汪東興

畢業(yè)班數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，它是在學(xué)生學(xué)完小學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容后，進(jìn)行的一次系統(tǒng)、全面的回顧與整理，其重要性不言而喻。教學(xué)時，教師除充分運(yùn)用教材編排的例題，還應(yīng)根據(jù)學(xué)情補(bǔ)充設(shè)計相應(yīng)例題，增強(qiáng)總復(fù)習(xí)的針對性與實(shí)效性。畢業(yè)班的總復(fù)習(xí)教學(xué)與單元整理復(fù)習(xí)、學(xué)期末總復(fù)習(xí)相比，時間跨度大、涉及內(nèi)容多、綜合性強(qiáng)，因而例題設(shè)計亦有其獨(dú)特的策略和教學(xué)價值。筆者擬結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談一談畢業(yè)班數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課中的例題設(shè)計策略和教法設(shè)計。

一、整體規(guī)劃，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性很強(qiáng)，在一定意義上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是掌握知識間的聯(lián)系。因此總復(fù)習(xí)教學(xué)時，教師要根據(jù)知識的內(nèi)容領(lǐng)域、知識間的區(qū)別聯(lián)系、新舊知識的生長點(diǎn)與連接點(diǎn)，運(yùn)用系統(tǒng)論的思想，以整體規(guī)劃的眼光通盤考慮例題設(shè)計，將相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識聚合成一個“知識塊”，凸顯數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的整體性。通過對例題的整體教學(xué)規(guī)劃與組織，進(jìn)一步完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的前后呼應(yīng)與多維度理解把握，加強(qiáng)數(shù)學(xué)技能的觸類旁通與多元化應(yīng)用。

例1：根據(jù)不同條件，列式解答。

求知書店周六賣出漫畫書24本， 賣出教學(xué)參考書多少本？

（1）賣出的漫畫書本數(shù)是教學(xué)參考書的。

（2）賣出教學(xué)參考書的本數(shù)是漫畫書的1.25倍。

（3）賣出的漫畫書和教學(xué)參考書的比是4：5。

（4）賣出的漫畫書比教學(xué)參考書少20%。

（5）賣出漫畫書本數(shù)是漫畫書和教學(xué)參考書總數(shù)的。

小學(xué)階段的整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比的應(yīng)用等實(shí)際問題雖然條件的表現(xiàn)有異，但常用的方法與策略在本質(zhì)上是相通的，可以說是“殊途同歸”。本例以題組形式將各類實(shí)際問題統(tǒng)領(lǐng)起來，5道題雖然已知條件的表述方式不同，但書店賣出的漫畫書和教學(xué)參考書的本數(shù)間的數(shù)量關(guān)系相同。通過對已知條件的分析、對比，依據(jù)小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比之間的關(guān)系，將已知條件進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化（如下所示），使學(xué)生明確：5道題的已知條件在本質(zhì)上是一致的，都可以表示為“賣出的漫畫書本數(shù)是教學(xué)參考書的”，均可列算式24÷解答。

條件（1）條件（2）→教學(xué)參考書的本數(shù)是漫畫書的倍。條件（3）→漫畫書4份，教學(xué)參考書有5份。條件（4）→漫畫書是教學(xué)參考書的80%。條件（5）→教學(xué)參考書是漫畫書和教學(xué)參考書總數(shù)的。

這樣做，既可以將各種實(shí)際問題進(jìn)行很好的溝通，形成最佳思路，促進(jìn)不同知識范疇內(nèi)解題方法的相互借鑒、吸納、互補(bǔ)和融合，又能避免按知識類型分門別類重復(fù)訓(xùn)練，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)。更重要的是可以通過轉(zhuǎn)化，選擇合適的方法解決問題，不僅有助于開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)視野，而且對學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)具有良好的促進(jìn)作用。

二、靈活變易，發(fā)展思維能力

數(shù)學(xué)是思維的體操。在總復(fù)習(xí)課中，教師卻常常有意或無意忽略了思維訓(xùn)練，只顧讓學(xué)生大量機(jī)械重復(fù)做題，既挫傷了他們的學(xué)習(xí)興趣，又制約或阻礙學(xué)生思維的發(fā)展。因此，教師設(shè)計例題要注意表述形式的多變性、解題方法的多樣性、思維方式的多面性，通過對例題的分析與解答，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識間的溝通，訓(xùn)練、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生靈活、發(fā)散、流暢等良好的思維品質(zhì)。

例2：求下面物體圖1-1的體積。（單位：cm）

不規(guī)則立體圖形的體積計算沒有確定的公式，解題的常見方法是將其分割成兩個或多個規(guī)則立體圖形，再求出體積之和或差。日常教學(xué)中，教師常編制此類習(xí)題讓學(xué)生練習(xí)久而久之，學(xué)生極易形成思維定勢：認(rèn)為分割法是解決此類問題的制勝法寶。其實(shí)，分割只是解決此類問題的策略之一，合并有時會有意想不到的效果。設(shè)計本例的主要出發(fā)點(diǎn)，就是給學(xué)生提供一個新的思維角度，破除大量同類練習(xí)形成的思維深度與廣度上的“懸?！爆F(xiàn)象，使其認(rèn)識到有時反常規(guī)、背道而行也不失為聰明之舉。

當(dāng)學(xué)生窮盡分割求體積的方法與思路仍無法獲得滿意結(jié)果，心生疑惑時，教師借助推導(dǎo)三角形面積公式采用的“合二為一”策略，啟發(fā)思考：“合二為一”策略，對我們解答本題有何借鑒？有了常規(guī)思路帶來的解題迷局以及方法策略的引領(lǐng)，相信學(xué)生會有“山窮水盡”過后的“柳暗花明”之感：不妨也“合二為一”試一試？由此很容易得出圖1-2的解法：立體圖形的體積是底面直徑2 cm，高（3+5） cm的圓柱的體積的一半，即：3.14×（2÷2）2×（3+5）÷2=12.56（cm3）。

三、生動鮮活，強(qiáng)化應(yīng)用意識

數(shù)學(xué)真實(shí)反映著現(xiàn)實(shí)中某方面的關(guān)系，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要善于在現(xiàn)實(shí)中尋找“原型”，獲得生動直觀的體驗(yàn)。這樣做，既有利于學(xué)生掌握形式上的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)結(jié)論，更有利于掌握數(shù)學(xué)概念和結(jié)論背后蘊(yùn)含的豐富事實(shí)及本質(zhì)屬性。教師設(shè)計例題時，應(yīng)從生活實(shí)際和學(xué)生背景知識出發(fā)，選取具有鮮活生活色彩的內(nèi)容，結(jié)合實(shí)例創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)的問題情境展開教學(xué)，貫穿應(yīng)用主線，使學(xué)生在主動探索中感悟數(shù)學(xué)的力量和實(shí)用價值，體驗(yàn)并學(xué)會數(shù)學(xué)建模，強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，發(fā)展解決問題能力，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用水平。

例3：2016年9月15日晚，長征二號F T2運(yùn)載火箭搭載我國自行研制的“天宮二號”空間實(shí)驗(yàn)室順利升空。某同學(xué)繪制了如圖2所示的火箭模型截面圖。請解決下面問題：

（1）用含有a、b的代數(shù)式表示該截面的面積；

（2）當(dāng)a=2.8 cm，b=2.2 cm時，求這個截面的面積。

例題是教師用作示范的具有代表性的典型數(shù)學(xué)問題，是溝聯(lián)概念、定理、公式等抽象數(shù)學(xué)知識和具體生活實(shí)踐之間的橋梁，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的重要環(huán)節(jié)。例題考查學(xué)生列代數(shù)式（用字母表示數(shù)）、平面圖形面積計算、代數(shù)式化簡及求值等多方面知識，具有一定的綜合性。設(shè)計本例，意在將用字母表示數(shù)及求值與“天宮二號”空間實(shí)驗(yàn)室升空的新聞事件融合，讓學(xué)生在充滿生活氣息的現(xiàn)實(shí)情境中用數(shù)學(xué)、品數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)魅力。

四、層次分明，踐行因材施教endprint

十個手指有長短。同樣，班級學(xué)生的智力發(fā)展水平也不可能處于同一層面。因此，總復(fù)習(xí)的起點(diǎn)不能“齊步走”，教師要注意因材施教，善于從本班學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，精心設(shè)計有層次、有坡度的例題，對不同基礎(chǔ)的學(xué)生提出不同的學(xué)習(xí)要求，使各種程度的學(xué)生都能通過例題的學(xué)習(xí)確有所獲，并都能在原有的基礎(chǔ)上有所提高。

例4：如圖3，已知圓的直徑是8 cm，求陰影部分的周長和面積。

小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識過程大致要經(jīng)過“憑借舊知同化新知→新知納入到原有知識結(jié)構(gòu)→在相應(yīng)情境中運(yùn)用提升”三個層次。原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)是影響新知識學(xué)習(xí)質(zhì)量的重要因素。用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)去要求原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)各異、發(fā)展水平有別的學(xué)生，就會出現(xiàn) “吃不飽”或“吃不了”的教學(xué)困局。本例教學(xué)可分層設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生，以教師“扶”為主，掌握基本解法1；學(xué)習(xí)能力有提升空間的學(xué)生，“扶”與“放”結(jié)合，在教師的引導(dǎo)與點(diǎn)撥下掌握解法2；學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生，大膽“放”，對其解題方法提出更高要求，要求跨越解法1和2，憑借自主探究習(xí)得解法3。

解法1：陰影部分的周長是直徑8 cm的大圓周長的一半與直徑4cm的小圓兩個半周長的和；面積是半徑4cm的圓面積的一半減去半徑2cm的圓面積的一半的差，再加上半徑2cm的圓面積的一半。

解法2：圖中的兩個小半圓相等，陰影小半圓恰好補(bǔ)充空白小半圓，陰影部分周長是直徑4 cm的小圓周長與直徑8 cm的大圓周長一半的和；面積是半徑4 cm的大圓面積減去它的面積的一半。

解法3：因?yàn)榇髨A直徑是小圓直徑的2倍，小圓周長和大圓半周長相等，所以陰影部分周長是直徑8 cm的圓的周長；將陰影小半圓移到空白小半圓使其重合，陰影部分面積是半徑4 cm的圓面積的一半。

五、積聚經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

教學(xué)實(shí)踐表明，畢業(yè)班總復(fù)習(xí)是學(xué)生形成、總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的絕佳時機(jī)。借此時機(jī)，可幫助學(xué)生總結(jié)個人數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與活動經(jīng)驗(yàn)，并通過彼此之間的經(jīng)驗(yàn)分享，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。教學(xué)時，教師要善于設(shè)計例題，組織學(xué)生通過就題論理、論思路等學(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)他們總結(jié)解題策略，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與活動經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)解題策略和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的遷移，感悟例題包含的數(shù)學(xué)思想和方法，提升自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例5：學(xué)校計劃在長80 m、寬60 m的長方形大院中，用31.4米的木柵欄圍成一塊地作為勞動實(shí)習(xí)基地。請你設(shè)計一個方案，使得基地的面積盡可能大一些。

例題要求學(xué)生利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題，以此體會到數(shù)學(xué)的價值，強(qiáng)化“用數(shù)學(xué)”的意識，既考察學(xué)生的實(shí)踐能力，又培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力。設(shè)計本例意在激活學(xué)生有關(guān)平面圖形面積的學(xué)習(xí)與活動經(jīng)驗(yàn)，考察學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)平面圖形面積計算方法解決問題的能力。

先激活學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，明確“周長相等的平面圖形中，圓的面積最大”。獲得設(shè)計方案1：在長方形大院內(nèi)，圍一塊圓形的地，面積是3.14×（31.4÷3.14÷2）2=78.5（m2）；

接著啟發(fā)思考：圍成的地一定要在大院正中間嗎？靠墻圍可不可以？憑借以往學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，確定“靠墻圍也可以”。再聯(lián)系“周長相等的正方形和長方形，正方形面積大”獲得設(shè)計方案2：靠一面墻圍一塊正方形地，面積是（31.4÷3）2≈110（m2）；

以方案2為基礎(chǔ)，變化方案1（將圓往下平移）發(fā)現(xiàn)方案3：靠一面墻圍成半圓形地，面積是3.14×（31.4÷3.14）2÷2=157（m2）。

借助已有思維成果，再次引導(dǎo)猜想：兩面靠墻可以圍嗎？因?yàn)橛辛朔桨?的經(jīng)驗(yàn)積累，直接考慮圓的情形，發(fā)現(xiàn)方案4：靠兩面墻，在墻角處圍成個圓，面積是3.14×（31.4×2÷3.14）2÷4=314（m2）。

這樣的教學(xué)，通過“地在院內(nèi)→地在邊上→地在角上”的位置變化和“圓→正方形→半圓→扇形”的形狀變化，由簡單到復(fù)雜，從常規(guī)到特殊，由淺入深，先易后難，使得問題解決、經(jīng)驗(yàn)激活、遷移與積累相生相伴，相互促進(jìn)，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

六、查漏補(bǔ)缺，形成準(zhǔn)確認(rèn)知

概念的清晰把握、技能的熟練運(yùn)用，是提高靈活應(yīng)用所學(xué)知識與能力解決問題的基礎(chǔ)。因此，教師應(yīng)根據(jù)課堂教學(xué)、批改作業(yè)和課后輔導(dǎo)中了解到的情況，對學(xué)生還有哪些概念比較模糊、哪些方法不夠熟練、哪些疑難尚未解決等做到了然于胸，并以此為基礎(chǔ)設(shè)計例題，展開教學(xué)，予以彌補(bǔ)。通過知識的再認(rèn)、再現(xiàn)和質(zhì)疑問難，并輔以必要練習(xí)，使模糊的概念清晰起來，使生疏的技能熟練起來。

例6：聯(lián)系小學(xué)階段的學(xué)習(xí)，談一談你對0的認(rèn)識。

小學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的掌握直接受其自身概括水平發(fā)展的制約。小學(xué)生思維發(fā)展的階段性特點(diǎn)，決定了其對數(shù)學(xué)概念的掌握也要經(jīng)歷一個由淺入深、由零散到系統(tǒng)的螺旋上升，直至較為完整的過程。0是小學(xué)數(shù)學(xué)中較為特殊的數(shù)，小學(xué)生對0的認(rèn)識貫穿低、中、高三個學(xué)段，導(dǎo)致其對0的認(rèn)識處于碎片化的散亂狀態(tài)，不利于對數(shù)的完整感知和把握。設(shè)計本例，意在通過學(xué)生的討論交流，對0進(jìn)行一次較為系統(tǒng)的梳理，形成清晰、準(zhǔn)確認(rèn)知，從而構(gòu)建和完善數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。組織教學(xué)時，應(yīng)堅持學(xué)生的充分交流分享和教師的相機(jī)點(diǎn)撥引導(dǎo)相結(jié)合，使其在觀點(diǎn)爭鳴與思維碰撞中集聚智慧，在教師的有序引領(lǐng)與分類指導(dǎo)中習(xí)得并完善認(rèn)知。以下是學(xué)生的總結(jié)：

數(shù)的角度：0是最小的自然數(shù)；0是最小的偶數(shù)；0既不是整數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；寫數(shù)時，0可以用來占位；研究因數(shù)與倍數(shù)時，都不考慮0……

算的角度：任何數(shù)加0都等于原數(shù)；任何數(shù)減0都等于原數(shù)；任何數(shù)乘0多等于0；0不能做除數(shù)……

用的角度：商不變性質(zhì)、分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)、等式的性質(zhì)中涉及除法時，規(guī)定“0除外”的理由；小數(shù)的末尾添上0或去掉0，小數(shù)大小不變的原因等。

形的角度：在用數(shù)對表示位置時，0是行與列的共同起點(diǎn)；用數(shù)軸表示數(shù)時，0代表起點(diǎn)……

統(tǒng)計的角度：在條形統(tǒng)計圖與折線統(tǒng)計圖中，0是橫軸與縱軸的交點(diǎn)，表示相應(yīng)數(shù)據(jù)的起始狀態(tài)。

[責(zé)任編輯：陳國慶]endprint