□楊立文,王永芳

(山西經(jīng)濟(jì)管理干部學(xué)院,山西 太原 030024)

在品質(zhì)優(yōu)化中,容差設(shè)計(jì)作為三段設(shè)計(jì)中的一段,旨在對(duì)于產(chǎn)品的品質(zhì),給予明確的量化界定。其中,大量的試驗(yàn)分析固不可少,而借助數(shù)學(xué)模型的斟酌,更是不可或缺的。這里,試圖給出更為簡(jiǎn)化的、清晰的、通俗的分析。

1　質(zhì)量損失函數(shù)的簡(jiǎn)化

先不論產(chǎn)品合格與否,產(chǎn)品的“質(zhì)量特征值”y對(duì)應(yīng)著質(zhì)量損失q(y),簡(jiǎn)稱q(y) 為“質(zhì)量損失函數(shù)”。由于具有隨機(jī)性,質(zhì)量特征值y因產(chǎn)品而異,且在測(cè)試前往往無法確知。然而,每種產(chǎn)品的質(zhì)量特征值的“標(biāo)準(zhǔn)中心值”m,卻必須根據(jù)“損失最小原則”先行確定,即:質(zhì)量特征值y=m時(shí),相應(yīng)的質(zhì)量損失函數(shù)達(dá)到最小值q(m),則該值m就確定為產(chǎn)品質(zhì)量特征值的標(biāo)準(zhǔn)中心值(簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)值)。

確定質(zhì)量特征值的標(biāo)準(zhǔn)中心值(標(biāo)準(zhǔn)值),往往受生產(chǎn)條件、人的認(rèn)識(shí)水平、技術(shù)成熟度等背景制約。這種制約的突破過程,常常是伴隨著大量試驗(yàn)分析的過程。這些都是容差設(shè)計(jì)的課題,豐富著容差設(shè)計(jì)的內(nèi)容。在此先討論質(zhì)量損失函數(shù)的簡(jiǎn)化。

質(zhì)量損失函數(shù),意在通過質(zhì)量特征值y來評(píng)估質(zhì)量(品質(zhì)),進(jìn)而控制因質(zhì)量問題帶來的損失q(y)。質(zhì)量損失函數(shù)的初始獲得,是“經(jīng)驗(yàn)曲線”。經(jīng)驗(yàn)表明,質(zhì)量損失函數(shù)q(y)多表現(xiàn)為中間低、兩頭高的曲線(如圖1),曲線上谷底對(duì)應(yīng)的最低點(diǎn)M(m,q(m)),常稱為中心點(diǎn),在該點(diǎn)的縱坐標(biāo)q(m)相應(yīng)質(zhì)量損失最小,其橫坐標(biāo)m相應(yīng)的,通常就是質(zhì)量特征值的“標(biāo)準(zhǔn)值”。

人們確定質(zhì)量損失函數(shù),自然希望是線性函數(shù)q(y)=ay+b,即把質(zhì)量損失寫作質(zhì)量特征值的線性函數(shù)。但是基于中心點(diǎn)即經(jīng)驗(yàn)曲線的最低點(diǎn)M(m,q(m)),無論是在它附近取“割線”,還是在該點(diǎn)作切線,來代替質(zhì)量損失函數(shù)都有很大的局限性,不僅繁瑣,而且精度要求越高，可代替的范圍就越小(見圖2)。

用二次曲線(二次多項(xiàng)式)來近似代替質(zhì)量損失曲線(見圖1),往往會(huì)大有改善。多數(shù)情況下,質(zhì)量損失曲線q(y)在中心點(diǎn)M(m,q(m))及其附近,往往具有直到二階甚至是更高階的導(dǎo)數(shù),因而按泰勒公式有:

圖1　質(zhì)量損失函數(shù)圖示

圖2　質(zhì)量損失函數(shù)取割線示意圖

q(y)≈q(m)+k(y-m)2

即在取得極小值的“標(biāo)準(zhǔn)中心值”y=m附近,質(zhì)量損失曲線q(y)近似于開口向上的拋物線(二次函數(shù)),令

Q(y)=k(y-m)2

注意到常數(shù)q(m)在這里是Q(y)和q(y)僅有的差,頂點(diǎn)在橫軸上的拋物線Q(y)與質(zhì)量損失的經(jīng)驗(yàn)曲線q(y),它們都是質(zhì)量特征值y的函數(shù);更為重要的是,在標(biāo)準(zhǔn)值附近,關(guān)于因y影響帶來的質(zhì)量損失,Q(y)和q(y)均可獨(dú)立測(cè)度,且Q(y)更為簡(jiǎn)捷。

因此,根據(jù)質(zhì)量特征值y可以簡(jiǎn)化質(zhì)量損失分析。

其一,如果只生產(chǎn)一件產(chǎn)品,以如下公式測(cè)度產(chǎn)品的質(zhì)量損失:

Q1(y)=k(y-m)2

其二,如果產(chǎn)品不只一件,以質(zhì)量損失的數(shù)學(xué)期望E[?k(y-m)2]來測(cè)度,即對(duì)于該批產(chǎn)品,以如下公式測(cè)度質(zhì)量損失:

Q2(y)=kE[(y-m)2]

記V=E[(y-m)2],稱之為偏差均方,也可簡(jiǎn)寫為Q2=kV

注意：顯然V越小,質(zhì)量損失就越小,相應(yīng)的質(zhì)量特征值y越穩(wěn)定。容差設(shè)計(jì)中有許多試驗(yàn),就是專門探討提高產(chǎn)品的穩(wěn)定性,使得V盡可能小。在實(shí)際問題中,正數(shù)k通?？捎山?jīng)驗(yàn)資料獲得。

2　不合格損失與容差

品質(zhì)管理在容差討論中,首當(dāng)其沖的是確定什么樣的產(chǎn)品合格。

由于質(zhì)量損失曲線以點(diǎn)M為極小點(diǎn),即產(chǎn)品的質(zhì)量特征值y越是偏離標(biāo)準(zhǔn)中心值m,相應(yīng)的質(zhì)量損失Q(y)就越大;所以質(zhì)量特征值偏離標(biāo)準(zhǔn)值如果越過了一定界限,對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品就要作不合格處理,或返修或報(bào)廢。

定義：稱區(qū)間[m-Δ,m+Δ]為公差范圍,區(qū)間長(zhǎng)度2Δ稱為公差;稱公差的一半Δ為容差。定義產(chǎn)品合格,當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量特征值y落入其公差范圍。

這個(gè)定義,以公差范圍[m-Δ,m+Δ],給出了量化的合格品范圍;以“容差”明確了質(zhì)量特征值偏離標(biāo)準(zhǔn)值的剛性容許尺度。產(chǎn)品合格與否,只需看產(chǎn)品的質(zhì)量特征值到標(biāo)準(zhǔn)值的距離,是否超過了容差。

對(duì)于生產(chǎn)者(企業(yè))而言,如何把握不合格品產(chǎn)生的損失?先須知道產(chǎn)品的“不合格損失”。所謂產(chǎn)品的不合格損失為A,是說因一個(gè)不合格品,生產(chǎn)者(企業(yè))須承受量值為A的費(fèi)用(用于需要降級(jí)、返修、報(bào)廢等處理)。

設(shè)產(chǎn)品的“不合格損失”為A,若有質(zhì)量特征值y0滿足Q(y0)=A,即k(y0-m)2=A,那么取Δ=|y0-m|為容差是合宜的,符合損失最小原則,這是因?yàn)?

當(dāng)產(chǎn)品合格時(shí),此時(shí)的質(zhì)量特征值y比y0更靠近m,即有|y-m|≤Δ,因而相應(yīng)的質(zhì)量損失值Q(y)=k(y-m)2比A=Q(y0)=kΔ2A為小。當(dāng)產(chǎn)品不合格時(shí),即質(zhì)量特征值y比y0更遠(yuǎn)離m,即有|y-m|>Δ,但無論任何不合格品,都以“不合格損失”A為質(zhì)量損失,這比依Q(y)=k(y-m)2而得的質(zhì)量損失值,當(dāng)然更小。

滿足A=Q(y0) 的y0可稱為合格的臨界特征值。

以上分析找到了容差與不合格損失的關(guān)系,可作為求容差的方法:

求公差范圍就是解不等式

對(duì)于消費(fèi)者(用戶),無論產(chǎn)品合格否,質(zhì)量損失為Q(y)=k(y-m)2

對(duì)于生產(chǎn)者(企業(yè)),由“不合格損失”A,或合格的臨界特征值y0(其中A=k(y0-m)2),可確定產(chǎn)品的容差Δ=|y0-m|,以及質(zhì)量損失

圖3

直觀圖3,橫軸即y軸,縱軸為Q軸;質(zhì)量損失為“分段函數(shù)”:合格品的損失值Q(y)=k(y-m)2,就是圖中“曲線段” 上的縱坐標(biāo);而不合格品的損失值,一律為“水平直線段”的縱坐標(biāo)Q(y)=A,即“不合格損失”。

注意：測(cè)度不合格品給消費(fèi)者帶來的損失,不能用生產(chǎn)者(企業(yè))的質(zhì)量損失函數(shù),而是依Q(y)=k(y-m)2來測(cè)度。

3　機(jī)能界限與容差

產(chǎn)品質(zhì)量特征值y對(duì)“標(biāo)準(zhǔn)中心值”m的偏離程度,也決定著產(chǎn)品“機(jī)能”的好壞。一般說來,偏離越小,其“有效性”越強(qiáng)即機(jī)能越好。

定義：一個(gè)正常數(shù)Δ0作為臨界值，產(chǎn)品可以發(fā)揮“機(jī)能”,當(dāng)且僅當(dāng)不等式|y-m|<Δ0成立;稱這樣的臨界值Δ0為機(jī)能界限,相應(yīng)地稱Q(m±Δ0)=D為臨界質(zhì)量損失。

圖4

以A表示一個(gè)產(chǎn)品的“不合格損失”,Δ表示容差,Δ0表示機(jī)能界限,則由于——

Δ=|y0-m|且Q(y)=k(y-m)2

而A=Q(y0) 及D=Q(m±Δ0)

故有容差Δ與機(jī)能界限Δ0的函數(shù)關(guān)系

注意：不合格品的質(zhì)量特征值y也可能滿足|y-m|≤Δ0,但這僅僅表明它“具備一定機(jī)能”。機(jī)能有效區(qū)間[m-Δ0,m+Δ0],明確了“工作有效范圍”;而“圖紙公差范圍”即區(qū)間[m-Δ,m+Δ],則明確了質(zhì)量合格范圍,參見圖4。

案例：電源電路產(chǎn)品的鑒定。

設(shè)某變電器產(chǎn)品,是按要求把輸入220伏的交流電變?yōu)?00伏的直流電輸出;臨界質(zhì)量損失為50歐元,機(jī)能界限為15伏。如果產(chǎn)品因其中的某部分需要返工,其返修成本為0.4歐元。試確定:(1) 容差是多少?(2) 質(zhì)量損失函數(shù);(3) 輸出電壓為102伏的產(chǎn)品,一旦被消費(fèi)者使用,將有怎樣的損失?

(1) 產(chǎn)品的容差

所以,對(duì)于生產(chǎn)者(企業(yè))而言,與產(chǎn)品質(zhì)量特征值y對(duì)應(yīng)的質(zhì)量損失(歐元)

而對(duì)消費(fèi)者而言,無論是否合格,產(chǎn)品質(zhì)量損失為Q(y)=0.22(y-100)2

(3) 由(1) 知Δ≈1.34。“質(zhì)量特征值”達(dá)到102伏的產(chǎn)品,要出廠須先返修使之合格。如果以次充好而直接出廠,生產(chǎn)者(企業(yè))節(jié)省返修費(fèi)0.4歐元,由此消費(fèi)者(需方)卻要蒙受損失達(dá) 0.22×(102-100)2=0.88(歐元),兩相比較,導(dǎo)致社會(huì)總損失為0.88-0.4=0.48歐元。

生產(chǎn)者(企業(yè))如果片面強(qiáng)調(diào)機(jī)能而掩飾質(zhì)量的不合格,結(jié)果是以社會(huì)損失為代價(jià)的。因此這樣的行為,被日本學(xué)者抨擊是“比小偷還要壞”的行為。

參考文獻(xiàn)：

[1]李夢(mèng)群.質(zhì)量管理與可靠性[M].北京:國防工業(yè)出版社,2015.

[2]陳競(jìng)先.優(yōu)質(zhì)管理[M].上海:上海人民出版社,2002.

[3]楊立文.SQC技術(shù)——優(yōu)質(zhì)管理中無可替代的核心技術(shù)[J].中國城市經(jīng)濟(jì),2003(11).