江薇

[摘要]數(shù)學概念是數(shù)學知識的重要組成部分.概念課的教學要從概念的引入、抽象、辨析和延伸幾個方面進行，這樣才能讓學生對概念形成完整的認識.

[關鍵詞]數(shù)學概念；教學；思考

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）05001402

數(shù)學本身就是抽象的科學，數(shù)學概念就是抽象的結果.高中數(shù)學知識點多，數(shù)學概念多.要學習數(shù)學，會學數(shù)學，學好數(shù)學，首先應該從學習概念入手.

概念課比較重要，但是教師要把握好一節(jié)概念課并不容易.原因是有的數(shù)學概念太抽象.教師認為比較簡單的概念，學生卻比較難理解.下面我以高一《平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義》為例，談談對高中概念課教學的一點思考.

教材中向量的數(shù)量積的知識共有4部分內(nèi)容：定義、性質、運算律和應用.總共是安排2個課時完成.我是將向量數(shù)量積的定義、性質、運算律的教學都集中在同一課時里，目的是通過這樣一節(jié)課，讓學生對數(shù)量積知識的產(chǎn)生與發(fā)展能有一個較完整的認識.

一、創(chuàng)設情境，引導學生參與概念的形成過程

對于學生而言，平面向量的數(shù)量積是一個全新的知識.知識本身比較抽象，學生常常用死記硬背的方法來學習.如果學生對知識沒能理解透徹，學習的效果不佳，還會產(chǎn)生畏學的情緒.

我通過還原知識產(chǎn)生的背景來引入概念，拉近學生與概念之間的距離，以此來消除學生對知識的恐懼.我選擇了一幅物理中力做功的圖形作為這節(jié)課的開場.一個向右上方的力F，與水平面的夾角為θ，其在向右方向上產(chǎn)生了位移，那么力F在位移s方向上的功是多少？借助電腦動畫演示，將力分解成向上和向右的分力，向右的分力在力的方向上做功，得到W=Fscosθ.提出問題：F是什么量？s是什么量，W又是什么量？目的是為了強調(diào)F、s是矢量，但矢量乘積的結果卻是標量的事實.這就是向量的數(shù)量積產(chǎn)生的實際背景.但又不能僅停留在例題本身，于是我接著將W=Fscosθ中的F，s換成向量a，b，向量的夾角為θ，抽象出向量數(shù)量積的概念.在概念的引入過程中，學生不僅感受到知識產(chǎn)生的背景，還能體會概念抽象的過程，使新概念在原有知識基礎上自然得到同化和順應.

二、讓概念的學習進一步精確

數(shù)學概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數(shù)學的思維形式.對于概念的學習，我們往往要咬文嚼字才能更精確

地理解概念的內(nèi)在含義.數(shù)量積的概念看似簡單，兩個非零向量a，b，我們把|a||b|cosθ叫作

a

與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b .實則不然，從表象結構看，有兩點要提醒學生注意：1.數(shù)量積的結果是數(shù)量；2.中間的點不能省略也不能改成“×”（乘號）（這里體現(xiàn)了數(shù)學符號的特定含義）.在教學過程中，我讓學生口述，并用電腦演示出作圖的過程，用不同顏色的線條加以區(qū)分，使他們先形成感性認識，進一步追問：“投影是向量還是數(shù)量？投影一定是正數(shù)嗎？”促使他們進一步從理性的角度去分析各種各樣的情形，從一般再到特殊，最后將可能出現(xiàn)的結果在電腦屏幕上用框圖的形式分類歸納出來，使學生逐漸形成對投影的完整認識.

由學生口述投影的做法，是讓學生根據(jù)投影的定義作圖，考查其對投影定義的理解.這節(jié)課重點是向量的數(shù)量積，它是一個既有方向又有大小的量參與的一種運算，是學生新學習的一個知識，所以要不斷強化向量及數(shù)量積的特征.在學生明確特征之后，他們才會從向量的特征——大小和方向入手去思考問題.

經(jīng)歷了從外在結構認識定義，到感性作圖，理性思考，歸納出內(nèi)在特征的過程，學生才能對數(shù)量積的概念有一個比較全面的認識.

三、進行概念的辨析，讓學生加深印象

在概念教學中，可以將滿足概念的條件特殊化，設計出相應問題讓學生思考.例如，如果將兩個特殊的向量進行數(shù)量積運算，那么有怎樣的結果？

最容易想到的特殊向量是零向量.由于零向量方向是任意的，所以要隨后補充規(guī)定：0·a=0.

如果兩個非零向量進行運算，是否也有特殊的結論？對非零的情況展開討論.因為向量是具有大小和方向的量，所以在考慮特殊關系時自然是沿著兩個向量的大小和位置關系進一步探究：1.模相等的情形；2.從方向上考慮，共線同向與共線反向的情形；3.模和方向都相同的情形.

得到非零向量的特殊結論：a⊥b

a·b

=0.當a與

b同向時，a·b

=|a||b|；當a與b反向時，a·b=-|a|·

|b|.特別的，a·a=a2=

|a|2

或|a|=

a·a=a2

.

這樣設計問題，一方面讓學生能夠熟練應用概念；

另一方面所得到的結論可以更好地為解題服務.

為了讓學生能更好地鞏固知識，可以再用一些特殊的例子進行辨識.

例如，以下結論成立嗎？

（1）0·a=0；

（2）0·a=0；

（3）（a·b）2=a2·b2；

（4）a與b是兩個單位向量，則a2=b2；

（5）若a≠0，且a·b=0，則b=0；

（6）若a·b=b·c，則a=c；

（7）若a⊥（b-c），則a·b=a· c；（8）a·a·a=a3.

四、向外延伸概念，建立與其他知識之間的聯(lián)系

與數(shù)量的乘法運算律類比、猜想、論證向量數(shù)量積的運算律.這里面包括乘法交換律、乘法結合律和乘法分配律.

以乘法結合律為例，剛開始所有的學生都將乘法結合律的結論類比成

（a·b）·c=a·（b·c）

.但很快通過數(shù)量積的結果是數(shù)量，就能判斷出結論錯誤.進一步調(diào)整思路，將其中的一個向量換成數(shù)量的結合律，即

（λa）·b=λ（a·b）=

a·（λb）

能否成立.

（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）

的證明是這節(jié)課的難點之一.證明的時候要考慮到λ的符號，要對λ進行分類討論.但是λ的分類也不能一開始就分，學生會提出疑問：你為什么會知道要分類，你按什么標準分類的？因此在這個環(huán)節(jié)中，可以跟著學生的思路先將第一個等號的兩邊分別按照數(shù)量積的定義展開，直到

（λa）·b

=|λa||b|

cosθ1=

|λ||a|

|b|cosθ1，

λ（a·b）

=λ|a||b|

cosθ2這一步，化簡不了，才回頭考慮其中的θ1、θ2兩個夾角一樣嗎，兩個夾角的含義分別是什么，它們有什么關系，這樣才發(fā)現(xiàn)導致它們相等或者互補的量是λ，這時才對λ進一步分類.逐步完善對運算律的證明.

類比法是學生比較喜歡的一種方法，這種思想方法比較容易上手，有目標有方向，容易發(fā)現(xiàn)知識之間的異同，而且使人印象深刻，易將所學概念納入已有的認知結構中，形成具有聯(lián)系的概念體系.

我認為數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程與一個概念的發(fā)生、發(fā)展過程有著許多相似之處.一節(jié)概念課的學習可以給學生做出示范，學習如何接受一個新知識，如何將新知識與其他知識產(chǎn)生關聯(lián)，從而組成一個知識的網(wǎng)絡.

（責任編輯黃桂堅）