劉海兵

[摘? 要] “函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，中考在考查時常從知識綜合的角度進行，即融合代數(shù)、幾何等知識構(gòu)建相關(guān)的綜合問題. 本文以一道函數(shù)綜合題為例，開展解法探究，提出相應(yīng)的學(xué)習(xí)建議，與讀者交流、探討.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);不等式;鉛垂法;解法;拓展

試題再現(xiàn)

試題簡析

本題為考卷最后幾道壓軸題之一，屬于“函數(shù)與幾何”內(nèi)容的綜合性考題，涉及一次函數(shù)、反比例函數(shù)、圖形的翻折、不等式等內(nèi)容，綜合性較強，對解題的思維要求較高，下面探究該考題的常規(guī)解法.

對于問題（1），要求k₂，n的值，需充分結(jié)合函數(shù)解析式和圖像的特征進行求解. 求k₂的值只需將反比例函數(shù)圖像上點A的坐標代入即可，于是可求得k₂=-2×4=-8. 而點B也在反比例函數(shù)的圖像上，所以必然滿足解析式y(tǒng)=-8/x，于是可求得B（-2，4），所以n的值為4.

對于問題（2），要求不等式k₁x+b<k²/x的解集，考慮到y(tǒng)₁=k₁x+b，y₂=k₂/x，因此此題實際是求x取何值時，y₁<y₂，表現(xiàn)在圖像上則是一次函數(shù)的圖像位于反比例函數(shù)圖像的下方. 結(jié)合圖像可知，分界點就是點A、點B和點O. 顯然，當xB<x<xO或x>xA時滿足條件，即不等式k₁x+b<k₂/x的解集為-2<x<0或x>4.

問題（3）要求△A′BC的面積，首先需要理解三角形的構(gòu)建過程. 根據(jù)題干條件繪制圖像，由圖像翻折規(guī)律可知點A′的坐標為（4，2）. 求解時可以采用圖形割補的方式，分別過點B和點A′作x軸的垂線，垂足分別為點D和點E，如圖2. △A′BC可以看作梯形BDEA′的一部分，則S_△A′BC=S_{梯形BDEA′}-S_△BDC-S_△A′EC. 根據(jù)點B，C，A′的坐標可求出相應(yīng)邊的長，代入面積公式即可求得△A′BC的面積為8.

解法探討

上述一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題的三個小問屬于該類問題的典型代表，求解過程也是從知識聯(lián)系性角度出發(fā)構(gòu)建的解題思路. 其中問題（2）求不等式的解集，采用了分析函數(shù)圖像的方法;而問題（3）求一般三角形的面積則采用了常規(guī)的圖形割補方法，即通過梯形和三角形的面積拼湊，間接求得三角形的面積. 下面將對這兩問的解法進行拓展探究.

1. 函數(shù)圖像法的剖析

函數(shù)圖像法實際上是利用函數(shù)的單調(diào)性來進行函數(shù)值比較的一種方法. 如對于一次函數(shù)y=kx+b，當k>0時，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，若設(shè)函數(shù)與x軸交點的坐標為（x0，0），如圖3，則由圖像可知在點（x0，0）的左半部分，一次函數(shù)的圖像位于x軸下方;而在點（x0，0）的右半部分，一次函數(shù)的圖像位于x軸上方. 考慮到函數(shù)圖像的上下位置是由y值的大小決定的，因此可以根據(jù)圖像的位置關(guān)系來比較函數(shù)值的大小，此時對應(yīng)的表格如表1.

如果將表1中函數(shù)值的大小關(guān)系看作一個不等式，則對應(yīng)的區(qū)間就是不等式的解集，也就構(gòu)成了函數(shù)法解不等式的基本原理. 進一步，將不等式中的y看作另一個函數(shù)，就可以通過分析兩個函數(shù)圖像的位置關(guān)系來求不等式的解集，這就是上述試題的解題思路. 下面通過分析兩個一次函數(shù)的圖像關(guān)系來進一步剖析圖像法的使用過程.

圖4是一次函數(shù)y1=k1x+b1與y2=k2 x+b2在同一直角坐標系中的圖像. 設(shè)兩圖像的交點為點（x0，y0），則在交點的左側(cè)，即x<x0時，y1=k1x+b1的圖像位于y2=k2 x+b2圖像的上方，此時y1>y2始終成立;而在交點的右側(cè)，即x>x0時，y1=k1x+b1的圖像位于y2=k2x+b2圖像的下方，此時y1<y2始終成立. 若替換其中的y1和y2，則可以描述為當x<x0時，k1x+b1>k2x+b2;當x>x0時，k1x+b1<k2 x+b2，從而完成不等式與x取值對應(yīng)關(guān)系的構(gòu)建. 因此，利用函數(shù)法求解不等式問題時，首先需要在同一直角坐標系中繪制出兩個函數(shù)的圖像，并結(jié)合函數(shù)表達式確定兩函數(shù)圖像的交點，然后參照圖像的交點坐標，根據(jù)圖像的上下關(guān)系進行分段，進而確定每一段內(nèi)x的取值，如下面的例題.

2. 面積問題的解法拓展

“試題再現(xiàn)”中的問題（3）采用了面積割補法，對于該類問題，我們可以采用三角形面積的鉛垂線模型來直接求解. 如圖6，在△ABC中，分別過點A，B，C作與水平線垂直的三條線，設(shè)點B和點C之間的水平距離為a，則a就是△ABC的水平寬，h為頂點A作鉛垂線到底邊上的距離，視為三角形內(nèi)部的鉛垂高，則△ABC的面積就等于水平寬a與鉛垂高h乘積的一半，即S△ABC=1/2ah.

解后反思

開展考題探究是一種重要的學(xué)習(xí)方式，通過對各地優(yōu)秀考題的命題形式和解題方法進行分析，不僅可以充分了解中考數(shù)學(xué)的命題方向，還可以學(xué)習(xí)其中的解題策略，提升解題能力. 下面圍繞上述試題進行進一步思考.

1. 關(guān)注方法的本質(zhì)內(nèi)容

中考壓軸題的解題方法一般具有代表性，是眾多知識內(nèi)容的綜合，相對而言，在理解上存在一定的難度，但充分理解、靈活運用卻可以大大提高解題效率. 如上述所呈現(xiàn)的函數(shù)圖像法和求三角形面積的鉛垂線法，都是基于一定的性質(zhì)、定理所構(gòu)建的，對于特定的問題有良好的解題效果. 而在學(xué)習(xí)方法的同時，不應(yīng)忽視對方法本質(zhì)的探究，不應(yīng)忽略方法的證明過程. 學(xué)習(xí)方法，不僅要學(xué)習(xí)使用過程，還要學(xué)習(xí)方法的本質(zhì)內(nèi)涵. 因此，學(xué)習(xí)解法時，首先應(yīng)關(guān)注方法的證明，在此基礎(chǔ)上適當?shù)貙Ψ椒ㄟM行推廣、拓展，從而深刻理解方法并掌握方法.

2. 重視考題的解題拓展

開展中考壓軸題的解題探究，其中較為重要的一個環(huán)節(jié)是考題的多解剖析，即在常規(guī)解法的基礎(chǔ)上探究考題的另類解，通過另類解的探究分析來強化對考題的認識，促進解題思維的發(fā)展，從而將考題的價值最大化. 如上述求面積所使用的鉛垂線法，其依然以面積公式為基礎(chǔ)，但考慮到其模型構(gòu)建的過程更為簡潔，因此具有極大的使用價值. 同時，對該方法進行適度拓展可以求解一類問題. 因此，在平時的解題學(xué)習(xí)中，需要重視考題的多解探究，注重總結(jié)考題的分析思路和解題方法，逐步提升解題思維，形成系統(tǒng)的分析策略.

寫在最后

函數(shù)綜合題是中考數(shù)學(xué)的重點考查題型之一，涉及眾多的函數(shù)知識，具有較多的聯(lián)系拓展點，雖然解題突破的難度較大，但掌握相應(yīng)的分析思路和解題方法，卻可以快速地找到解題突破口. 需要注意的是，在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)注重深化理解基礎(chǔ)知識和剖析解法本質(zhì)，逐步將解題方法內(nèi)化、吸收，從而從思想上提升解題能力.