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積累非演繹思維經(jīng)驗(yàn) 培養(yǎng)再創(chuàng)造意識(shí)

2018-01-27 18:33劉永江
關(guān)鍵詞:再創(chuàng)造

劉永江

【摘 要】 正在修訂中的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn),把“四基”和“四能”作為了課程的基本目標(biāo),把“培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)”作為課程目標(biāo)的重要落腳點(diǎn)之一,而發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力顯然是培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)的重要前提,所以問(wèn)題意識(shí)的培養(yǎng)就顯得尤為重要,在三類(lèi)重要的數(shù)學(xué)推理形式中相較于演繹推理,歸納推理與類(lèi)比推理顯然更有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題,但就現(xiàn)有教材和教學(xué)而言,關(guān)于歸納與類(lèi)比的教學(xué)嘗試還顯然有很多欠缺之處,本文以等比數(shù)列的學(xué)習(xí)為例闡述了如何進(jìn)一步加強(qiáng)非演繹思維經(jīng)驗(yàn)的積累進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生再創(chuàng)造意識(shí)的一些思考與嘗試.

【關(guān)鍵詞】 感性類(lèi)比;理性類(lèi)比;再感性類(lèi)比;再創(chuàng)造

史寧中教授在他的著作《數(shù)學(xué)基本思想18講》中對(duì)什么是數(shù)學(xué)基本思想給出了兩個(gè)基本原則:一、數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展所必須依賴(lài)的那些思想;二、學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)的人應(yīng)當(dāng)具有的基本的思維特征.根據(jù)這兩個(gè)原則史教授把數(shù)學(xué)基本思想歸結(jié)為三個(gè)核心要素:抽象、推理、模型.這也正是史教授解釋數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)時(shí)常講的三句話(huà),即:數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)是要讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界;會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界;會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象,數(shù)學(xué)的思維就是推理,數(shù)學(xué)的語(yǔ)言就是模型[1].從史教授對(duì)數(shù)學(xué)基本思想的精辟解讀中不難看出:數(shù)學(xué)推理毋庸置疑應(yīng)該是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最主要的思維方式,也恰恰是教師通過(guò)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要落腳點(diǎn).

通常情況下,我們認(rèn)為的數(shù)學(xué)推理大致有以下三種形式,即:由一般到特殊的演繹推理;由特殊到一般的歸納推理;還有就是由特殊到特殊的類(lèi)比推理.為了說(shuō)明三種推理方式的內(nèi)在關(guān)系,我們不妨簡(jiǎn)單梳理一下數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與發(fā)展的過(guò)程:通常情況下,人們由自己的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)通過(guò)觀察并借助歸納與類(lèi)比的方式得到一些主觀上的知識(shí),我們稱(chēng)之為猜想;接下來(lái)我們?cè)俳柚堇[的方式進(jìn)行嚴(yán)格的證明從而去偽存真;在此基礎(chǔ)上,人們又通過(guò)數(shù)學(xué)抽象的方式人為地制造出一些公理或定理,這些公理或定理又將成為進(jìn)一步演繹推理的依據(jù).在這一過(guò)程中,演繹推理是純粹的邏輯推理,是從人為制造的知識(shí)出發(fā);歸納(類(lèi)比)推理也是一種邏輯推理,卻是從經(jīng)驗(yàn)出發(fā),這是二者的本質(zhì)區(qū)別所在.對(duì)于數(shù)學(xué)論證而言,歸納、類(lèi)比是為了得到結(jié)論的推理,演繹是為了證明結(jié)論的推理.由此不難看出知識(shí)創(chuàng)造與產(chǎn)生的本真過(guò)程恰恰更多地源于非演繹的思維方式[2].從培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的角度看,非演繹思維的價(jià)值就凸顯重要,但是,這又恰恰是以往教材編寫(xiě)和教師教學(xué)比較容易忽視的地方.因而,作為身處一線(xiàn)的數(shù)學(xué)教師如何在重視演繹推理能力培養(yǎng)的同時(shí)更多的在課堂教學(xué)中有意識(shí)地加強(qiáng)非演繹思維方式的培養(yǎng)就顯得尤為重要.

另外,正在修訂中的《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實(shí)驗(yàn))把“四基”(基本知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))和“四能”(發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題,分析和解決問(wèn)題能力)作為了課程學(xué)習(xí)的初級(jí)目標(biāo);把“提升創(chuàng)新意識(shí)”作為課程學(xué)習(xí)的重要落腳點(diǎn)之一.從這些目標(biāo)的內(nèi)在聯(lián)系上看,這種課程目標(biāo)的設(shè)定實(shí)際上是一脈相承循序漸進(jìn)的,創(chuàng)新意識(shí)的形成一定是以學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)為前提,因而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與提出問(wèn)題的能力就尤為重要,而在發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題的過(guò)程中類(lèi)比與歸納為我們提供了有力的方法支撐.因而從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的角度上看,我們甚至可以認(rèn)為非演繹思維更有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力,更利于培養(yǎng)學(xué)生的再創(chuàng)造能力與創(chuàng)新意識(shí).

正是基于以上的這些認(rèn)識(shí),筆者認(rèn)為:身在一線(xiàn)的數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具有強(qiáng)烈的時(shí)代使命感,自覺(jué)擔(dān)當(dāng)起“培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)與能力”的重?fù)?dān),這就要求我們必須主動(dòng)地在數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)造機(jī)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)使用歸納、類(lèi)比的思維方式去親歷知識(shí)的再創(chuàng)造過(guò)程,進(jìn)而彌補(bǔ)以往對(duì)非演繹思維方式重視不足的遺憾.相較于歸納推理的教學(xué)實(shí)踐,類(lèi)比推理的教學(xué)資源相對(duì)較少,因而本文中將僅以等比數(shù)列的學(xué)習(xí)為例來(lái)呈現(xiàn)如何借助類(lèi)比推理的教學(xué)來(lái)豐富學(xué)生的非演繹推理經(jīng)驗(yàn)進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的再創(chuàng)造意識(shí)的一些思考與嘗試.

我們知道,類(lèi)比的思維模式在于當(dāng)兩個(gè)或兩類(lèi)以上事物在諸多方面都相同時(shí),便可以參照一類(lèi)事物的已知屬性推斷另一類(lèi)事物具有相同屬性.簡(jiǎn)單地說(shuō):結(jié)構(gòu)相近,性質(zhì)相似.從知識(shí)的呈現(xiàn)形式上看等比數(shù)列與等差數(shù)列完全符合類(lèi)比推理的這一特征,因而等比數(shù)列的學(xué)習(xí)非常適合運(yùn)用類(lèi)比教學(xué)進(jìn)行展開(kāi).根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),我認(rèn)為類(lèi)比教學(xué)大致可以分為三個(gè)學(xué)習(xí)階段,第一個(gè)階段是簡(jiǎn)單的形式上的類(lèi)比,我們可以稱(chēng)之為“感性類(lèi)比階段”.在這一階段,學(xué)生往往可以通過(guò)自己的觀察比較容易發(fā)現(xiàn)兩者的同與不同,進(jìn)而得到初步的類(lèi)比規(guī)律,產(chǎn)生新的類(lèi)比結(jié)論,但是這種類(lèi)比結(jié)論往往只是類(lèi)似文字變動(dòng)的機(jī)械替換,學(xué)生還并未對(duì)類(lèi)比規(guī)律的本質(zhì)進(jìn)行理性的思考;類(lèi)比學(xué)習(xí)的第二階段是類(lèi)比本質(zhì)的揭示,我們稱(chēng)之為理性類(lèi)比階段.這是類(lèi)比學(xué)習(xí)的最關(guān)鍵的階段,在這一階段,學(xué)生會(huì)在教師的引導(dǎo)幫助下逐步發(fā)現(xiàn)類(lèi)比規(guī)律背后的本質(zhì)特征,對(duì)于這一本質(zhì)特征的理解將很好地促進(jìn)類(lèi)比學(xué)習(xí)的下一階段的展開(kāi);類(lèi)比學(xué)習(xí)的第三個(gè)階段就是運(yùn)用類(lèi)比規(guī)律進(jìn)行類(lèi)比推廣的階段,我們可以稱(chēng)之為“再感性類(lèi)比階段”.這一階段其實(shí)就是類(lèi)比規(guī)律的更加深入的應(yīng)用階段,正是因?yàn)閷?duì)類(lèi)比規(guī)律的本質(zhì)有了更加理性的理解,所以學(xué)生就可以把類(lèi)比規(guī)律作為一種思維工具進(jìn)行非常豐富的再創(chuàng)造工作,類(lèi)比思維的寶貴價(jià)值也恰恰體現(xiàn)在這一階段.綜合來(lái)看,類(lèi)比學(xué)習(xí)的三個(gè)階段實(shí)際上是循序漸進(jìn)相輔相成的,如果類(lèi)比僅僅停留在第一個(gè)階段,那么學(xué)習(xí)者就會(huì)錯(cuò)過(guò)了“問(wèn)渠哪得清如許,為有源頭活水來(lái)”的恍然大悟的欣喜,必然會(huì)陷于“不識(shí)廬山真面目,只緣身在此山中”的盲然之中;如果我們?cè)诘诙€(gè)階段就戛然而止,那么學(xué)習(xí)者也不會(huì)領(lǐng)悟“不畏浮云遮望眼,只緣身在最高層”的悠遠(yuǎn)境界,就會(huì)錯(cuò)失“極目楚天闊”的別樣風(fēng)景,那么類(lèi)比的創(chuàng)造價(jià)值就會(huì)蕩然無(wú)存.

基于以上的經(jīng)驗(yàn),我為等比數(shù)列的學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)了如下三個(gè)教學(xué)階段:

第一階段——感性類(lèi)比階段

根據(jù)等差、等比數(shù)列的知識(shí)體系特征我設(shè)計(jì)了如圖1(部分)的知識(shí)方法類(lèi)比表.需要說(shuō)明的是:課前發(fā)給學(xué)生的表格只有第一行和第一列的項(xiàng)目?jī)?nèi)容,在學(xué)習(xí)等比數(shù)列的課前要求學(xué)生把等差數(shù)列的相應(yīng)內(nèi)容先進(jìn)行整理和總結(jié),關(guān)于等比數(shù)列的內(nèi)容則有待課上生成.endprint

對(duì)于類(lèi)比表格中的每一橫行的問(wèn)題就內(nèi)容的生成而言學(xué)生并不是很吃力,他們很容易從字面的對(duì)比中找到類(lèi)比的關(guān)鍵點(diǎn).以等比數(shù)列的定義為例:在組織同學(xué)們訂正完成圖一中的關(guān)于等差數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容后,我設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問(wèn)題:剛才我們又簡(jiǎn)單地回顧了一下等差數(shù)列相關(guān)的知識(shí)體系,那么我們今天將繼續(xù)學(xué)習(xí)另一種重要的數(shù)列——等比數(shù)列,我想問(wèn)一下同學(xué)們:如果讓你嘗試著給等比數(shù)列下一個(gè)定義,你覺(jué)得應(yīng)該怎樣說(shuō)?

對(duì)這個(gè)問(wèn)題,學(xué)生很快就會(huì)照貓畫(huà)虎地給出如下內(nèi)容的定義:一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)d,那么這個(gè)數(shù)列叫等比數(shù)列,常數(shù)d叫做公比.學(xué)生僅僅用“比”替換掉了等差數(shù)列中的“差”就得到了等比數(shù)列的定義(當(dāng)然這一定義是不嚴(yán)格的),應(yīng)該說(shuō)這一階段其實(shí)是類(lèi)比學(xué)習(xí)中最低級(jí)的階段,是學(xué)生根據(jù)等值這一個(gè)共性簡(jiǎn)單模仿而制造類(lèi)比結(jié)論的過(guò)程,但需要強(qiáng)調(diào)的是,這一階段看似乏善可陳,但這種簡(jiǎn)單的模仿卻是類(lèi)比學(xué)習(xí)的激發(fā)點(diǎn),因?yàn)閺慕Y(jié)果上看,這一看似簡(jiǎn)單的模仿其實(shí)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了新知識(shí)的創(chuàng)造,只不過(guò)這種創(chuàng)造還僅僅處于形式類(lèi)比的毛坯階段.如果說(shuō)這是“感性類(lèi)比”的求同存異的尋找共性的環(huán)節(jié),那么接下來(lái)的就是和而不同辨別個(gè)性的環(huán)節(jié).就等比數(shù)列的定義而言公比不等于零的條件是它與等差數(shù)列最大的不同,這也是等比數(shù)列定義的關(guān)鍵的特征.在這一點(diǎn)上,為了讓學(xué)生充分感受揭示本質(zhì)的過(guò)程,我并沒(méi)有直接追問(wèn)公比是否可以為零,而是在得到等比數(shù)列的定義后我又設(shè)計(jì)了以下問(wèn)題:哪位同學(xué)能給大家舉幾個(gè)等比數(shù)列的例子?這個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)看似簡(jiǎn)單,但我的用意卻是希望學(xué)生在運(yùn)用等比數(shù)列的定義構(gòu)造具體等比數(shù)列的過(guò)程中,能夠感知等比數(shù)列“等值”的特征,進(jìn)而加深對(duì)定義內(nèi)涵的反思與理解.另外,我也會(huì)在板書(shū)他們的例子的時(shí)候有意識(shí)地把公比為正號(hào)與負(fù)號(hào)的兩種情況進(jìn)行歸類(lèi)書(shū)寫(xiě),為辨析公比是否可以為零做好素材上的鋪墊;在從正面舉例應(yīng)用定義的基礎(chǔ)上我又接著設(shè)計(jì)了這樣的問(wèn)題:誰(shuí)能舉幾個(gè)看似是等比數(shù)列,但又不是的反例?這種舉反例的做法從本質(zhì)上講其實(shí)也是在正向應(yīng)用定義,但是舉反例還會(huì)更好地幫助學(xué)生進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)定義外延的界定.

在以上一正一反舉例的過(guò)程中關(guān)于公比是否可以為零的問(wèn)題極有可能會(huì)自然而然地呈現(xiàn)出來(lái),這時(shí)候老師就可以引導(dǎo)學(xué)生揭示公比不等于零的原因所在,即便沒(méi)有呈現(xiàn),老師也可以用“常數(shù)列是等差數(shù)列,那么常數(shù)列是等比數(shù)列嗎?”這樣的問(wèn)題引出零常數(shù)列可否為等比數(shù)列的議題,進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考等比數(shù)列中可否出現(xiàn)某項(xiàng)為零的情況.至此,學(xué)生對(duì)q不等于零的根本原因——除數(shù)不可為零就會(huì)形成更為深刻的認(rèn)識(shí).這種教學(xué)設(shè)計(jì)既完成了幫助學(xué)生在利用共性創(chuàng)造知識(shí)的“知其然”的階段,又引導(dǎo)學(xué)生從特性的角度揭示了新知識(shí)自身的特征,完成了“知其所以然”的學(xué)習(xí)過(guò)程.

第二階段——理性類(lèi)比階段

模仿“制造”等比數(shù)列定義的方式,我引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類(lèi)比的方式生成并辨析了圖一表格中的遞推關(guān)系式、通項(xiàng)公式、廣義通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)這四項(xiàng)內(nèi)容之后,又和學(xué)生們一起完成了角碼和相等的重要性質(zhì)以及如何構(gòu)造新等比數(shù)列的常見(jiàn)方法的學(xué)習(xí).正因?yàn)檫@些內(nèi)容的生成模式近于雷同,所以我認(rèn)為它們還應(yīng)屬于類(lèi)比學(xué)習(xí)的毛坯階段,即:感性類(lèi)比階段.顯然,如果僅僅把我們的學(xué)習(xí)停留在這樣的水平上是無(wú)法真正達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新能力的教學(xué)目的的,要想把類(lèi)比引向深刻就必須更加深入地揭示類(lèi)比的規(guī)律與本質(zhì).為了幫助學(xué)生達(dá)成以上目的,我引導(dǎo)學(xué)生對(duì)多次類(lèi)比的運(yùn)算變化情況進(jìn)行了如下的歸納與對(duì)比:

在師生的共同努力下,我們得到了等差數(shù)列與等比數(shù)列在運(yùn)算形式上的升級(jí)關(guān)系:

圖2為了進(jìn)一步幫助學(xué)生體會(huì)與理解“運(yùn)算升級(jí)”這一類(lèi)比的本質(zhì),我又設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問(wèn)題:我們能把一個(gè)等差數(shù)列構(gòu)造成一個(gè)新的等差數(shù)列,也能把一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)造成一個(gè)新的等比數(shù)列,那么我們能不能把一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列改造成一個(gè)等差數(shù)列呢?這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是為考查學(xué)生對(duì)“等差數(shù)列中的乘法運(yùn)算會(huì)對(duì)應(yīng)等比數(shù)列中的乘方運(yùn)算”這一類(lèi)比規(guī)律的理解與應(yīng)用情況;從另一層面上看,也是對(duì)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì): logabn=nlogab的理解程度的考查.由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)我們可以看出,只要對(duì)一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列每一項(xiàng)求對(duì)數(shù)就可以達(dá)到運(yùn)算降級(jí)的目的.

第三個(gè)階段——再感性類(lèi)比階段

按照?qǐng)D2的這種運(yùn)算升級(jí)的類(lèi)比規(guī)律,我在備課時(shí)突然發(fā)現(xiàn)了一個(gè)挺矛盾的現(xiàn)象:我們?cè)诘炔顢?shù)列中研究的是前n項(xiàng)和的求和公式,在等比數(shù)列中我們研究的也是前n項(xiàng)和的求和公式,但是按照我們剛才的這種運(yùn)算升級(jí)的類(lèi)比規(guī)律,我們?cè)诘缺葦?shù)列的學(xué)習(xí)中應(yīng)該研究的是等比數(shù)列的前n項(xiàng)積才對(duì)呀(當(dāng)然,從數(shù)學(xué)知識(shí)體系的角度看,之所以研究數(shù)列求和其出發(fā)點(diǎn)之一就是為了呈現(xiàn)離散型的函數(shù)的積分問(wèn)題,這是與連續(xù)型函數(shù)求積分相呼應(yīng)的)!這一發(fā)現(xiàn)的確讓我非常興奮,于是我就為學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問(wèn)題:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為:Sn=a1+an2·n,那么等比數(shù)列的前n項(xiàng)積應(yīng)該是什么呢?根據(jù)前面的類(lèi)比經(jīng)驗(yàn)學(xué)生們比較容易得出這樣的結(jié)論:等比數(shù)列的前n項(xiàng)積為(a1·an)n=(a1·an)n2.這一式子從意義上可以解讀為“n個(gè)等比中項(xiàng)之積”.

對(duì)比前面的類(lèi)比階段,如果把“毛坯階段”的類(lèi)比過(guò)程稱(chēng)為“形似”階段,那么剛才對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)積的類(lèi)比過(guò)程就是“神似”的階段,而“等比數(shù)列的前n項(xiàng)積應(yīng)該是什么?”這一問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)恰恰是在深刻理解類(lèi)比本質(zhì)的基礎(chǔ)上得到的神來(lái)之筆,嚴(yán)格意義上講,這才是真正“創(chuàng)造”知識(shí)的過(guò)程.但是,正如我們?cè)谇懊嬲劦降年P(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的生成與發(fā)展的過(guò)程那樣,我們借助類(lèi)比這一思維工具“創(chuàng)造”了“新”知識(shí),接下來(lái),我們就必須依據(jù)學(xué)過(guò)的知識(shí),借助演繹的方式來(lái)嚴(yán)格證明“新知識(shí)”的真?zhèn)?那么,我們又該如何來(lái)完成這種證明呢?

其實(shí),我們的證明還可以從類(lèi)比開(kāi)始:求一個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和我們可以采取倒序相加的方法,那么求等比數(shù)列前n項(xiàng)積似乎就可以采取倒序相乘的方法來(lái)得出.類(lèi)比結(jié)果如下:

算到這里就出現(xiàn)了兩個(gè)問(wèn)題,第一個(gè)問(wèn)題是到底取正值還是負(fù)值?第二個(gè)問(wèn)題是必須是正的才可以開(kāi)平方呀.該怎么解決這兩個(gè)問(wèn)題呢?在這里我引導(dǎo)學(xué)生采取了我們一貫的做法——抽象問(wèn)題具體化.我引導(dǎo)學(xué)生列舉了根據(jù)a1與q的符號(hào)分類(lèi)得到的四類(lèi)具體的等比數(shù)列:

通過(guò)逐類(lèi)觀察,不難發(fā)現(xiàn):(a1·an)n的符號(hào)干擾的只是最終結(jié)果的正負(fù),而n個(gè)數(shù)乘積的符號(hào)又取決于負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù),鑒于以上兩點(diǎn),我們可以采取以下的處理方式來(lái)解決最初的兩個(gè)問(wèn)題:

這樣一來(lái),只需要確定數(shù)列中負(fù)數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)就可以決定Πn最終的符號(hào)了.這一結(jié)果的類(lèi)比生成與嚴(yán)格證明充分體現(xiàn)了歸納、類(lèi)比推理發(fā)現(xiàn)合情猜想,演繹推理證明猜想合理的多種推理方式有機(jī)結(jié)合的本真過(guò)程.

事實(shí)上,除了利用運(yùn)算升級(jí)的類(lèi)比規(guī)律去發(fā)現(xiàn)新大陸,我們還可以引導(dǎo)學(xué)生回到本節(jié)課最開(kāi)始借助類(lèi)比創(chuàng)造新數(shù)列的思維模式上來(lái),例如:讓學(xué)生在課下模仿本節(jié)課的學(xué)習(xí)方式,去建構(gòu)諸如等和數(shù)列或者等積數(shù)列的知識(shí)體系,從橫向思考的角度再次發(fā)揮類(lèi)比這一思維工具的創(chuàng)新價(jià)值.

需要強(qiáng)調(diào)的是:我們提倡幫助學(xué)生積累非演繹思維的經(jīng)驗(yàn)的先決條件是要求教師首先要形成運(yùn)用歸納、類(lèi)比進(jìn)行教學(xué)思考的習(xí)慣與意識(shí);另外,教師要有強(qiáng)烈的教會(huì)學(xué)生運(yùn)用歸納與類(lèi)比進(jìn)行思考的教學(xué)意向,然后才是在教學(xué)實(shí)踐中一招一式的示范.只有在老師的示范與幫助之下,學(xué)生才有機(jī)會(huì)通過(guò)日積月累來(lái)逐漸增強(qiáng)歸納與類(lèi)比推理的經(jīng)驗(yàn),形成歸納與類(lèi)比的思維能力,也唯有此,我們數(shù)學(xué)教育改革中一直希冀的“培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題和分析與解決問(wèn)題的能力,進(jìn)而培養(yǎng)創(chuàng)新的意識(shí)與能力”的目標(biāo)才會(huì)不僅僅是改革的一種希望.

參考文獻(xiàn)

[1] 《數(shù)學(xué)基本思想18講》[M].史寧中.北京:北京師范大學(xué)出版社,2016-10.

[2] 《數(shù)學(xué)與知識(shí)的探索》[M].(美)M·克萊因著,劉志勇譯.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2011-12.endprint

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