楊剛

【摘要】波利亞在《怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法》中提出“問(wèn)題解決”的思維過(guò)程，將“問(wèn)題解決”作為數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容。小學(xué)數(shù)學(xué)是基于問(wèn)題解決的學(xué)科，利用“問(wèn)題解決”教學(xué)思路來(lái)探討小學(xué)生自主解答、解題方法多樣性問(wèn)題，更有助于引導(dǎo)小學(xué)生從“問(wèn)題”中探究解題能力。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 波利亞解題思想 問(wèn)題解決

小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)將“問(wèn)題解決”作為一項(xiàng)能力目標(biāo)，并要求學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題。波利亞是著名的數(shù)學(xué)家，他提出的“問(wèn)題解決”數(shù)學(xué)教育思想，將“問(wèn)題解決”作為一門學(xué)科，并引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度等方面來(lái)獲得數(shù)學(xué)解題能力。為此，接下來(lái)筆者將著重從“問(wèn)題解決”思維培養(yǎng)上來(lái)進(jìn)行探究和分析。

一、波利亞數(shù)學(xué)解題思維的一般方法

在面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，“一個(gè)好的想法是如何想出來(lái)的”成為波利亞研究解題思維的關(guān)鍵點(diǎn)，也是貫穿于其著作《怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法》一書中。解題思維是如何產(chǎn)生的，解題過(guò)程又是怎樣的步驟？依據(jù)波利亞的解題理論，將之細(xì)化為四個(gè)步驟：弄清題意、擬定計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃、檢驗(yàn)與回顧。第一步，了解題意是前提。每一道數(shù)學(xué)題，都有其語(yǔ)言陳述部分，應(yīng)先了解提供了哪些已知條件，哪些是未知的，如何結(jié)合現(xiàn)有的條件來(lái)解決設(shè)定的問(wèn)題。當(dāng)然，在如何梳理解題步驟時(shí)，明確題意，了解現(xiàn)有的已知信息，將是獲得解題思路的重要步驟。第二步是擬定解題的計(jì)劃，也是解題思路的核心環(huán)節(jié)。當(dāng)了解題意后，確立需要解決的問(wèn)題，就需要從這些條件中來(lái)探究未知量與已知量之間的關(guān)系，如何擬定一個(gè)破解問(wèn)題的方法。比如通過(guò)觀察已知量，來(lái)獲得未知量與已知量的某一關(guān)系，并按照這個(gè)關(guān)系來(lái)獲得解題方法。當(dāng)然，如果無(wú)法找到未知量與已知量之間的直接關(guān)系，這時(shí)就需要考慮輔助題目，要嘗試其他解題路徑來(lái)獲得與原題目相關(guān)聯(lián)的解題方案。第三步是實(shí)施計(jì)劃，即對(duì)解題思路進(jìn)行解答的過(guò)程。每一道數(shù)學(xué)題都需要從解題中來(lái)完成，通過(guò)確定解題計(jì)劃，然后實(shí)施解題步驟，從而獲得解題結(jié)果。如果計(jì)劃是不完善的，則需要重新進(jìn)行完善計(jì)劃，再進(jìn)行解題過(guò)程。事實(shí)上，在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，也會(huì)遇到一些困難，對(duì)原來(lái)設(shè)定的解題計(jì)劃需要推翻重來(lái)。第四步是檢驗(yàn)與回顧，這一環(huán)節(jié)主要是對(duì)前面所解題的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，是否符合解題任務(wù)和目標(biāo)，并對(duì)解題的答案正確性進(jìn)行驗(yàn)算。小學(xué)數(shù)學(xué)中的驗(yàn)算也是對(duì)解題思路進(jìn)行回顧的反向過(guò)程，通過(guò)檢驗(yàn)，來(lái)確定解題思路的正確性，并為以后的解題提供知識(shí)積累。波利亞對(duì)第四步的檢驗(yàn)與回顧給予充分的重視，并提出“領(lǐng)會(huì)方法的最佳時(shí)機(jī)”就是去檢驗(yàn)計(jì)算的過(guò)程，增強(qiáng)小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究力。

二、以波利亞“問(wèn)題解決”思路來(lái)解決小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題

了解了波利亞“問(wèn)題解決”解題思路，我們需要從小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)用中來(lái)檢驗(yàn)波利亞的解題思想。

1.以“問(wèn)題解決”思路來(lái)探究人教版小學(xué)數(shù)學(xué)例題設(shè)置。

通過(guò)對(duì)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材一至六年級(jí)相關(guān)數(shù)學(xué)例題的梳理，從宏觀上來(lái)看，在小學(xué)一至三年級(jí)教材中，基于“問(wèn)題解決”思路的例題數(shù)量相對(duì)較多，約有51道例題；四至六年級(jí)的“問(wèn)題解決”思路的例題數(shù)量相對(duì)較少，約有30道例題。不過(guò)，從實(shí)際數(shù)學(xué)例題的安排來(lái)看，人教版教材對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力是很關(guān)注的，特別是將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系，鼓勵(lì)小學(xué)生從生活性數(shù)學(xué)問(wèn)題中來(lái)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)。

2.“問(wèn)題解決”解題思路的應(yīng)用探析。

結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)，依托現(xiàn)有人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，從“問(wèn)題解決”思路來(lái)探析小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法，主要是通過(guò)設(shè)置與“問(wèn)題解決”相關(guān)聯(lián)的教學(xué)內(nèi)容，來(lái)體現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)特點(diǎn)。比如在教材知識(shí)點(diǎn)安排順序上，往往在新知識(shí)之后安排與實(shí)際問(wèn)題相關(guān)聯(lián)的“實(shí)例”，讓學(xué)生能夠從前面所掌握的基本知識(shí)中，來(lái)解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題。比如在三年級(jí)上冊(cè)第五單元有“倍數(shù)的認(rèn)識(shí)”一課，該課教學(xué)目標(biāo)是探討“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”問(wèn)題。通過(guò)前面對(duì)“倍”的理解，讓學(xué)生了解“倍”的概念及內(nèi)涵，將之延伸到生活實(shí)際問(wèn)題中，鼓勵(lì)學(xué)生提高應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。比如“已知一個(gè)數(shù)，求這個(gè)數(shù)的幾倍是多少”，“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”等。在實(shí)例中，例2、例3都是實(shí)際問(wèn)題，需要學(xué)生從“倍”數(shù)知識(shí)來(lái)解決，也是很好地將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行遷移實(shí)踐的過(guò)程，體現(xiàn)了波利亞所強(qiáng)調(diào)的“問(wèn)題解決”解題思維。

3.將“問(wèn)題解決”應(yīng)用到具體的問(wèn)題呈現(xiàn)中。

如何呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，如何教學(xué)生從數(shù)學(xué)問(wèn)題中來(lái)提煉解題方法，并從解題后的檢驗(yàn)與反思中解決實(shí)際問(wèn)題。對(duì)于每一道數(shù)學(xué)例題的安排，都可以分成三個(gè)步驟來(lái)呈現(xiàn)“問(wèn)題解決”。對(duì)于小學(xué)一、二年級(jí)的數(shù)學(xué)教材，由于小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有形象化特點(diǎn)，因此在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題方法的呈現(xiàn)上，要以易于理解的語(yǔ)言表達(dá)來(lái)探析。比如在二年級(jí)下冊(cè)第五單元有“混合運(yùn)算”例題，主要考察小學(xué)生運(yùn)用加法、減法或者只有乘法、除法的解題順序。再如對(duì)于某一實(shí)際問(wèn)題：我們需要烤90個(gè)面包，每次烤9個(gè)，已經(jīng)烤了36個(gè)，問(wèn)還需要烤幾次才能烤完。對(duì)于該例題在進(jìn)行“問(wèn)題解決”思路分析時(shí)，首先要明確解題步驟：該題的已知是什么，其次是如何解決問(wèn)題，最后是對(duì)解題的答案進(jìn)行檢驗(yàn)。正好印證了波利亞所提出的“問(wèn)題解決”思路。本題已經(jīng)告訴學(xué)生的有：每次能烤9個(gè)，一共需要90個(gè)，已經(jīng)烤了36個(gè)；對(duì)這些信息的了解，有助于我們“弄清題意”。對(duì)于怎樣解答，就需要從現(xiàn)有的已知、條件、未知之間的關(guān)系上，進(jìn)行探究。我們可以將該問(wèn)題設(shè)置為圖表分析法，然后分析問(wèn)題解決的具體操作過(guò)程，與波利亞所提出的“怎樣解題表”中的“擬定計(jì)劃”“實(shí)施計(jì)劃”是一致的。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能夠從中受到啟發(fā)，并從題目的分析中，來(lái)設(shè)置相應(yīng)的解題方法。比如問(wèn)學(xué)生知道那些信息，每次烤9個(gè)；總共需要烤多少個(gè)？一共要烤90個(gè)；已經(jīng)烤了多少個(gè)？已經(jīng)烤了36個(gè)；還剩下多少個(gè)沒(méi)有烤？90-36=54（個(gè)）；對(duì)于剩下的54個(gè)，如果每次烤9個(gè)，需要烤幾次？可以得出54÷9=6（次）；這個(gè)解題思路是分步的，如果要列入綜合算式，該如何進(jìn)行表述呢？同樣道理，我們先算出還剩下多少個(gè)沒(méi)有烤，將（90-36）作為前提，然后計(jì)算出每次9個(gè)需要烤多少次？即（90-36）÷9=6（次）。

三、運(yùn)用波利亞解題思想的幾個(gè)建議

1.讓學(xué)生多些自主解題的機(jī)會(huì)。

針對(duì)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“問(wèn)題解決”思想的運(yùn)用，正好與波利亞的“怎樣解題”思路具有一致性，從其解題思路細(xì)化來(lái)看，審清題意，分析解題方法，檢驗(yàn)和回顧正好是貫穿始終的解題步驟。因此，對(duì)于小學(xué)低年級(jí)學(xué)生，要引導(dǎo)學(xué)生從題意梳理上，明確那些是已知的，那些是未知的，如何由已知來(lái)推導(dǎo)未知，得出解題思路，并將解題的過(guò)程交給學(xué)生，讓學(xué)生從中來(lái)體驗(yàn)，漸進(jìn)領(lǐng)會(huì)解題思想。

2.注重解題方法的多樣性呈現(xiàn)。

對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，人教版教材注重“問(wèn)題解決”方法的訓(xùn)練，特別是從實(shí)際問(wèn)題人手，來(lái)呈現(xiàn)多種解題思路，便于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題意識(shí)，增進(jìn)“一題多解”，促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)。

3.強(qiáng)調(diào)對(duì)解題過(guò)程的反思與檢驗(yàn)。

波利亞“問(wèn)題解決”思想注重解題方法的檢驗(yàn)與回顧，對(duì)于小學(xué)生，應(yīng)該養(yǎng)成良好的解題檢驗(yàn)的習(xí)慣，特別是對(duì)于小學(xué)高年級(jí)學(xué)生，要注重解題反思，要突出解題方法的歸納與完整呈現(xiàn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

總之，波利亞的數(shù)學(xué)教育思想十分豐富，教學(xué)中，我們應(yīng)通過(guò)波利亞“問(wèn)題解決”思路來(lái)解決小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題，更好地優(yōu)化教學(xué)，不斷提高學(xué)生解題能力及自我總結(jié)能力，為學(xué)生核心素養(yǎng)的提升奠基。endprint