張弟

【摘要】 課程標準明確要求在學習和應用數學的過程中，發(fā)展學生數學抽象、邏輯推理等六大核心素養(yǎng).本文擬以“等差數列的前n項和”為例，闡述在核心素養(yǎng)發(fā)展觀下的教學設計.

【關鍵詞】 核心素養(yǎng);教學設計;等差數列;前n項和

課程標準在課程目標中明確了“應發(fā)展學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學學科核心素養(yǎng).”這就需要教師把平時教學與核心素養(yǎng)的發(fā)展結合在一起，在高中數學教學中應注重學科特點，積極為學生創(chuàng)設問題情境，讓學生的數學核心素養(yǎng)得到發(fā)展.

一、內容解析

本節(jié)內容是江蘇版高中數學必修5第2章第3節(jié).教學中要求學生掌握等差數列前n項和的公式以及推導的思想方法.教師可借助問題情境讓學生進行探究活動，由特殊到一般，讓學生在問題解決的過程中體會“倒序相加法”的求和方法.

二、學生情況

通過上一節(jié)學習，學生知識經驗較為豐富（等差數列的概念、通項公式及性質等），具備一定的分析和推理能力.但第一次接觸數列的求和，缺乏相關經驗.在授課時，教師可注重從歷史故事、生活實例入手，創(chuàng)設符合學生認知基礎和學習特點的情境，激發(fā)學習興趣.

三、教學過程

（一）復習、提出問題

復習 ?等差數列的通項公式和一個重要的下標和性質.

情境1 ?一個數學故事（PPT展示高斯求解1+2+…+ ?100= ？的故事）

問題1 ?你知道高斯是怎么快速算出的嗎？

高斯算法的妙處在于將這100個數分成50組，每組數的和都是101，50個101是5050，將加法問題轉化為乘法運算，迅速得到了結果.

本節(jié)課我們來研究等差數列的前n項和的問題.數列{a n}的前n項和常用S n表示，即S n=a 1+a 2+a ?3 +…+a n.

情境2 ?一個生活實例：某倉庫堆放一堆鋼管，最上面一層有1根，下面的每一層比上一層多1根，最下面一層有9根，求這堆鋼管的總數.

問題2 ?如何求1+2+…+9=？

生1：45，一個加一個.連加算.

生2：借鑒高斯的算法，把1與9配對，2與8配對，…，剩下一個5，4個10加上5等于45.

我們發(fā)現借鑒高斯的這種“首尾配對”的算法對偶數項的數列很好用，但對于奇數項的數列就不方便，奇數個數相加時，首尾兩兩配對，會發(fā)現有1項被“冷落”了.是否有簡單的方法避免對項數奇偶性的討論？

（二）探究、解決問題

生3：這個鋼管堆起來是三角形狀，若在旁邊倒著放同樣的一堆鋼管，則它與原圖補成平行四邊形.這樣每層的鋼管數都為10，共9層，則鋼管總數是90的一半，45.

這種方法很奇妙，不需要考慮項數的奇偶性就可以求和.用數學式子表示：S ?9 =1+2+3+…+9，S ?9 =9+8+7+…+1.兩式對齊相加，得2S ?9 =10×9，S ?9 =45，這就是數列求和的一個重要方法——“倒序相加法”.

問題3 ?如何求1+2+…+n=？（由問題2的特殊情形一般化.

生4：將上述各項的順序倒過來寫，再兩式相加.）

問題4 ?更一般地，如何求等差數列{a n}的前n項的和S n=a 1+a 2+a ?3 +…+a n？

生5：將上式右邊各項的次序倒過來書寫，再兩式相加，2S n=（a 1+a n）+（a 2+a ?n-1 ）+…+（a 2+a ?n-1 ）+（a 1+a n），運用等差數列的下標和性質a 1+a n=a 2+a ?n-1 =…得到S n=n a 1+a n 2 . （1）

公式（1）可聯想到梯形面積公式來幫助記憶.

問題5 ?等差數列前n項和還有其他表達形式嗎？

生6：將通項公式a n=a 1+（n-1）d代入（1），得到S n=na 1+ n（n-1）d 2 . （2）

問題6 ?已知等差數列前n項和公式的兩種形式，那么在求等差數列前n項和時，該選用哪個公式呢？

生7：若已知等差數列的首項a 1，項數為n，第n項a n，則用公式（1）;若已知首項a 1，項數為n，公差d，則用公式（2）.

例1 ??已知等差數列{a n}.

（1）已知a 1=3，a ?50 =101，求S ?50 .（2）已知a 1=3，d= 1 2 ，求S ?10.

例2 ??已知等差數列{a n}，d= 1 2 ，a n= 3 2 ，S n=- 15 2 ，求a 1及n.

例3 ??已知等差數列{a n}，第1項到第10項的和為310，第11項到第20項的和為910，求第21項到第30項的和.

（三）感悟、再生問題

問題7 ?觀察例3的結果，有什么發(fā)現嗎？

（1）從例題的結果出發(fā)，引導學生觀察：310，910，1510是什么數列？（等差數列）

（2）一般地，如果等差數列{a n}的前n項和為S n，那么S ?10 ，S ?20 -S ?10 ，S ?30 -S ?20 是否成等差數列？（是）

（3）有更一般的結論嗎？

（四）課堂小結（主要由學生完成）

從知識、方法、思想和應用層面來回顧.

四、認識與思考

1.為了讓學生更好地掌握等差數列的前n項和的公式的推導，一借助有趣的歷史故事引入，激發(fā)學生學習興趣;二利用剛學過的等差數列的下標和性質直接推導S n的公式，讓公式的推導一氣呵成.

2.數學課堂應該是以數學知識為載體的數學思想方法的感悟.教師根據學生情況創(chuàng)設一個再創(chuàng)造過程，選取契合學生認知基礎和學習特點的問題情境，讓學生主動參與探究并體會其中蘊含的數學思想和方法，逐步形成對數學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).