馬恩榮

【摘 要】本文論述高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室對教師教學(xué)方式、學(xué)生學(xué)習(xí)方式和解題教學(xué)三個(gè)方面的影響，認(rèn)為在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的相關(guān)數(shù)學(xué)工具能夠較好地幫助教師的教和學(xué)生的學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)和提高學(xué)生獨(dú)立分析問題和解決問題的能力，使新型探究式教學(xué)成為可能。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室 圖形計(jì)算器 教學(xué)方式 學(xué)習(xí)方式 解題教學(xué)

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）11B-0028-03

隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，以規(guī)尺粉筆為主的數(shù)學(xué)課堂已經(jīng)無法滿足教學(xué)需要，以 PPT、圖形計(jì)算器、幾何畫板等為代表的教學(xué)輔助工具逐步深入課堂，老師的教學(xué)手段和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式正在經(jīng)歷粉筆到鼠標(biāo)、筆尖到指尖的革命性變化。2014 年 3 月 15 日，教育部《中小學(xué)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”建設(shè)的研究》開題會(huì)在北京召開，會(huì)議對高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)等問題做了討論、對研究做了具體規(guī)劃。各地區(qū)也陸續(xù)建立有特色的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，并使用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行部分內(nèi)容的教學(xué)。那么，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合有哪些促進(jìn)，高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室對數(shù)學(xué)教學(xué)究竟有什么影響呢？

一、對教師教學(xué)方式的影響

從下面函數(shù)圖象可視化、概念情景化和數(shù)據(jù)處理智能化三個(gè)案例的實(shí)踐中可以看到，在高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的支持下，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅可以采用“演示—講授”模式（傳統(tǒng)教學(xué)模式，教師在講解的過程中，利用投影展示來突出教學(xué)重、難點(diǎn)），還可以采用“發(fā)現(xiàn)—探究”模式，該模式下，教師是課堂學(xué)習(xí)情境的創(chuàng)造者、課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者，突出以學(xué)生為主體，注重學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力和創(chuàng)造力的培養(yǎng)。在一些數(shù)學(xué)探究價(jià)值較高的內(nèi)容上，比如對數(shù)函數(shù)圖象和方程曲線問題的探討、某些結(jié)論的發(fā)現(xiàn)等，“發(fā)現(xiàn)—探究”模式可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題——提出猜想——驗(yàn)證解決問題的探究意識(shí)和思維能力。高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室拓寬了教學(xué)的渠道，讓新型探究式教學(xué)成為可能。

（一）幾類不同增長的函數(shù)模型

人教 A 版教科書中幾類不同增長的函數(shù)模型一節(jié)有兩個(gè)例題，用具體的例子比較了二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增長情況。在圖形計(jì)算器技術(shù)支持下，教師可以利用圖形計(jì)算器的圖形功能直接畫出函數(shù) y=2x，y=x2 和 y=log2x 的圖象（如圖 1），借助圖形計(jì)算器圖解功能標(biāo)出函數(shù)圖象的交點(diǎn)（圖形計(jì)算器可以標(biāo)出所有交點(diǎn)），使學(xué)生有觀察的材料。課堂教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生很容易總結(jié)出這三類函數(shù)模型的增長特點(diǎn)。

（二）偶函數(shù)概念的教學(xué)

利用圖形計(jì)算器可以幫助學(xué)生更好地理解偶函數(shù)的概念。什么叫作偶函數(shù)呢？學(xué)生可能會(huì)聯(lián)系到偶數(shù)的概念。此時(shí)教師可以列舉一系列的偶函數(shù)，如 y=x-4，y=x-2，y=x0，y=x2，y=x4。從中學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的指數(shù)都是偶數(shù)。教師（或?qū)W生）利用圖形計(jì)算器做出這些函數(shù)的圖象（依次如圖 2 所示），讓學(xué)生觀察這些圖象的共同點(diǎn)。學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的圖象都是關(guān)于 y 軸對稱的，而這就是偶函數(shù)概念的本質(zhì)。

（三）回歸分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》提出，“統(tǒng)計(jì)教學(xué)必須通過案例來進(jìn)行”。在線性回歸教學(xué)的基礎(chǔ)上，教師提供具體情境—— 一張橋拱的照片，提問怎樣用一個(gè)函數(shù)來擬合橋拱的形狀模式。學(xué)生自然會(huì)聯(lián)想到二次函數(shù)，但是怎樣求得這個(gè)用于擬合的二次函數(shù)呢？學(xué)生不太清楚。此時(shí)教師可以借助圖形計(jì)算器展示整個(gè)過程：描點(diǎn)，收集數(shù)據(jù)，二次回歸，繪圖觀察擬合的效果（見圖 3）。經(jīng)歷這一過程，學(xué)生對數(shù)據(jù)處理的全過程以及統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想就會(huì)有深刻印象，得到更好的理解。

二、對學(xué)生學(xué)習(xí)方式的影響

借助圖形計(jì)算器和動(dòng)態(tài)幾何軟件，學(xué)生可以動(dòng)手編制程序模擬隨機(jī)現(xiàn)象，可以跟蹤動(dòng)點(diǎn)軌跡探究方程曲線，可以計(jì)算、作圖輔助思考等。高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室為學(xué)生提供自主探究的平臺(tái)，拓寬學(xué)生的學(xué)習(xí)渠道。一般高中數(shù)學(xué)探究過程包括觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明。高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室內(nèi)圖形計(jì)算器以及幾何畫板等是學(xué)生自主探究的平臺(tái)，這些技術(shù)不僅是學(xué)習(xí)和探究的工具，而且還可以幫助學(xué)生進(jìn)行思考。在這些技術(shù)支持下，學(xué)生探究更加直接，學(xué)習(xí)方式更加豐富有效。

（一）幾何概型經(jīng)典例子——為學(xué)生提供自主探究平臺(tái)

在普通高中人教 A 版必修 3 第 137 頁有這樣一個(gè)經(jīng)典的幾何概型問題：

假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上 6：30-7：30 之間把報(bào)紙送到你家，你父親離開家去工作的時(shí)間在早上 7：00-8：00 之間，問你父親離開家前能拿到報(bào)紙的概率是多少？

雖然學(xué)生或多或少能體會(huì)到這是幾何概型的問題，但學(xué)生并不能很好地解決這個(gè)問題，因?yàn)樗麄儾幻靼走@里的測度是長度還是面積。如果有圖形計(jì)算器作為技術(shù)支持，那么在這樣的情況下，學(xué)生就可以寫出程序模擬這個(gè)過程，得到一個(gè)近似的結(jié)果。這個(gè)近似的結(jié)果不僅可以幫助學(xué)生思考，而且還有驗(yàn)證的作用。本問題涉及兩個(gè)隨機(jī)變量，不妨設(shè)為 x 與 y。它們分別在區(qū)間[6.5，7.5]和[7，8]內(nèi)，當(dāng) x≤y 時(shí)，父親能拿到報(bào)紙。以下是學(xué)生編寫的程序和運(yùn)行結(jié)果：endprint

（二）中點(diǎn)軌跡——輔助理解

對于某些動(dòng)態(tài)軌跡問題，學(xué)生可能一時(shí)無法判斷軌跡是什么，這時(shí)他們可以自己動(dòng)手利用圖形計(jì)算器或者幾何畫板軟件來跟蹤軌跡，輔助理解和判斷。

例如，已知定點(diǎn) D（4，0）和曲線 x2+y2=1 上動(dòng)點(diǎn) C，求 CD 中點(diǎn) E 的軌跡方程。

圖形計(jì)算器和幾何畫板軟件等均可以完成中點(diǎn)軌跡跟蹤，但實(shí)踐證明，由于圖形計(jì)算器界面太小且手動(dòng)作圖不夠靈敏，故這類問題采用幾何畫板或超級畫板更具優(yōu)勢。以下是利用幾何畫板做的中點(diǎn)軌跡跟蹤，可見中點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，并且圓心的位置和半徑的大小均得到一定程度的揭示。此時(shí)，學(xué)生對這個(gè)題目已經(jīng)有所了解，回過頭來求該軌跡的方程時(shí)已經(jīng)有明確的方向，信心十足。

三、對解題教學(xué)的影響

在涉及函數(shù)圖象的一些問題中，數(shù)形結(jié)合往往可以提供好的解題思路。但不是所有的圖象都容易動(dòng)手畫出，這時(shí)圖形計(jì)算器就是一個(gè)好幫手。借助圖形計(jì)算器作圖，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合就可以幫助學(xué)生進(jìn)行思考，開闊思路、縮短思考路徑，從而獲得好的解題思路。圖形計(jì)算器的計(jì)算功能可以為解題教學(xué)（計(jì)算繁雜的情況下）爭取時(shí)間，讓教學(xué)重點(diǎn)更突出。值得指出的是，圖形計(jì)算器可以輔助思考，幫助獲得解題思路，但并不能提高解題能力。解題中解題回顧尤其重要，只有在解題后對尋求解答的整個(gè)思考過程進(jìn)行梳理才能真正提高解題能力。

（一）函數(shù)應(yīng)用題——數(shù)形結(jié)合促進(jìn)思考

以下這個(gè)例題是桂林市 2014—2015 年度上學(xué)期高一數(shù)學(xué)期末考試的壓軸題。通過對學(xué)生答題情況的分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生能完成第（1）題，但第（2）題，有的學(xué)生沒有思路，有的學(xué)生證明不嚴(yán)謹(jǐn)。題目如下：

標(biāo)準(zhǔn)答案很簡潔，然而學(xué)生需要知道的是為什么要這樣做。這個(gè)解答的想路是怎么來的？有沒有其他的解法？

為加深理解，不妨將問題特殊化，令 a=2，借助圖計(jì)算器作 的圖象。畫圖如下：

在圖形函數(shù)中輸入函數(shù)解析式，畫出圖象后利用圖解功能標(biāo)出函數(shù)零點(diǎn)。由圖可知，函數(shù)圖象分為兩部分，左部在橫軸上方，右部圖象在（-1，+∞）上單調(diào)上升，函數(shù)只有一個(gè) 0 點(diǎn)，且 0 點(diǎn)對應(yīng)的 x 大于 0 。觀察到這些特點(diǎn)，原命題的證明就有了思路，證明分為兩部分。一部分證明，當(dāng) x<-1 時(shí)，f（x）>0，即函數(shù)在（-∞，-1）上無 0 點(diǎn)；另一部分，證明當(dāng) x>-1 時(shí)，函數(shù)只有一個(gè) 0 點(diǎn)，且該 0 點(diǎn)對應(yīng)的 x 大于0。于是得到以下證明：

〖證明〗當(dāng) x<-1 時(shí)，有 ax>0，，故 ，即函數(shù)在（-∞，-1）上無 0 點(diǎn)。當(dāng) x>-1 時(shí)，函數(shù) f（x）在（-1，+∞）上遞增，故 f（x）在（-1，+∞）上至多有一個(gè) 0 點(diǎn)?？紤]到 f（0）=1-2<0， f（2）=a2>0，故函數(shù)的唯一 0 點(diǎn)在（0，2）內(nèi)。

綜上，函數(shù) f（x）無負(fù)的零點(diǎn)，即方程 f（x）=0無負(fù)根。

（二）獨(dú)立性檢驗(yàn)——強(qiáng)大計(jì)算輔助

圖形計(jì)算器有較強(qiáng)的計(jì)算功能，在解題中如果遇到一些繁瑣而沒必要手算的計(jì)算時(shí)，可以使用圖形計(jì)算器。例如，在人教 A 版選修 1-2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用中，獨(dú)立性檢驗(yàn)思想是教學(xué)的重點(diǎn)，計(jì)算則不是。下面以例 1 來具體說明。

〖例 1〗在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的 665 名男性病人中，有 214 人禿頂；而另外 772 名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中，有 175 人禿頂。判斷禿頂與患心臟病有沒有關(guān)系，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過 0.010 的前提下認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)系？

〖分析〗根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)，得到如下列關(guān)聯(lián)表：

通過簡單計(jì)算不難發(fā)現(xiàn)，禿頂樣本中患心臟病的頻率明顯高于不禿頂樣本中患心臟病的頻率，因此可以認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)系。接下來就是判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過 0.010 的前提下認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)系。據(jù)數(shù)據(jù)有：

顯然，這個(gè)計(jì)算思維含量較少，對學(xué)生而言較繁雜，并且不是教學(xué)的重點(diǎn)，如果利用圖形計(jì)算器的計(jì)算功能來幫助計(jì)算那么就十分方便。用圖形計(jì)算器算得 k=16.373>6.635。因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過 0.010 的前提下，認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)系。

總之，高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室可以拓寬教師的教和學(xué)生的學(xué)的渠道，可以幫助學(xué)生思考，讓新型探究式教學(xué)成為可能，讓學(xué)生的自主探究有了很好的環(huán)境和輔助工具，對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)和提高學(xué)生獨(dú)立分析問題和解決問題的能力有著十分重要的作用。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張 銳.信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合的教學(xué)模式探討[J].電化教育研究，2007（12）

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2011

（責(zé)編 盧建龍）endprint