洪偉 程小紅

【摘要】 概念圖是一種實(shí)現(xiàn)知識(shí)可視化的工具，主要由概念和概念間的關(guān)系構(gòu)成，基本構(gòu)成單元是命題，具有清晰的層級(jí)結(jié)構(gòu).在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中引入概念圖可以較好地提升學(xué)習(xí)效果，其作用主要包括三個(gè)方面：幫助建構(gòu)概念體系;實(shí)現(xiàn)陳述性知識(shí)向程序性知識(shí)的轉(zhuǎn)化;突出知識(shí)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)不同知識(shí)之間的關(guān)聯(lián).

【關(guān)鍵詞】 概念圖;小學(xué)數(shù)學(xué);概念教學(xué)

概念圖一詞是由英文“concept map”翻譯而來(lái)，其創(chuàng)始人是美國(guó)教育心理學(xué)家諾瓦克（Joseph D.Novak）教授.諾瓦克在其專(zhuān)著《學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)》中指出概念圖是指用命題的形式來(lái)表征不同概念間的有意義聯(lián)系（的工具）;命題是指在一個(gè)語(yǔ)義單元中由連接詞連接起來(lái)的兩個(gè)或兩個(gè)以上的概念名稱(chēng);概念是指用于表示事物規(guī)律的名稱(chēng).

由定義可以看出概念圖在表現(xiàn)形式上具有如下特點(diǎn)：

首先，其構(gòu)成要素是概念和概念間的關(guān)系，表示概念的詞放在方框或圓圈中并位于頂點(diǎn)的位置，相關(guān)的概念間用短線交叉連接，根據(jù)需要在交叉連接上標(biāo)注是什么樣的關(guān)系.例如，三角形按最大內(nèi)角可分為鈍角三角形、直角三角 形和銳角三角形，這句話可以用圖1所示的概念圖來(lái)表示：

其次，概念圖的 基本構(gòu)成單元是命題，如圖1所示三角形、鈍角三角形以及二者之間的交叉連接就構(gòu)成了一個(gè)命題，含義是三角形包含鈍角三角形或鈍角三角形包含于三角 形.

第三，概念圖具有清晰的層級(jí)結(jié)構(gòu).繪圖時(shí)一般將上位概念寫(xiě)在圖形的上方，如圖1中的“三角形”;下位概念或從屬概念放在圖形的下方，如圖1中的“鈍角三角形”等;交叉連接表示兩個(gè)概念間存在的某種關(guān)系.

從這些表現(xiàn)形式上的特點(diǎn)可以看出概念圖實(shí)質(zhì)上就是將文字信息解構(gòu)成了概念和概念間的關(guān)系這兩種要素，并將它們按一定的規(guī)范繪制在圖形中.因此，也可以將概念圖的本質(zhì)歸納為一種實(shí)現(xiàn)知識(shí)可視化的工具.知識(shí)可視化是指應(yīng)用視覺(jué)表征手段將人們的個(gè)體知識(shí)表示出來(lái)，形成能夠直接作用于人的感官的知識(shí)外在表現(xiàn)形式（顯性的物理知識(shí)制品），從而促進(jìn)知識(shí)的傳播和創(chuàng)新.正是基于這一本質(zhì)，概念圖被開(kāi)發(fā)出多種洐生功能，正在被越來(lái)越廣泛地運(yùn)用于多種學(xué)科領(lǐng)域，發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用.

概念學(xué)習(xí)是概念圖研究最早、應(yīng)用最廣泛的領(lǐng)域.實(shí)踐發(fā)現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中引入概念圖可以明顯提升教學(xué)效果.小學(xué)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)通常包括學(xué)習(xí)概念的名稱(chēng)、定義、特征、內(nèi)涵與外延、例證、運(yùn)用等內(nèi)容.概念圖在其中發(fā)揮的作用可歸納為以下三個(gè)方面.

一、概念圖與概念體系建構(gòu)

概念圖表現(xiàn)為清晰的層級(jí)結(jié)構(gòu)，在幫助學(xué)習(xí)者理整建構(gòu)概念體系上具有極大優(yōu)勢(shì).從靜態(tài)來(lái)看，由于概念圖具有高度的抽象性和概括性，通常一張圖可以同時(shí)容納概念包含的所有要點(diǎn)內(nèi)容.同時(shí)層級(jí)結(jié)構(gòu)中除了文字，還包括位置、形狀、交叉連接等象元信息，即使非常復(fù)雜的概念間關(guān)系也可以在圖中表現(xiàn)得非常直觀、一目了然.

從動(dòng)態(tài)來(lái)看，學(xué)習(xí)者每學(xué)習(xí)一個(gè)新的概念，都需要思考它的內(nèi)涵和外延是什么、與已學(xué)知識(shí)有什么聯(lián)系、應(yīng)當(dāng)放在圖中的什么位置、與哪些概念有關(guān)、是什么樣的關(guān)系等.完成了對(duì)這些問(wèn)題的思考，繪制完概念圖，對(duì)該概念的有意義學(xué)習(xí)也就發(fā)生了.隨著學(xué)習(xí)的逐步深入，學(xué)習(xí)者不斷充實(shí)和擴(kuò)展概念圖，建構(gòu)自己的知識(shí)體系.不論是上位學(xué)習(xí)、下位學(xué)習(xí)還是組合學(xué)習(xí)都可以在圖中得到很好的體現(xiàn).

繪制概念圖通常包括初建、調(diào)整、重建三種方式.仍以三角形的學(xué)習(xí)為例，剛認(rèn)識(shí)三角形時(shí)可能繪制的概念圖（如圖2所示），圖中體現(xiàn)了三角形的三個(gè)構(gòu)成要素，這一過(guò)程就是初建.學(xué)到三角形按角如何分類(lèi)時(shí)會(huì)再繪制一個(gè)概念圖（如圖1所示），這時(shí)并不強(qiáng)調(diào)它的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，因此，概念間關(guān)系寫(xiě)的是比較簡(jiǎn)略的“包含”.繼續(xù)學(xué)習(xí)了解到還可以根據(jù)邊來(lái)分類(lèi)時(shí)圖形就可以調(diào)整為如圖3所示，圖中加注了分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此，它在圖中的位置是在等腰三角形的下一個(gè)層級(jí).當(dāng)整個(gè)單元的內(nèi)容學(xué)完，就可能擴(kuò)展成如圖4、圖2以及其他若干個(gè)小概念圖都經(jīng)過(guò)再調(diào)整成了其中的一部分，嵌入在了合適的層級(jí)位置上，這一過(guò)程便是重建.

可以看出不斷更新的概念圖成為了概念樁，將諸多原本零散的知識(shí)收納到一個(gè)圖形中，逐步建構(gòu)明晰的概念體系，利于理清關(guān)系、幫助記憶、加深理解，從而提升學(xué)習(xí)效果.

二、陳述性知識(shí)向程序性知識(shí)的轉(zhuǎn)化

學(xué)生學(xué)習(xí)概念時(shí)通常接觸到的都是言語(yǔ)描述的陳述性知識(shí).從知識(shí)學(xué)習(xí)到實(shí)踐運(yùn)用的轉(zhuǎn)化路徑通常包括：吸收陳述性知識(shí)、轉(zhuǎn)化為程序性知識(shí)、執(zhí)行程序、解決問(wèn)題.陳述性知識(shí)是指形如“是什么”的知識(shí);程序性知識(shí)是關(guān)于“怎么做”的知識(shí);解決的問(wèn)題包括判斷一個(gè)例證是否屬于這一概念等.這一路徑中的關(guān)鍵就是如何將陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化為程序性知識(shí).常規(guī)教學(xué)中教師甚至學(xué)生本人都很難發(fā)現(xiàn)這一過(guò)程是否已經(jīng)順利完成.概念圖可以很好地促成和幫助學(xué)生完成轉(zhuǎn)化，教師也可借之評(píng)測(cè)學(xué)生的轉(zhuǎn)化狀況.

以質(zhì)數(shù)與合數(shù)的學(xué)習(xí)為例，人教版教材中對(duì)兩者的定義是“一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）.”“一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫作合數(shù).”“1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).”

定義回答了什么是質(zhì)數(shù)、什么是合數(shù)的問(wèn)題，但在實(shí)際運(yùn)用中往往面對(duì)的問(wèn)題是如何判斷一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù).可以運(yùn)用概念圖將定義轉(zhuǎn)化成如圖5所示的判斷程序.

從圖中可以看出對(duì)質(zhì)數(shù)合數(shù)的分類(lèi)依據(jù)在于因數(shù)個(gè)數(shù)的不同.分類(lèi)討論是 重要的數(shù)學(xué)思想和問(wèn)題解決策略，圖中做了一個(gè)直觀的展示.同時(shí)，還可以將之前所學(xué)的另一種數(shù)的分類(lèi)——奇數(shù)和偶數(shù)融合進(jìn)圖中，進(jìn)行對(duì)比分析與關(guān)聯(lián)思考.

另外，適度抽象化的圖形可以幫助學(xué)生更好地集中精力在關(guān)鍵信息上，引導(dǎo)學(xué)有余力者進(jìn)行批判性思考，例如，為什么是對(duì)非0自然數(shù)進(jìn)行分類(lèi)？那0是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，為什么？質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是不是有限的？為什么不能把因數(shù)個(gè)數(shù)是1個(gè)和2個(gè)的統(tǒng)歸成質(zhì)數(shù)？質(zhì)數(shù)與合數(shù)的個(gè)數(shù)誰(shuí)多誰(shuí)少？……

學(xué)習(xí)定義、性質(zhì)等陳述性知識(shí)時(shí)，可以用概念圖即時(shí)地轉(zhuǎn)化成程序性知識(shí)，并在圖中理解程序、練習(xí)程序，綜合運(yùn)用與解決問(wèn)題時(shí)執(zhí)行程序、感悟程序，以達(dá)到高效學(xué)習(xí)的目的.

三、突出本質(zhì)、實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)

概念間的聯(lián)系可能直接表現(xiàn)為圖中的交叉連接，也可能通過(guò)形狀等其他信息傳遞出來(lái);可能存在于同一個(gè)概念圖中，也可能存在于幾個(gè)相關(guān)聯(lián)的概念圖之間.

以長(zhǎng)度單位的學(xué)習(xí)為例，不同的長(zhǎng)度單位間換算具有不同的倍率.多個(gè)版本的教材中對(duì)這一內(nèi)容的表達(dá)都用的是類(lèi)似如下所示的公式組合.

1千米=1000米

1米=10分米

1分米=10厘米

1厘米=10毫米

這些公式在實(shí)際應(yīng)用中可以衍生出如下所示更多的公式：

1千米=10000分米

1米=100厘米

1分米=100毫米

1千米=100000厘米

1米=1000毫米

1千米=1000000毫米

當(dāng)然在解決諸如“23千米=（? ）厘米”這樣的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生也有可能不會(huì)記憶相應(yīng)的公式，而是先將其換算成“23千米=23000米”，再繼續(xù)添零換算成“23千米=23000米=2300000厘米”.無(wú)論哪種方式都少不了在頭腦中進(jìn)行類(lèi)似這樣一種思維活動(dòng)：將單位按順序一字排開(kāi)，思考問(wèn)題中兩個(gè)單位之間相差多少個(gè)間隔、這些間隔代表多少倍率，組合得出答案.

將這一思維過(guò)程可視化在概念圖中就如圖6所示，各單位按大小左右排列，連接線的長(zhǎng)度不同表示不同的倍率：

看到這樣的圖形，很容易讓人想到位數(shù)表，不同的只是將十位和百位省略了，各長(zhǎng)度單位可以與位數(shù)表中其他位數(shù)一一對(duì)應(yīng)，如圖7所示：

兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)雖然被表示在不同的概念圖中，但由于兩圖形狀高度相似，很容易激發(fā)人們的聯(lián)想.實(shí)際上兩者之間確有關(guān)聯(lián)，在本質(zhì)上都屬于進(jìn)位制，只是用于表示單位的符號(hào)不同，分別是長(zhǎng)度單位名稱(chēng)和數(shù)字所在的位置.同位值制中的位置一樣，不同的單位名稱(chēng)表示長(zhǎng)度上不同的倍率.其實(shí)漢語(yǔ)詞典中對(duì)于分米中“分”字的解釋就是“十分之一”，也就是十分位所在的倍率.同樣厘、毫這兩個(gè)字的釋義也分別是“百分之一”和“千分之一”.它們?cè)谝馑忌吓c位數(shù)表也是對(duì)應(yīng)統(tǒng)一的.

可以將概念圖的這一類(lèi)作用稱(chēng)之為“突出本質(zhì)、實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)”.這里的本質(zhì)既可以指蘊(yùn)含在不同知識(shí)點(diǎn)中共同的規(guī)律，也可以指它們?cè)跀?shù)學(xué)思想或方法論上的統(tǒng)一.教學(xué)中教師可以引導(dǎo)學(xué)生以概念圖為突破口進(jìn)行更多類(lèi)似的探索和研究活動(dòng).

以上三點(diǎn)作用都是旨在促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念以及概念之間的聯(lián)系進(jìn)行更深入的關(guān)聯(lián)性思考，形成更深層次的理解，促進(jìn)發(fā)生更高水平的有意義學(xué)習(xí).概念學(xué)習(xí)是整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，可以預(yù)見(jiàn)引入概念圖對(duì)改善小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的作用必然是巨大的.