于廣春

摘要：高中數(shù)學(xué)的解析幾何部分是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).在教學(xué)過(guò)程中要多進(jìn)行微型探究，多角度研究問(wèn)題，結(jié)合圖形讓同學(xué)理解.微型探究式教學(xué)的本質(zhì)是培養(yǎng)學(xué)生的合作探究能力，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，在老師提供大量的指導(dǎo)和幫助下學(xué)生來(lái)完成.本文通過(guò)直線方程這部分內(nèi)容在教學(xué)中微型研究，來(lái)解決有關(guān)直線方程的應(yīng)用問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：直線方程；數(shù)學(xué)思想；應(yīng)用研究

高中數(shù)學(xué)微型探究教學(xué)是現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域的一種創(chuàng)新的教學(xué)方式.它針對(duì)數(shù)學(xué)科目的教學(xué)情況，用特別的方式傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí).直線方程是解析幾何中最簡(jiǎn)單的一種曲線，求解直線方程是解析幾何中最基本，最重要的一類問(wèn)題.直線方程的應(yīng)用主要有直線方程與坐標(biāo)軸圍成的面積問(wèn)題；直線方程與圓錐曲線的關(guān)系問(wèn)題等.本文就直線方程應(yīng)用微型探究教學(xué)這一教學(xué)方式進(jìn)行分析和探究，從而達(dá)到高中數(shù)學(xué)的有效教學(xué)目的，促進(jìn)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的發(fā)展.

一、課前復(fù)習(xí)直線方程的各種形式

課前引入直線方程的五種形式時(shí)讓學(xué)生回答各種形式的直線方程分別表示什么樣的直線和不能表示什么樣的直線，使圖形根植在學(xué)生的頭腦中.

直線方程的五種形式：

1.斜截式：y=kx+b

2.點(diǎn)斜式：y-y0=k（x-x0）

以上兩種直線方程的限制條件是都不能表示斜率不存在的直線，即垂直于x軸的豎直的直線；

3.兩點(diǎn)式：y-y1y2-y1=x-x1x2-x1

兩點(diǎn)式直線方程的限制條件是不可以表示平行于y軸水平的直線和垂直于x軸豎直的直線；

4.截距式：xa+yb=1

截距式是兩點(diǎn)式的特殊形式，截距式直線方程的限制條件是不可以表示平行于y軸水平的直線和垂直于x軸豎直的直線和過(guò)原點(diǎn)的直線；

5.一般式：

Ax+By+C=0（A，B不全為零）一般式可以表示平面內(nèi)的任意一條直線.在復(fù)習(xí)這幾種形式時(shí)我們就要把每種直線方程所不適用的直線，引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言刻畫(huà)出來(lái)，這樣將抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式形象化.

二、典例探究直線方程的應(yīng)用

1通過(guò)具體數(shù)值提出問(wèn)題，為一般性結(jié)論做鋪墊

例過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線L分別交x，y正半軸于A，B兩點(diǎn)，求ΔABO面積的最小值.

生甲 ：

由題知橫縱截距都存在，所以直線方程為xa+yb=1（a>0，b>0）.

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（2，1），

所以2a+1b=1.

2a+1b=1≥22ab .

所以2ab≤14.

所以ab≥8（當(dāng)且僅當(dāng)2a=1b，即a=4，b=2時(shí)取等號(hào)）.

sΔ=12ab≥4（當(dāng)且僅當(dāng)2a=1b，即a=4，b=2時(shí)取等號(hào)）.

生乙： 由題意知斜率存在

設(shè)直線方程為y-1=k（x-2），（k<0）

令x=0時(shí)，得y=1-2k，即A（0，1-2k）.

令y=0時(shí)，得x=2-1k，即B（2-1k，0）.

SΔ=121-2k2-1k（k<0）.

所以SΔ=12（4-1k-4k）.

-1k-4k≥2（-1k）·（-4k）=4.

即當(dāng)-1k=-4k，k2=14.

因?yàn)?k<0，所以 k=12.

直線方程為y=-12x+2，與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為A（0，2），B（4，0）.

sΔ=12×2×4=4.

2引導(dǎo)學(xué)生從圖的角度探究取P為中點(diǎn)時(shí)面積最小

當(dāng)繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)直線，與x，y軸分別交于A′，B′兩點(diǎn)，如圖2.

分析PA′>PA，PB′

∵PA=PB.

∴PA′>PB′.

∠APA′=∠BPB′.

SΔPAA′=12PA·PA′·sin∠APA′.

SΔPBB′=12PB·PB′·sin∠BPB′.

SΔPAA′>SΔPBB′.

SΔA′B′O=SΔABO+SΔPAA′-SΔPBB′>SΔABO.

當(dāng)繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直線，與x，y軸分別交于A′，B′兩點(diǎn)，如圖3.

分析PA>PA′，PB

∵PA=PB，

∴PA′

∠APA′=∠BPB′.

∵SΔPAA′=12PA·PA′·sin∠APA′

SΔPBB′=12PB·PB′·sin∠BPB′.

∴SΔPAA′

∴SΔA′B′O=SΔABO+SΔPBB′-SΔPAA′>SΔABO.

3引導(dǎo)學(xué)生探究過(guò)定點(diǎn)P的直線與坐標(biāo)軸圍成的面積

學(xué)生解析：

不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，因?yàn)闄M縱截距都存在，所以直線方程為xa+yb=1（a>0，b>0），又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（m，n），所以ma+nb=1.

因?yàn)閙a+nb=1≥2mnab.

所以mnab≤14.

所以ab≥4mn（當(dāng)且僅當(dāng)ma=nb時(shí)取等號(hào)）.

所以sΔ取最小值2mn時(shí)，ma=nb.

又因?yàn)閙a+nb=1，則a=2n，b=2m.

學(xué)生此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P為直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)的中點(diǎn).

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一般性的結(jié)論：

過(guò)點(diǎn) P（m，n）的直線L分別交 x，y 正半軸于A，B 兩點(diǎn)，則ΔABO面積的最小值是 SΔmin=2mn，此時(shí) P 為 A，B 中點(diǎn).

為了加深學(xué)生對(duì)這一結(jié)論的認(rèn)識(shí)，教師將此問(wèn)題再深化，引導(dǎo)學(xué)生探討當(dāng)已知直線與坐標(biāo)軸圍成的面積值時(shí)，有幾條直線的問(wèn)題.

變式過(guò)點(diǎn)P（2，1）且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5的直線的條數(shù)共有幾條？

生甲：s=12ab=5ab=±10.

由2a+1b=1ab=±10， 解得a=5-5b=5+52

或a=5+5b=5-52

或a=-5-35b=-5+352

或a=-5+35b=-5-352.可見(jiàn)滿足題意的直線有4條.

教師引導(dǎo)學(xué)生從圖的角度來(lái)思考為什么上題中過(guò)點(diǎn)P（2，1）與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5的直線條數(shù)是4條.

生乙：由面積的最小值為SΔmin=2mn=4可以知道在第二象限有兩條直線滿足與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5，在第一和第三象限分別一條直線滿足與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5.

通過(guò)本題，學(xué)生應(yīng)用上面探究所得的結(jié)論輕松解決直線與坐標(biāo)軸所圍成的面積值已知時(shí)，有幾條這樣的直線的問(wèn)題.

綜上，在微型課的探究式活動(dòng)中，學(xué)生探究能力決定本節(jié)課的教學(xué)質(zhì)量，學(xué)生會(huì)有畏難情緒，有時(shí)難以達(dá)到探究目標(biāo)，所以教師要做到循序漸進(jìn)設(shè)置問(wèn)題，同時(shí)在學(xué)生容易出現(xiàn)困難的地方根據(jù)內(nèi)容合理設(shè)置問(wèn)題.這樣才能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，主動(dòng)去探究數(shù)學(xué)知識(shí).掌握直線方程的知識(shí)是學(xué)好解析幾何的基礎(chǔ)，而解析幾何的本質(zhì)是幾何圖形的代數(shù)化，代數(shù)結(jié)果的幾何化，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.所以筆者認(rèn)為在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)緊抓代數(shù)、幾何兩種方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，從形和數(shù)即從直觀的幾何圖形和函數(shù)的角度研究解析幾何的問(wèn)題，將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的微型探究教法貫穿于解析幾何的整個(gè)教學(xué)中.

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