薛雯曦

[摘? 要] 在教學(xué)過程中，我們要讓學(xué)生達(dá)到“知其然，更知其所以然”. 為此，啟發(fā)學(xué)生知其所以然是教學(xué)過程中必須達(dá)到的隱性目標(biāo). 本文結(jié)合一節(jié)專題復(fù)習(xí)，談?wù)勏鄳?yīng)策略的達(dá)成.

[關(guān)鍵詞] 專題復(fù)習(xí);知其所以然;啟發(fā);生長

幾何是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，幾何專題復(fù)習(xí)是初三復(fù)習(xí)所必需的. 在教學(xué)實踐中不難發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生對幾何的“感覺”不強，遇到幾何問題沒有思考方向，不知道從何處下手，其實這都是因為學(xué)生對幾何圖形了解不夠深入，不知道幾何圖形的形成過程. 其實，很多幾何模型都有一定的形成規(guī)律，找到對應(yīng)模型的形成規(guī)律，對分析幾何問題大有幫助. 筆者在幾何專題復(fù)習(xí)的教學(xué)中，以注重對圖形的分析為教學(xué)重點，讓學(xué)生知道各種幾何模型的形成方式，看透圖形的本質(zhì). 一個階段的施教后有一定的效果，在一定程度上提高了學(xué)生分析幾何問題的能力，提高了幾何專題復(fù)習(xí)的效率. 下面，筆者以“角含半角”問題的教學(xué)過程為例，談?wù)勅绾我哉J(rèn)識圖形為中心實施幾何專題復(fù)習(xí).

認(rèn)清問題，識清圖形

“角含半角”是一種模型，具備一定的特征，認(rèn)識這種模型是解決該模型所對應(yīng)問題的先決條件. 認(rèn)清模型從認(rèn)識圖形開始，以實際問題的幾何圖形引入該模型的復(fù)習(xí)，對學(xué)生來說是最直觀的，因此，教學(xué)這節(jié)課時，筆者從實際問題引入教學(xué).

引入語：“角含半角”模型是近兩年考查的熱點. 該模型顧名思義就是有兩個角，一個角將另一個角包含其中，并且另一個角是該角的一半.

例1? 如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E是BC邊上的兩點，且∠DAE=60°，若BD=3，CE=4，求DE的長.

（完成方式：學(xué)生自主思考，然后學(xué)生代表在全班交流展示）

在這個環(huán)節(jié)中，全班學(xué)生對該問題的參與度是30%左右，基本上只有優(yōu)等生能與教師互動. 雖是復(fù)習(xí)，但大部分學(xué)生看到該問題仍表現(xiàn)出不知所措的茫然，究其根源，一方面是筆者之前在講述半角問題時未將該問題講透，另一方面是學(xué)生對該問題的理解不夠深入，只停留在表面，因此遺忘較快，這從側(cè)面反映出了復(fù)習(xí)的必要性.

探其實質(zhì)，究其根源

上一環(huán)節(jié)是試探環(huán)節(jié)，旨在了解學(xué)生對該模型的掌握程度，結(jié)果未出所料，能看透該問題本質(zhì)的學(xué)生只有少數(shù)，因此引導(dǎo)學(xué)生探究該模型的本質(zhì)，找到問題的根源，是本節(jié)課教師的重要任務(wù).

師：同學(xué)們知道我們?yōu)槭裁匆獙ⅰ鰽BD進(jìn)行旋轉(zhuǎn)嗎？

生1：為了讓∠DAB與∠EAC產(chǎn)生關(guān)系，即拼在一起成60°.

生2：為了構(gòu)造全等三角形.

師：這兩位同學(xué)對問題的觀察都很細(xì)致，旋轉(zhuǎn)是角含半角問題的基本方法，通過旋轉(zhuǎn)我們即可將原本分散的兩個角合為一體，并構(gòu)造出全等三角形.

師（追問）：那為什么一經(jīng)旋轉(zhuǎn)該問題就被簡化了呢？大家想不想知道“角含半角”模型的由來呢？

眾生點頭.

教師用幾何畫板演示角含半角模型的形成過程，如圖3.

師：既然半角模型本身就是由全等對稱的一對三角形旋轉(zhuǎn)而來，現(xiàn)在大家知道我們在幾何問題中進(jìn)行旋轉(zhuǎn)是為什么了吧？

生3：將圖形還原成為全等對稱的兩個三角形.

幾何畫板的動態(tài)演示能夠使旋轉(zhuǎn)問題更加直觀生動，能促進(jìn)學(xué)生對問題的理解. 在該環(huán)節(jié)，學(xué)生體會到了角含半角模型的形成過程，知道了該模型的實質(zhì)，也知道了問題的根源，這對學(xué)生深刻認(rèn)識該模型有積極的作用.

運用自如，逐個擊破

角含半角模型在初中階段所涉及的問題難度并不大，只要掌握方法即可解決. 該環(huán)節(jié)是在對該模型的形成過程深度剖析的基礎(chǔ)上，追求學(xué)生對半角模型能順利解決，對旋轉(zhuǎn)能夠運用熟練.

變式? 如圖8，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=1/2∠BAD. 求證：EF=BE+DF.

（完成方式：學(xué)生獨立完成，自主內(nèi)化）

以上問題分別對應(yīng)120°中含60°角、90°中含45°角和非特殊角內(nèi)的半角模型，基本涵蓋了近兩年初中階段角含半角模型的考查類型. 題量雖大，但是題型與方法類似，采用“優(yōu)生示范→小組合作→自主內(nèi)化”的方式，由易到難，逐個擊破. 在此環(huán)節(jié)中，大部分學(xué)生都能在規(guī)定時間內(nèi)完成題目，且正確率較高，基本不需要教師的指導(dǎo)，通過組內(nèi)成員的互助即可將問題解決. 在這個環(huán)節(jié)，幾乎所有的學(xué)生都知道解決這類問題的方法，其中全部做對的達(dá)70%左右，達(dá)到了預(yù)期的效果.

總結(jié)規(guī)律，內(nèi)化知識

數(shù)學(xué)是一門以解決問題為主要任務(wù)的學(xué)科，方法極其重要，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，規(guī)律的總結(jié)與方法的歸納是將知識內(nèi)化的重要過程. 通過總結(jié)，能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，能體悟數(shù)學(xué)的規(guī)律，能提高學(xué)生的能力.

師：在這節(jié)復(fù)習(xí)課中，大家表現(xiàn)得都很出色，再次回顧了角含半角模型，掌握了該模型的解決辦法. 為了使我們下次能快速地從幾何問題中發(fā)現(xiàn)該模型，大家是否有什么辦法？

思考：

1. 角含半角模型具備哪些幾何特征？

2. 如何解決該類問題？

3. 你通過探究以上問題，是否得出了“角含半角”模型的一般結(jié)論？

（完成方式：學(xué)生暢所欲言，教師補充）

師生共同總結(jié)并板書：

1. “角含半角”模型所具備的三個條件：①半角（如圖8中∠EAF=1/2·∠BAD）;②邊相等（如圖8中AB=AD）;③角互補（如圖8中∠B+∠D=180°）.

2. “角含半角”問題的一般方法：旋轉(zhuǎn)→拼角.

3. “角含半角”模型的一般結(jié)論：①EF=BE+DF，②AE平分∠BEF，③AF平分∠DFE.

通過規(guī)律的總結(jié)，使學(xué)生對“角含半角”模型有更深刻的印象，更好地內(nèi)化該知識，有利于學(xué)生在幾何問題中準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)該模型，為幾何問題的解決提供準(zhǔn)確的思路.

以認(rèn)識圖形為中心實施幾何專題復(fù)習(xí)教學(xué)的策略是筆者在進(jìn)行傳統(tǒng)復(fù)習(xí)方式的過程中根據(jù)學(xué)生的互動情況及作業(yè)反饋之后經(jīng)過反思與調(diào)整設(shè)想的，經(jīng)過教學(xué)嘗試以后效果良好，具有實踐意義，因而整理成文，給讀者參考. 在其他的幾何專題如“隱圓問題”“路徑最短問題”等也可以采用該復(fù)習(xí)策略.

幾何問題的解決關(guān)鍵在于“讀懂”圖形，而“讀懂”圖形就是知道圖形的形成過程，理解圖形的本質(zhì)，看懂構(gòu)成每個復(fù)雜圖形的基本元素. 因此，讀圖是解圖的基礎(chǔ)和前提，是解決幾何問題的重要步驟，過程比結(jié)果更重要. 因此，“讀懂圖形”是幾何專題復(fù)習(xí)中教師應(yīng)該關(guān)注的問題. 在幾何復(fù)習(xí)教學(xué)中，適當(dāng)調(diào)整教學(xué)結(jié)構(gòu)，突出對圖形本質(zhì)的分析，讓學(xué)生知其然，更知其所以然.