—一次主題教研活動(dòng)中“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”的教學(xué)體會(huì)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（5）：10-14.

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