張華忠

摘 要：為提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)效果，闡述清楚一些較為抽象的數(shù)學(xué)概念與定義，我們引入了“反例”這個概念。構(gòu)建反例不僅是非常重要的教學(xué)方法和策略之一，更是充分利用數(shù)學(xué)思想解決問題的體現(xiàn)。反例教學(xué)的作用是提升學(xué)生思維的發(fā)散性、全面性以及創(chuàng)新性，引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思考的積極性。結(jié)合教學(xué)實際，探討了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中反例應(yīng)用的意義，并闡述了反例的作用。

關(guān)鍵詞：反例教學(xué)；初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用研究

一、緒論

在數(shù)學(xué)教學(xué)中命題的判定是一個重要的模塊內(nèi)容，要判斷一個數(shù)學(xué)命題的正確性，在正向證明和思考存在困難時，可以列舉出一個滿足命題條件，但結(jié)論與命題條件不相符的例子，就能完成對命題的否定，這是通常意義下反例的定義。反例教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教育中具有不可或缺的作用，但在實施的過程中依然有一些關(guān)鍵點(diǎn)需要注意。

二、初中數(shù)學(xué)反例教學(xué)中需要注意的問題

1.注意反例教學(xué)的引入

在教學(xué)過程中引入反例時要注意聯(lián)系學(xué)生的知識水平和心理特征，考慮到該年齡段學(xué)生在問題解決方面還很難做到獨(dú)立系統(tǒng)推理論證，思維仍具有一定局限性，故引入的反例要便于學(xué)生理解，具有一定可行性和現(xiàn)實意義。

2.注意反例教學(xué)構(gòu)建

在使用反例進(jìn)行教學(xué)時，教師不僅應(yīng)當(dāng)合理使用反例，更加重要的一點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)構(gòu)造反例，這屬于數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的探究活動，并且在很多情況下反例的構(gòu)建并不唯一，有多種方案，這就對學(xué)生知識的掌握和概念的理解提出了新的挑戰(zhàn)。學(xué)生在構(gòu)建反例過程中能夠培養(yǎng)思考能力，學(xué)會動腦解決問題。例如，在教學(xué)實數(shù)相關(guān)內(nèi)容時，提問學(xué)生：兩個無理數(shù)的和是否一定是無理數(shù)？學(xué)生立即舉出幾個反例，如π與-π，它們的和等于零，是有理數(shù)。這時教師可以將問題擴(kuò)展到無理數(shù)的乘除方向，引發(fā)學(xué)生更深一步的思考。學(xué)生在討論的過程中不僅更深一步了解了無理數(shù)和有理數(shù)的概念，更培養(yǎng)了發(fā)散的數(shù)學(xué)思維。

3.注意反例教學(xué)的逐層深入性

在構(gòu)建反例教學(xué)時教師應(yīng)當(dāng)按照教學(xué)大綱確定合理的教學(xué)深度，并以此來構(gòu)建反例，將高難度的題目轉(zhuǎn)化為難度較低的幾個部分，讓學(xué)生能有逐層思考的機(jī)會。在教授三角形全等的判定定理時，學(xué)生在掌握基本的幾個判定定理（SSS，SAS，ASA，AAS）后，教師可給出其他條件讓學(xué)生判斷該三角形是否為全等三角形，比如固定一條邊或固定一個角，學(xué)生在分情況討論的過程中構(gòu)造不全等三角形舉出反例，大大降低了解題難度。

三、反例教學(xué)的重要作用

1.培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性

在研究數(shù)學(xué)過程中必須做到嚴(yán)謹(jǐn)，教師在使用反例教學(xué)過程中可將學(xué)生平日在學(xué)習(xí)考試中容易犯的錯誤設(shè)計成反例，讓學(xué)生突破思維誤區(qū)，培養(yǎng)思維縝密性。如在數(shù)的性質(zhì)判斷過程中，學(xué)生習(xí)慣用特殊值法解題，這常出現(xiàn)行不通的狀況。從這點(diǎn)可以看出構(gòu)建反例同時也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)從多角度對問題進(jìn)行研究的一類過程，適當(dāng)設(shè)置的反例教學(xué)不僅有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中的漏洞及錯誤，并且可以幫助學(xué)生培養(yǎng)多方面思考的能力，在解題過程中考慮更全面。

2.培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神

實驗、推理和猜想是構(gòu)建反例的三大要素，在參與構(gòu)建反例的過程中，學(xué)生的創(chuàng)新能力也能得到大幅度的提升。例如，判斷“底面是正三角形，側(cè)面均為等腰三角形的棱錐是正三棱錐”這一命題，學(xué)生很容易進(jìn)入一個思維誤區(qū)中，就是將“側(cè)面是等腰三角形”等價于“側(cè)面是全等的等腰三角形”，從而造成解題和思考的誤區(qū)。在針對類似反例的探索和研究中，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣將會得到有效激發(fā)，也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的毅力與熱情，達(dá)到素質(zhì)教育中培養(yǎng)創(chuàng)新性的目的。

3.培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性

在完成正多邊形的性質(zhì)學(xué)習(xí)后，學(xué)生都對正多邊形的性質(zhì)有了一定程度的了解，如正多邊形所有的邊、角都相等。為了令學(xué)生對這一性質(zhì)印象更為深刻，教師可采用設(shè)計反例的方法對此進(jìn)行鞏固。例如菱形，此類多邊形具有不穩(wěn)定性，常常會出現(xiàn)各個邊均保持相等、各個角并不相等的情況，而且所有角都相等的多邊形是正多邊形的反例，存在無數(shù)個這樣的正多邊形。

四、結(jié)論

構(gòu)建反例不僅是非常重要的教學(xué)方法和策略之一，更是充分利用數(shù)學(xué)思想解決問題的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)反例是為初中數(shù)學(xué)教學(xué)增色的一個重要教學(xué)方法，教師合理設(shè)計反例，或者有針對性地引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，思考用反例解決問題，常常能令學(xué)生的思考能力產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識，并培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性和發(fā)散性以及全面性。

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