沈善珍

[摘? 要] “授之以漁”在素質(zhì)教育背景下的詮釋，不僅僅是教會(huì)學(xué)生怎樣捕魚，還要啟發(fā)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)捕不到魚的原因，以及捕不到大魚的原因，從而引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步實(shí)踐與思考.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);方法;思想;價(jià)值

全等三角形是初中數(shù)學(xué)幾何中重要的基礎(chǔ)知識(shí)，利用全等三角形的相關(guān)性質(zhì)解決與之相關(guān)的幾何問題是常見的解題思路. 在幾何問題中，有些全等三角形在圖形中會(huì)直接呈現(xiàn)，而有些全等三角形則比較隱蔽，或找不到“現(xiàn)成”的，需要我們自己去“構(gòu)造”. 對(duì)于這類問題，添加輔助線是必要的，但學(xué)生往往對(duì)如何作輔助線感到困難，相應(yīng)的問題得分率較低. 如何根據(jù)題目所給的條件作出相應(yīng)的輔助線，構(gòu)造出全等三角形，對(duì)幾何問題的解決具有決定性作用. 本文結(jié)合實(shí)例，談?wù)剺?gòu)造全等三角形的幾種輔助線添加方法，以期給各位讀者提供參考.

倍長(zhǎng)線段法

倍長(zhǎng)就是針對(duì)性地將線段延長(zhǎng)至原來的2倍，這是求解與線段長(zhǎng)度有關(guān)的幾何問題的常用方法. 通過倍長(zhǎng)，可以得到相等的線段，從而為全等的證明提供所需的條件.

例1 如圖1，在△ABC中，AB=5，AC=3，求中線AD的取值范圍.

分析 看到求線段的取值范圍，我們往往會(huì)聯(lián)想到三角形的三邊關(guān)系，于是如何將圖中的AD轉(zhuǎn)變成三角形的邊是解決該問題的關(guān)鍵. 由中線的定義可知D是BC的中點(diǎn)，因此可倍長(zhǎng)AD（如圖2）得ED=AD，然后根據(jù)“SAS”證出△ABD≌△ECD，從而將得到CE=AB=5. 根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可知EC-AC<AE<EC+AC，即5-3<2AD<5+3. 所以1<AD<4.

中線、中點(diǎn)往往是倍長(zhǎng)線段的“提示”，如果已知條件中存在線段的中點(diǎn)或三角形的中線，可通過倍長(zhǎng)線段作為輔助線，構(gòu)造相等線段，證明三角形全等. 倍長(zhǎng)線段除了可以得到全等三角形外，有時(shí)還可以構(gòu)造出平行四邊形，如倍長(zhǎng)三角形的中線，為相關(guān)問題的解決提供條件.

截長(zhǎng)補(bǔ)短法

截長(zhǎng)補(bǔ)短法是在較長(zhǎng)的線段中截取一條線段等于已知線段或延長(zhǎng)較短的線段使之與較長(zhǎng)的線段相等的作圖法. 它雖包括“截長(zhǎng)”和“補(bǔ)短”兩種方法，但這兩種方法的實(shí)質(zhì)是相通的，都是將長(zhǎng)度不等的線段轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度相等的線段. 通過“截長(zhǎng)補(bǔ)短”得到相等的線段，可以為兩個(gè)三角形的全等提供所需的條件.

例2 如圖3，在四邊形ABCD中，BC>BA，AD=CD，BD平分∠ABC. 求證：∠A+∠C=180°.

分析 試題要證兩個(gè)角之和是180°，應(yīng)與三角形的內(nèi)角和有關(guān)，因此需要將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而通過全等三角形的對(duì)應(yīng)角來實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化是常用的方法. 題中所給的條件已具備公共邊BD與一組角（即∠ABD=∠CBD），所以只需在BC上截取BE=AB即可（如圖4）. 于是可證得△ABD≌△EBD，則有∠BED=∠A，AD=ED. 由條件AD=CD可得ED=CD，于是有∠C=∠DEC. 再由∠BED+∠DEC=180°得到∠A+∠C=180°.

上述方法屬于“補(bǔ)短”，該問題也可以通過延長(zhǎng)線段BA使之與BC相等來解決.

截長(zhǎng)補(bǔ)短法是解決線段和差問題的重要方法，也是將不等線段轉(zhuǎn)化為相等線段的方法，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化思想. 通過轉(zhuǎn)化得到的相等線段，能為三角形的全等提供重要的條件. 通常，在幾何問題中，存在兩個(gè)三角形中有一條邊、一個(gè)角相等時(shí)，便可以用截長(zhǎng)補(bǔ)短法來實(shí)現(xiàn)另外一條邊相等，從而得到全等三角形.

作平行線法

平行線因其特殊性，其性質(zhì)通常被作為解決幾何問題的重要依據(jù). 平行線在幾何問題中的作用常常是提供角與角之間的關(guān)系，而角正是三角形全等的重要元素. 通過作平行線得到相等的角，也是構(gòu)造全等三角形的一種方法.

例3 如圖5，點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，連接DF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，EF=FD. 求證：AD=CE.

分析？搖 要證AD與CE相等，可以考慮通過三角形全等來實(shí)現(xiàn). 顯然，圖中現(xiàn)成的兩個(gè)三角形不全等，所以需要進(jìn)一步構(gòu)造. △ABC是等邊三角形這一條件可以給輔助線的添加提供“啟示”——過點(diǎn)D作BC的平行線，仍然可以得到一個(gè)等邊三角形ADG（如圖6），從而將AD轉(zhuǎn)化為DG，通過證明△FDG≌△FEC得到DG=CE，從而得到AD=CE.

幾何問題中線段相等的證明可籠統(tǒng)地分為兩種，一種是通過三角形全等來證明，一種是通過特殊幾何體的形狀來證明. 在三角形全等中，如何將所要證明的邊轉(zhuǎn)化成三角形的對(duì)應(yīng)邊是關(guān)鍵，而根據(jù)已知條件推導(dǎo)應(yīng)該使用的全等證明方法則是重要的思路. 除了三邊對(duì)應(yīng)相等而外，全等的證明還需要通過邊和角的相等關(guān)系來實(shí)現(xiàn)，而平行線可以通過線段之間的關(guān)系得到角之間的相等關(guān)系. 在教學(xué)實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)，在三角形全等的問題中，構(gòu)造平行線作為輔助線的方法是我們比較容易忽視的方法，學(xué)生更是如此. 因此，在全等的相關(guān)問題中，有針對(duì)性地練習(xí)構(gòu)造平行線是非常必要的.

平移變換法

在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)方式稱為“平移”. 平移是幾何中一種基本的圖形變換，通過平移，可以將圖形移動(dòng)到相應(yīng)的位置，為問題的進(jìn)一步解決提供條件.

例4 如圖7，在△ABC的邊BC上取兩點(diǎn)D，E，且BD=CE，連接AD，AE，求證：AB+AC>AD+AE.

分析 試題要證明的是線段和之間的不等關(guān)系，可以將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用三角形的三邊關(guān)系來解決. 因此，需要將要證的線段盡可能地“靠攏”. 由BD=CE可以平移△AEC，使EC與BD重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，F(xiàn)D與AB相交于點(diǎn)H（如圖8）. 由此可知AE=BF，AC=FD. 由圖中新構(gòu)造出的兩個(gè)三角形可知FH+BH>FB，AH+DH>AD，所以FH+BH+AH+DH>FB+AD，即AB+FD>AD+FB，因此AB+AC>AD+AE.

證明線段的不等關(guān)系，通常由三角形的三邊關(guān)系來實(shí)現(xiàn)，而將不在同一個(gè)三角形的線段轉(zhuǎn)化在同一個(gè)三角形內(nèi)是證明的關(guān)鍵. 但平移不是隨意的，當(dāng)題中出現(xiàn)相等且平行或位于同一條直線上的線段時(shí)，方可進(jìn)行平移. 平移是一種只改變圖形的位置而不改變圖形的大小及形狀的變換，其實(shí)質(zhì)是構(gòu)造了有特殊位置關(guān)系的全等三角形. 利用這一特征可以解決較多關(guān)于全等的幾何問題.

旋轉(zhuǎn)變換法

旋轉(zhuǎn)是在平面內(nèi)將一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到一個(gè)新圖形的一種變換，旋轉(zhuǎn)前與旋轉(zhuǎn)后圖形的形狀和大小完全一樣. 旋轉(zhuǎn)也是一種常見的變換方式，在幾何問題的解決中，通過旋轉(zhuǎn)可以進(jìn)行線段、角、圖形的合并，從而使問題簡(jiǎn)化.

例5 如圖9，在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，且BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).

分析 該問題實(shí)際上是“半角問題”. 由BE+DF=EF可知，將△ADF繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得AD與AB重合，得到△ABG（如圖10），于是可將BE與BG“合并”，由“SSS”證得△AGE≌△AFE，因此∠GAE=∠FAE，即∠GAB+∠BAE=∠FAE. 又∠GAB=∠DAF，所以∠DAF+∠BAE=∠EAF. 所以∠EAF=1/2∠BAD=45°.

“半角問題”的常用思路是通過旋轉(zhuǎn)證三角形全等，從而得到角相等. 該問題是近兩年的熱點(diǎn)問題. 旋轉(zhuǎn)與平移一樣，是一種全等變換，由于具有可操作性，因此該方法的使用也是對(duì)學(xué)生動(dòng)手能力及想象能力的考查. 解題時(shí)應(yīng)根據(jù)變換的特征，找到對(duì)應(yīng)的全等形，通過線段、角的轉(zhuǎn)換達(dá)到解題目的.

幾何是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，作輔助線在幾何問題的解決中起著重要的作用，而構(gòu)造全等三角形則是解決幾何問題的常見方法. 在三角形全等的構(gòu)造中，“轉(zhuǎn)化”是蘊(yùn)含其中的重要數(shù)學(xué)思想;通過轉(zhuǎn)化，構(gòu)造出全等三角形，再進(jìn)一步解決問題是基本思路. 輔助線的作法要仔細(xì)斟酌題中所給的已知條件與所要求的問題，找到突破口，有的放矢. 當(dāng)然，與三角形的全等有關(guān)的輔助線作法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止上面幾種，只有深刻挖掘條件，靈活選取方法，才能將問題逐個(gè)擊破，使幾何問題“柳暗花明”.