□宋曉婷

(山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院,山西 太原 030619)

數(shù)學(xué)以其卓越的智慧成就被人們尊稱為“科學(xué)皇后”,是最富有理性的學(xué)問(wèn),并且它的應(yīng)用價(jià)值正在被各行各業(yè)公認(rèn)為有力的理論工具。任何一門自然科學(xué),只有當(dāng)它與數(shù)學(xué)工具結(jié)合進(jìn)行研究時(shí),才被視為發(fā)展趨于完善的科學(xué)。數(shù)學(xué)建模就是一門將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐,推動(dòng)人類文明和諧發(fā)展的學(xué)科。它是科學(xué)的伙伴,科學(xué)的仆人,是解決復(fù)雜事件、分析事物內(nèi)在聯(lián)系、給出定性定量結(jié)果的理論依據(jù)。

1 數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介

數(shù)學(xué)建模通俗講就是利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立模型并求解分析的過(guò)程。這個(gè)模型可以是公式、表格、圖像等形式,它產(chǎn)生于現(xiàn)實(shí),可以指導(dǎo)人們的生產(chǎn)生活,是社會(huì)發(fā)展的助推器,引領(lǐng)科技進(jìn)步,它是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的必然產(chǎn)物。著名美國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、數(shù)理邏輯學(xué)家懷特黑德曾說(shuō):“只有將數(shù)學(xué)應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的研究之后,才能使文明社會(huì)的發(fā)展成為可控制的現(xiàn)實(shí)?！睌?shù)學(xué)模型就是數(shù)學(xué)建模的具體展現(xiàn),它針對(duì)某一實(shí)際問(wèn)題的具體要求,為達(dá)到某種特定目標(biāo),在操作時(shí)做出必要的簡(jiǎn)化假設(shè),借助適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)理論模擬出的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。它必須反映所述現(xiàn)象的基本真實(shí)情況、具有可行解或可行域,最好具有預(yù)測(cè)功能、擁有圖像處理和數(shù)據(jù)模提取對(duì)象的最優(yōu)決策或理論控制[1]。

2 數(shù)學(xué)模型的發(fā)展歷程及學(xué)習(xí)的必要性

2.1 數(shù)學(xué)模型的產(chǎn)生

人類最早的記事方法——結(jié)繩法,所謂“上古無(wú)文字,結(jié)繩以記之”,從中可知古人都會(huì)用繩子打結(jié)的數(shù)量記錄發(fā)生的事情。這種將實(shí)際事物做一種數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化的方法就是最早的數(shù)學(xué)模型。在科技發(fā)達(dá)的今天,要描述一個(gè)實(shí)際現(xiàn)象有多種方式,比如視頻功能、類比、描述、傳言等等,在某種意義上能反映實(shí)際事物的本質(zhì)屬性。為使表述更具真實(shí)性、科學(xué)性、客觀性和可重復(fù)性,人們采用邏輯性強(qiáng)、語(yǔ)言嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)來(lái)描述各種現(xiàn)象,這就是數(shù)學(xué)。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言呈現(xiàn)事物的方式就稱為數(shù)學(xué)模型。

2.2 數(shù)學(xué)模型的含義

廣義來(lái)講,由正常的教學(xué)概念、數(shù)理體系、數(shù)學(xué)公式、各類初等或高等數(shù)學(xué)方程式構(gòu)成的算法規(guī)則等都稱為數(shù)學(xué)模型,簡(jiǎn)言之就是公式化的數(shù)學(xué)。狹義來(lái)講,凡是將具體現(xiàn)象、事物特征和性質(zhì)用數(shù)學(xué)表達(dá)的結(jié)構(gòu)也稱為數(shù)學(xué)模型,如圖像、表格或思維框圖等。我們構(gòu)造數(shù)學(xué)模型以解決某個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為目的出發(fā),通過(guò)問(wèn)題抽象歸納出來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題稱為數(shù)學(xué)模型。也可以認(rèn)為數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)具體的描述。[2]

2.3 數(shù)學(xué)模型的作用

數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生于現(xiàn)實(shí),就必須反映現(xiàn)實(shí),即用數(shù)量關(guān)系表述實(shí)際問(wèn)題。因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)世界中能直接套用數(shù)學(xué)方法表示的事物是非常有限的,所以必須對(duì)現(xiàn)象做出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè),提取現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的主要相關(guān)因素,忽略一些次要的、與數(shù)據(jù)變化較小的因素,建立模型。數(shù)學(xué)模型反映客觀事物內(nèi)在關(guān)系,但不與事物現(xiàn)象完全吻合,是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的近似描述。

2.4 數(shù)學(xué)模型的智能化體系

高等數(shù)學(xué)為大數(shù)據(jù)、云計(jì)算、智能算法提供理論依據(jù)。如證券市場(chǎng)和銀行理財(cái)?shù)韧顿Y方面的專業(yè)定制,投資前分析診斷,投資中智能提醒,投資后跟蹤檢測(cè)為一體的智能投資顧問(wèn)服務(wù),建立多維定位,實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)有效的投資源共享。它的專業(yè)數(shù)據(jù)分析功能既可比對(duì)過(guò)去,又可根據(jù)不同需求預(yù)測(cè)未來(lái),精準(zhǔn)有效全方位展現(xiàn)事物內(nèi)部聯(lián)系,保障實(shí)施的時(shí)效性和成功率。

2.5 建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程

用數(shù)學(xué)知識(shí)武裝自己的頭腦,通過(guò)分析,掌握要解決的各類實(shí)際問(wèn)題的實(shí)質(zhì),抽象提取相關(guān)數(shù)學(xué)概念,從基礎(chǔ)定義出發(fā),構(gòu)建求解框架,建立數(shù)學(xué)模型,它是整個(gè)建模過(guò)程的核心。建立數(shù)學(xué)模型,要對(duì)事物有所了解,查找收集資料,提取有用的正確的事物信息,抓住其本質(zhì)的固有特征和規(guī)律,結(jié)合相應(yīng)的假設(shè)方式和假設(shè)條件,將問(wèn)題簡(jiǎn)化成合理的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),從而建立反映該實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系。在求解時(shí),最好能將問(wèn)題公式化,找到內(nèi)在數(shù)據(jù)關(guān)系和變化規(guī)律,如果數(shù)據(jù)海量,需借助數(shù)學(xué)軟件。完整的模型還需要對(duì)求解的模型進(jìn)行分析檢驗(yàn),給出合理的解釋以及模型的推廣應(yīng)用。數(shù)學(xué)模型給人類生活帶來(lái)利益,為社會(huì)生產(chǎn)提供便捷,是將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)結(jié)的紐帶,在科技發(fā)展中體現(xiàn)著它的重要價(jià)值。

3 數(shù)學(xué)建模課程概況

3.1 課程的內(nèi)容與基本要求

數(shù)學(xué)建模課程內(nèi)容涉及面較廣,微積分、微分方程、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、線性非線性規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)圖、數(shù)據(jù)分析與預(yù)測(cè)、常用數(shù)學(xué)軟件操作等都屬于必備數(shù)學(xué)分支。這些需要深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)作為基礎(chǔ),克服困難勇于攀登的堅(jiān)定信念為思想支柱,結(jié)合敏銳的洞察力和想象力,以及對(duì)問(wèn)題的濃厚興趣和廣博的知識(shí)面。

3.2 數(shù)學(xué)建模課程的任務(wù)

3.2.1 基本任務(wù)

通過(guò)實(shí)驗(yàn)使學(xué)生了解利用數(shù)學(xué)方法分析解決問(wèn)題的全過(guò)程,理解數(shù)學(xué)的真正用途,幫助學(xué)生提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,鍛煉多角度思維方式,增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)滲透的意識(shí)與能力。在今后的工作中自覺(jué)地聯(lián)系到用數(shù)學(xué)建模的方法解決遇到的問(wèn)題,借助軟件工具,站在現(xiàn)代高科技成果的制高點(diǎn),將數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)開發(fā)新途徑,創(chuàng)造新高度。數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)要以學(xué)生為主,在教師的引導(dǎo)下,主動(dòng)查閱文獻(xiàn)資料、自覺(jué)學(xué)習(xí)新知識(shí),互相探討、積極辯論,在理解知識(shí)的碰撞中查出靈感的火花,營(yíng)造積極的建模氛圍。

3.2.2 拓展任務(wù)

數(shù)學(xué)建模課程教育不能只停留在數(shù)學(xué)和問(wèn)題上,要放開眼界,培養(yǎng)學(xué)生善于學(xué)習(xí)、樂(lè)于思考的鉆研能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作意識(shí),塑造他們成為應(yīng)用開發(fā)型人員的必備能力。教學(xué)的重點(diǎn)是培養(yǎng)興趣,打開思路,勇于創(chuàng)新,提高學(xué)生整體的數(shù)學(xué)素質(zhì),它可以擴(kuò)大獲取新知識(shí)的能力范圍,為解決問(wèn)題鋪平道路。創(chuàng)新能力體現(xiàn)思維的靈活性、完成任務(wù)的多途徑性和不達(dá)目的不罷休的韌性。這些都是數(shù)學(xué)建模課程培養(yǎng)的良好品質(zhì)。

3.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)課程安排

3.3.1 實(shí)驗(yàn)課程名稱與類別

實(shí)驗(yàn)名稱的設(shè)定:每?jī)烧n時(shí)設(shè)計(jì)一類高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教學(xué),如: MATLAB使用練習(xí)與建模初步、微積分的計(jì)算、數(shù)據(jù)圖形可視化、工具箱的簡(jiǎn)單操作、微分方程的數(shù)值解問(wèn)題、數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)描述與分析、優(yōu)化建模等。

實(shí)驗(yàn)類別分為演示型、操作型、驗(yàn)證型、綜合型、設(shè)計(jì)型和研究創(chuàng)新型六大類。這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模軟件的一般步驟,通過(guò)上機(jī)觀察學(xué)習(xí),掌握基本命令及使用規(guī)則,運(yùn)用于求解模型,選擇適當(dāng)語(yǔ)句設(shè)計(jì)程序,修改程序。

3.3.2 實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c要求

實(shí)驗(yàn)?zāi)康脑O(shè)定:明確軟件對(duì)所學(xué)內(nèi)容的表達(dá)與相關(guān)計(jì)算,包括輸出類型的顯示。熟悉計(jì)算機(jī)程序求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的命令語(yǔ)句

實(shí)驗(yàn)要求:熟練掌握每部分知識(shí)的利用軟件計(jì)算、畫圖、分析比較、動(dòng)靜態(tài)模擬、演化、預(yù)測(cè)等。

3.4 數(shù)學(xué)建模理論及實(shí)驗(yàn)課的考核方式

合理的學(xué)生成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)體系可以真實(shí)有效地反映出學(xué)生對(duì)課程知識(shí)的掌握程度。常用的評(píng)價(jià)手段即通過(guò)筆試成績(jī)和平時(shí)成績(jī)按照某種比例來(lái)確定學(xué)生的最終成績(jī)。為體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)建模知識(shí)的實(shí)用性和開放性,建議采取理論課考核與實(shí)驗(yàn)課考核,即筆試與機(jī)試兩大部分,開閉卷結(jié)合的考核方式更能廣泛汲取思想方法拓寬學(xué)生用理論解決實(shí)際問(wèn)題的路徑?？己耸墙虒W(xué)過(guò)程中的重要環(huán)節(jié),既承擔(dān)檢驗(yàn)教師教學(xué)效果的任務(wù),也督促學(xué)生認(rèn)真完成學(xué)習(xí)規(guī)劃,具有雙重效應(yīng),是一根無(wú)形卻很有權(quán)威的指揮棒。

4 開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程的意義

4.1 數(shù)學(xué)建模課程對(duì)人才培養(yǎng)的重要性

數(shù)學(xué)建模課程實(shí)現(xiàn)了教育現(xiàn)代化、緊跟時(shí)代步伐的愿望,對(duì)學(xué)生今后工作能力的培養(yǎng)是具有深遠(yuǎn)意義的。我們培養(yǎng)學(xué)生,不能只顧眼前,要著眼于未來(lái),跟上科學(xué)技術(shù)發(fā)展的步伐。在大數(shù)據(jù)技術(shù)和多元化軟件迅速發(fā)展的驅(qū)動(dòng)下,數(shù)學(xué)的分析功能在自然科學(xué)領(lǐng)域與工程技術(shù)中的作用與日俱增,逐漸滲透到各科領(lǐng)域,體現(xiàn)著它的地位與價(jià)值。數(shù)學(xué)建模的科技力量正被人們廣泛認(rèn)可,對(duì)實(shí)際問(wèn)題研究的精確化、定量化和數(shù)字化,使它成為解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具。

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授在文章《大哉數(shù)學(xué)之為用》中指出:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之變,生物之謎,日用之繁,無(wú)處不用數(shù)學(xué)”[3]。從宇宙到粒子,從工業(yè)生產(chǎn)到軍工事業(yè),再到繁衍生息,都與數(shù)學(xué)息息相關(guān)。數(shù)學(xué)具有科學(xué)性、應(yīng)用性、精確性等特點(diǎn),是其他學(xué)科少有的。在對(duì)許多重大問(wèn)題的決策上,數(shù)學(xué)方法是具有強(qiáng)大說(shuō)服力的,誤差分析可以控制問(wèn)題的精度,規(guī)劃求解能鎖定范圍。

4.2 各高校對(duì)數(shù)學(xué)建模課程的重視程度

高等數(shù)學(xué)作為高職院校重要的理論基礎(chǔ)課,對(duì)許多專業(yè)課程的學(xué)習(xí)起著不可估量的作用。它的思維方式、思維習(xí)慣、思維策略將幫助學(xué)生在面對(duì)問(wèn)題時(shí)具有冷靜的頭腦,它的嚴(yán)謹(jǐn)性、簡(jiǎn)潔性可以將復(fù)雜問(wèn)題科學(xué)合理地轉(zhuǎn)化,他的最大作用是計(jì)算求值,把問(wèn)題變得可執(zhí)行可操作可求解。

學(xué)以致用是高校培養(yǎng)人才的目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)建模是高等數(shù)學(xué)課程的分支和推廣應(yīng)用,為高校實(shí)施素質(zhì)教育,培養(yǎng)努力探索、具有創(chuàng)新思維的智能型人才提供必要的技術(shù)支持。各高校通過(guò)開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程,逐漸體會(huì)到它的靈活性、適應(yīng)性、推廣度在實(shí)踐中的重要地位,也從學(xué)生的工作學(xué)習(xí)反饋中認(rèn)可這門課程帶來(lái)的無(wú)限利益。國(guó)內(nèi)外許多大學(xué)已開設(shè)這門課程,并成立團(tuán)隊(duì)參加各級(jí)別的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽,體會(huì)它的應(yīng)用價(jià)值,交流學(xué)術(shù)、拓展新思路。數(shù)學(xué)建模教學(xué)難度大,含金量高,是一個(gè)不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善的過(guò)程。希望高職院校能克服困難早日開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程,在人才培養(yǎng)理念上與本科院校同步。

4.3 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模以提高學(xué)生的綜合能力

4.3.1 培養(yǎng)學(xué)生的個(gè)體能力

高校開展數(shù)學(xué)建模課程是培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的一條有效途徑,根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型是一項(xiàng)創(chuàng)造性任務(wù),構(gòu)造合理的數(shù)學(xué)模型不僅需要數(shù)學(xué)知識(shí),還需要有觀察事物的洞察力,抽象的分析能力,提取實(shí)物內(nèi)在聯(lián)系,化繁為簡(jiǎn)將問(wèn)題條理化,合理化;想象力也是必備條件之一,它是形象思維的演化,具有靈活性和自由性,是進(jìn)行科學(xué)研究的抽象因素;具備應(yīng)用數(shù)學(xué)工具的能的力,在對(duì)問(wèn)題深度探究的過(guò)程中,會(huì)產(chǎn)生不同的觀點(diǎn),采用不同的數(shù)學(xué)方法建立模型,是從不同視角出發(fā),分析解決問(wèn)題的手段,是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維創(chuàng)新思維能力的體現(xiàn),具有深層的教育意義。

4.3.2 培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)

一般課程的學(xué)習(xí)和考核都是以學(xué)生個(gè)人為單位進(jìn)行,高等數(shù)學(xué)建模課程則注重團(tuán)隊(duì)合作,這種方式在當(dāng)今工作中比比皆是,每個(gè)善于經(jīng)營(yíng)的私企都可視為一個(gè)擁有較優(yōu)分工合作能力的團(tuán)體。在培訓(xùn)中,為學(xué)生能夠充分體驗(yàn)合作分工的重要作用和意義,我們?cè)诜纸M時(shí)就會(huì)根據(jù)每個(gè)人的特點(diǎn)搭配分組,比如將善于思考、思維敏捷、勇于探索發(fā)現(xiàn),心思細(xì)膩、考慮周到、語(yǔ)言表達(dá)能力強(qiáng)和熟悉辦公軟件及建模程序操作的學(xué)生組成小團(tuán)體,每個(gè)人在團(tuán)隊(duì)中都有自己的任務(wù),還需要相互協(xié)作、討論,共同進(jìn)步。讓學(xué)生在完成數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中樹立全局意識(shí)及責(zé)任感,必將對(duì)他們今后走上工作崗位產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。

4.3.3 增強(qiáng)競(jìng)爭(zhēng)能力

人的潛能是被激發(fā)出來(lái)的,你永遠(yuǎn)也不可能知道一個(gè)人的能力究竟有多少。參加數(shù)學(xué)建模課程培訓(xùn),會(huì)帶你遨游數(shù)學(xué)太空,領(lǐng)略它別具一格的應(yīng)用價(jià)值以及精準(zhǔn)而又理性的說(shuō)服力。在數(shù)學(xué)建模團(tuán)隊(duì)中,你會(huì)明白不進(jìn)則退,你會(huì)習(xí)慣后浪推前浪,你會(huì)越挫越勇。

4.4 數(shù)學(xué)模型的廣泛應(yīng)用

4.4.1 近年來(lái)數(shù)學(xué)建模解決的實(shí)際問(wèn)題及方法舉例

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,社會(huì)的進(jìn)步,各行各業(yè)的人類都將面臨越來(lái)越多的新問(wèn)題需要解決。如搜救路線的設(shè)計(jì)和人員排班問(wèn)題的擬定;公交車路線和站點(diǎn)的設(shè)計(jì)和發(fā)車時(shí)間間隔這類問(wèn)題,可借助旅行商問(wèn)題的延伸M——TSP最短路徑法給定方案,或可從運(yùn)籌學(xué)中的對(duì)偶問(wèn)題求解方法、0-1模型以及l(fā)ingo線性規(guī)劃問(wèn)題求解方法,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理規(guī)劃,建立模型,在具體的解題過(guò)程中根據(jù)實(shí)際情況分析,增加必要的限制條件,使結(jié)論的可操作性更逼近實(shí)際。這里采用兩種解題方法,運(yùn)籌學(xué)與lingo的解題方法,以便最終達(dá)到較為完善的方案。求出符合題目要求的解答,經(jīng)過(guò)結(jié)果分析與驗(yàn)證,所得結(jié)果完全正確。

4.4.2 評(píng)價(jià)分析法的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)的評(píng)價(jià)模型還可以對(duì)具有某一資質(zhì)的團(tuán)體做出的評(píng)判進(jìn)行分析。如2012年全國(guó)競(jìng)賽A題:葡萄酒的評(píng)價(jià)就是通過(guò)評(píng)酒員對(duì)葡萄酒質(zhì)量進(jìn)行品評(píng)的打分?jǐn)?shù)據(jù),評(píng)價(jià)出可信度高的小組并確定葡萄酒的質(zhì)量;說(shuō)明葡萄酒和釀酒葡萄檢測(cè)的理化指標(biāo)會(huì)在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的質(zhì)量[4]。根據(jù)所給某年份一些葡萄酒的評(píng)價(jià)結(jié)果,利用高等數(shù)學(xué)單因素方差分析和多因素方差分析,一致性程度,采用評(píng)價(jià)指標(biāo)F,綜合評(píng)價(jià)法則可分析數(shù)據(jù)中兩組評(píng)酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果有無(wú)顯著性差異以及結(jié)果的可信度。

成為高等數(shù)學(xué)的盟友,利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立模型解決問(wèn)題會(huì)使你受益終身,會(huì)為你掃清障礙,為你的判斷提供科學(xué)依據(jù),助你登上科學(xué)的巔峰。