劉 洋 魏正華 馬 杰

（新時代信托股份有限公司，北京100020）

（北京航空航天大學經(jīng)濟管理學院，北京100191）

一、引 言

金融市場是各種金融資產進行交易的場所，金融資產價格波動可謂經(jīng)濟形勢的晴雨表，可反映出整個經(jīng)濟的發(fā)展趨勢。隨著經(jīng)濟全球化的不斷發(fā)展，金融科技的不斷進步，金融市場在經(jīng)濟發(fā)展中發(fā)揮著越來越重要的作用。在金融市場金融數(shù)據(jù)的各類特征中，波動性特征是最為重要的一點，是計量學與金融學研究者普遍分析探究的重點。股票價格波動率是最為基礎的一種數(shù)據(jù)，它對金融資產的定價機制及其風險大小的測度會造成深刻的影響。

金融市場會因為受到不同沖擊而發(fā)生變化，從而造成金融時間序列的波動狀態(tài)在不同的時候會發(fā)生一定改變，具體表現(xiàn)為金融市場發(fā)生結構突變現(xiàn)象，促使這些改變的原因有很多，包括科學技術、重大國家事件、宏觀調控改變、金融市場監(jiān)管政策等。通常利用經(jīng)典GARCH 模型研究波動性，模型設定較為簡單，沒有將因為金融數(shù)據(jù)的結構改變而造成的狀態(tài)改變考慮在內，使得大多數(shù)研究的結果不能準確地觀測到金融數(shù)據(jù)的結構變化情況，造成測算結果與真實情況相差較大。為此，有學者將馬爾科夫狀態(tài)轉換模型應用于金融時間序列分析中，提出了MS-GARCH 模型，并將模型的收益殘差序列從對稱的正態(tài)分布擴展到學生t 分布和廣義誤差分布等非正態(tài)分布。

中國股票市場從1990年成立以來，取得了較大進展和突破，但因為成立時間相對較短，在管理與控制金融風險時缺乏足夠的經(jīng)驗，處理方式不太完善。同時，我國股市投資者散戶數(shù)量眾多，具有情緒化特征，缺乏理性分析，存在盲目投機行為，因此我國股市的價格波幅往往比較明顯。伴隨著經(jīng)濟全球化的深入發(fā)展，我國金融市場和世界其他市場之間的聯(lián)系也在逐漸變得緊密，易受到國外金融市場的沖擊，使得股票波動性出現(xiàn)異?，F(xiàn)象。多方面的原因，導致中國股票市場從長期來說是不平穩(wěn)的，也就是說我國股市會有不同狀態(tài)的轉換出現(xiàn)；而且在不同狀態(tài)下，金融資產的收益率水平與波動性大小存在明顯差異，這也正是本文的立意及研究的出發(fā)點。

二、波動性度量的相關綜述

Engle（1982）研究通貨膨脹率時首次提出了ARCH 模型，有效避免了時間序列的異方差性，也為金融和計量研究領域的進步起到了關鍵的推動作用。1986年Bollerslev 將ARCH 模型進行推廣，構建了更為廣泛的GARCH 模型。Hamilton（1989）首次提出了馬爾科夫轉換（Markov Switching，簡稱MS）模型以研究美國經(jīng)濟周期的轉變問題，發(fā)現(xiàn)了實際產出增加具有非線性變化特征且不滿足對稱性，因而該模型又被稱作體制轉換模型。MS 模型區(qū)別于一般時變參數(shù)模型，加入了遵循一階Markov 過程變化的離散狀態(tài)變量，此后該模型在金融市場和宏觀經(jīng)濟分析中得到了廣泛應用。Hamilton 和Susmel（1994）將MS-AR 模型推廣到帶有馬爾科夫過程變化的ARCH 模型（MS-ARCH），在擬合和預測方面比傳統(tǒng)的ARCH 模型更優(yōu)，從而為變結構金融序列的波動性建模提供了新方法。Gray（1996）進一步提出了應用范圍更加廣泛的MS-GARCH 模型，但應用難度會大很多，因為添加了狀態(tài)變量之后，在GARCH 模型條件方差的遞推過程中會出現(xiàn)路徑依賴問題，從而使得參數(shù)估計更加復雜。

Andreou 等（2002）認為，由結構斷裂引起的資產收益波動性突然上升現(xiàn)象，并不能被單態(tài)GARCH 型模型的狀態(tài)不變參數(shù)捕獲。Augustyniak（2014）證實了波動性確實受高和低（或正常）兩種機制的制約，其中高風險機制被認為是金融市場壓力，與危機時期密切相關。Marcucci 等（2009）將GARCH 族和MS-GARCH 族模型作出對比分析后發(fā)現(xiàn)，短期內MS-GARCH 族模型的預測效果會優(yōu)于GARCH 族模型；但對長期過程，GARCH 模型比MS-GARCH 模型擬合度更高，故模型的好壞并不是絕對的。

關于MS-GARCH 族模型的參數(shù)估計，通常運用經(jīng)典的極大似然估計法，有時難以得到最大似然值。為改善這種狀況，Kaufmann 和Fruehwirth-Schnatter（2003）采用了MCMC 方法，使得問題得以有效解決。Bauwens 等（2010）證明了MS-GARCH 幾何遍歷和矩存在性的充分條件，并采取Gibbs 抽樣法對模型參數(shù)作出估計。

國內學者張兵（2005）運用MS 模型，假設市場存在慢牛、瘋牛和熊市三種狀態(tài)，對中國股市波動狀態(tài)的轉換進行了研究。張小宇和劉金全（2012）把貨幣政策分為穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩種類別，選用MS 模型發(fā)現(xiàn)我國通貨膨脹序列在穩(wěn)定區(qū)制下趨于平穩(wěn)，而在不穩(wěn)定區(qū)制趨于非平穩(wěn)。胡志強等（2013）借助三區(qū)制MS 模型，將IPO 周期市場由原有的兩種狀態(tài)增加到三種狀態(tài)，通過濾波迭代法得出各狀態(tài)的平滑概率。田成詩等（2014）運用結構轉移ARCH 族模型，分析了我國股市收益波動的非對稱性。蔣彧等（2015）采用MS 模型研究上證指數(shù)，根據(jù)其變動規(guī)律將中國股市總結為5 個狀態(tài)。王倩等（2015）對上證綜指、五大上市公司的對數(shù)收益率，構建了三狀態(tài)MS-ARCH 模型，研究了我國經(jīng)濟周期對投資策略的影響。

三、MS-GARCH 理論模型與參數(shù)估計的簡介

Markov 狀態(tài)轉換模型，有時也稱為機制或體制轉換模型。1989年，Hamilton 首次提出了自回歸模型為基礎的MS 模型，由此形成的自回歸模型處于三狀態(tài)下兩階滯后。實證研究中，該模型應用廣泛，對GDP 的增長波動描述有著獨到優(yōu)勢。

考慮一個簡單例子，MS 一階自回歸模型可作如下數(shù)學描述：

其中，yt是模型采用的樣本時間序列，yt-1是樣本的滯后一期，μSt則為模型的常數(shù)項，也是序列的均值，αSt則為模型的回歸系數(shù)，擾動項εt服從均值為0、方差為σ2的正態(tài)獨立同分布。但在不同時間段t，模型結構發(fā)生變化無法預知，狀態(tài)轉換也無法提前確定，因此，引入外生變量St，來表示這樣一種不確定關系及描述狀態(tài)轉換。在t 時刻，假設狀態(tài)變量St存在k 個、服從遍歷的齊次不可約馬爾科夫過程，并且狀態(tài)的轉移概率為P{St=j│St-1=i}=ηij，i，j=1，2，…，k，其中ηij表示從t-1 時刻的狀態(tài)i 到t 時刻的狀態(tài)j 的轉移概率。由此，可得到y(tǒng)t的條件概率密度為：

記yt=（y1，y2，…，yt)，St-1=（S1，S2，…，St)，分別表示為樣本觀測向量及所對應的狀態(tài)，公式（2）中Θ 代表的是到t 時刻為止，不同狀態(tài)全部的參數(shù)集。

對金融標的資產，再假定t 時期的收益率將會受到St的影響，同時假設其波動率也受狀態(tài)變量St的影響，MS-GARCH 模型可如公式（3）描述如下：

其中ut服從均值為0、方差為1 的獨立同分布，其分布可以是正態(tài)分布、廣義差分分布等。具體狀態(tài)的馬爾科夫轉移概率為：

由遞推結構可知，t 期的條件方差會依賴于過去全部的歷史方差，很可能會導致路徑依賴。估計這一模型時（k 個狀態(tài)），假設存在樣本容量為T 的似然函數(shù)，需要將T×k 個狀態(tài)進行相乘或相加處理，導致直接利用ML估計很可能是行不通的。MCMC 方法可有效解決這一問題，主要包括Metropolis、Metropolis-Hastings、Gibbs 和格子Gibbs 等抽樣方法。其中，Gibbs 抽樣方法是應用最為廣泛的MCMC 方法，在計算多維隨機變量時具備良好優(yōu)勢，本文重點介紹所引用的Gibbs 抽樣方法。

在本質上講，Gibbs 抽樣是Metropolis-Hastings 方法的一種特例。抽樣過程中，需要計算單變量的條件分布，假設x 的密度函數(shù)為π（x），對i=1，2，…，n 連續(xù)地使用Gibbs 抽樣；大多數(shù)情況下，運用這種迭代方法重復運算可使得最終概率分布收斂。首先，需要定義一個初始值，第t 次迭代的具體抽樣過程如下所示：

……

……

Gibbs 抽樣方法，有效降低了對高維分布直接抽樣的難度，因此得到了廣泛應用。

四、樣本數(shù)據(jù)說明及其相關檢驗

（一）樣本數(shù)據(jù)及其統(tǒng)計特征

考慮到A 股市場可分為不同層次，不同層次與不同規(guī)模的股票可能呈現(xiàn)不同的收益-波動特征：本文選取中證100、中證200 與中證500 指數(shù)，分別代表大盤、中盤與小盤股的市場分層走勢狀況，樣本采用2005年1月4日至2018年1月31日期間的日收益率序列，共3180 個樣本點。本文的實證計算、相關檢驗與模型估計，均采用R 語言編程實現(xiàn)。

中證100 指數(shù)，是從組成滬深300 指數(shù)的股票中按照市值排行選擇市值最大的100 只股票來組成的指數(shù)，包括了我國國民經(jīng)濟中有影響力的重點大型企業(yè)。與之相反，中證500 指數(shù)排除了滬深300 指數(shù)股票里總市值排名前300 名的股票，然后將剩余股票按照日均成交金額進行排序，將排名后20%的股票進行去除，再選擇總市值排名前500 名構成了中證500 指數(shù)，比較合理地代表小盤股。中證200 指數(shù)，則包含滬深300 指數(shù)成份股里去除了中證100 指數(shù)的市值排名前200 家股票的上市企業(yè)，可以大體反映我國股市的中市值企業(yè)情況。

假定相關中證指數(shù)第t 天的收盤價格為Pt，采用對數(shù)收益率yt來表示其收益，計算公式為：yt=lnPt-lnPt-1；利用一階對數(shù)差分可減小一些干擾影響，使得金融時間序列更加平滑平穩(wěn)，取對數(shù)后收益率yt的有效樣本數(shù)為3179。通過三個中證指數(shù)的對數(shù)收益率時序圖（限于篇幅，圖略），發(fā)現(xiàn)均存在一定的波動聚集性；從波動程度來看，大中小盤指數(shù)呈遞增趨勢，并在同一時間區(qū)間內表現(xiàn)為相近走勢。三個指數(shù)的基本描述性統(tǒng)計，如表1所示。

表1 三個中證指數(shù)的描述性統(tǒng)計

表1顯示，中證100、中證200、中證500 指數(shù)的偏度分別為-0.336、-0.685、-0.840，表明序列均略稍左偏，且隨著股盤大小的變小而逐漸偏左；三個指數(shù)的峰度分別為6.910、6.256、6.160，說明序列分布凸起程度高于正態(tài)分布，呈尖峰狀。Jarque-Bera 檢驗的結果，顯示三個指數(shù)序列均不服從正態(tài)分布。

（二）平穩(wěn)性與ARCH 效應檢驗

檢驗金融時間序列的平穩(wěn)性，常用的主要方法包括ADF 檢驗、KPSS 檢驗和PP 檢驗。本文采用ADF 檢驗，對三個中證指數(shù)對數(shù)收益率進行了單位根檢驗，最大滯后階數(shù)均取為14，檢驗結果參見表2。結果顯示，中證100、中證200、中證500 指數(shù)的ADF 檢驗t 統(tǒng)計量分別為-12.712、-12.681、-12.681，均低于在1%、5%、10%水平下的臨界值，因此可拒絕中證100、中證200、中證500 指數(shù)收益率存在單位根的原假設，即可認為三個指數(shù)的對數(shù)收益率均為平穩(wěn)序列。

盡管三個中證指數(shù)的收益率均為平穩(wěn)序列，但其時序圖呈現(xiàn)出一定的波動聚集性，故很可能存在ARCH 效應。本文采用常用的ARCH-LM 檢驗，來驗證該效應的存在與否。首先觀察三個時間序列的自相關圖和偏相關圖，其ACF 函數(shù)圖分別呈獻4 階、1 階和1 階截尾，而偏自相關圖均呈現(xiàn)快速拖尾，故分別選用MA（4）、MA（1）、MA（1）模型來對中證100、中證200、中證500 的收益率序列進行擬合。然后對得到的殘差序列進行ARCH-LM 檢驗，結果顯示：在滯后35 階之前，LM 統(tǒng)計量值均很顯著，相應的P 值很小，均強烈拒絕了沒有ARCH 效應的原假設。檢驗表明，中國股市大中小盤股收益率序列的ARCH 效應比較明顯，可以考慮采用GARCH 族模型來進行波動率分析。

表2 ADF 單位根檢驗結果

五、大中小盤股的波動性實證研究：基于MS-GARCH 模型

由于大多數(shù)研究沒有考慮到金融數(shù)據(jù)的變結構情況，綜合前文的綜述與分析，本文將以馬爾科夫體制轉換模型為基礎，針對中證100、中證200、中證500 指數(shù)分別構建MS-GARCH 模型展開實證研究。MS-GARCH 模型的基本假設是，模型參數(shù)會由于狀態(tài)變量St的改變而發(fā)生改變，故我們定義St是在t 時刻的隨機變量，會隨時間推移而發(fā)生轉換，轉換機制服從馬爾科夫過程。

在具體建模與計算中，本文假設大中小盤股服從兩狀態(tài)的馬爾科夫轉換模型；根據(jù)前文的描述性統(tǒng)計與相關檢驗，由于三種股指收益分布均存在尖峰厚尾現(xiàn)象，不滿足正態(tài)分布假設，故假定殘差擾動項服從學生t 分布，以更好的符合實際指數(shù)分布情況，參數(shù)估計采用的是MCMC 模擬方法。參數(shù)估計結果，如表3所示。

表3顯示，利用MS-GARCH 模型可將三個中證指數(shù)收益率序列劃分為兩個狀態(tài)，分別代表低波動狀態(tài)S1和高波動狀態(tài)S2。從回歸結果來看，三者的ARCH 項系數(shù)αi、GARCH 項系數(shù)βi均顯著大于0，同時可發(fā)現(xiàn)βi?αi：這說明中證指數(shù)收益率序列波動的自相關性較強，且往期條件方差會對即期條件方差產生更大影響，因此我國大中小盤股的波動率持續(xù)性均較強，這也驗證了其易呈現(xiàn)波動聚集特征。

在狀態(tài)轉移概率方面，中證100、中證200、中證500 指數(shù)的狀態(tài)轉移矩陣分別為：

表3 MS-GARCH 模型的參數(shù)估計結果

對中證100，p11的估計值為0.1209，而p22的估計值為0.6525，這表明對于大盤股而言，維持低波動狀態(tài)的能力相對較弱，大盤股指波動更加傾向于高波動狀態(tài)。但對中證200 和中證500，p11值分別為0.9197 和0.8782，比較接近于1，而p22值則分別僅為0.0000 和0.0858。這顯示出與大盤股指正相反，中小盤股指保持原有低波動狀態(tài)的能力較強，高波動狀態(tài)則有很大的概率轉化成低波動狀態(tài)、持續(xù)保持在高波動狀態(tài)的概率較小。由此可見，大中小盤股票在低波動和高波動狀態(tài)之間的轉移過程中，出現(xiàn)了較大程度上的差異；更重要的是，傳統(tǒng)印象中大盤股的波動性更低更穩(wěn)定，但實證結果卻是中小盤股更傾向于保持低波動性狀態(tài)，這個經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)有助于糾正我們的主觀直覺。

在波動持久性方面，可通過觀察（α+β）的大小來判斷。根據(jù)參數(shù)估計結果可看出，中證100 的低波動狀態(tài)（α1+β1）值為0.9002，而高波動狀態(tài)（α2+β2）值為0.9975；中證200 指數(shù)的低波動狀態(tài)（α1+β1）值為0.9856，而高波動狀態(tài)（α2+β2）值為0.9967；中證500 指數(shù)的低波動狀態(tài)（α1+β1）值為0.9771，而低波動狀態(tài)（α2+β2）值為0.9972。對比可發(fā)現(xiàn)，對大中小盤股指收益率，高波動狀態(tài)的波動持久性均略強于高波動狀態(tài)。而且，無論是哪種波動狀態(tài)，（α+β）均接近于1，說明大中小盤股指收益的波動持久性均很強，易呈現(xiàn)波動聚集特征。

根據(jù)狀態(tài)轉移概率，通?？衫霉絋i=1/1-pii來計算各個狀態(tài)對應的持續(xù)周期。經(jīng)計算可得到：中證100低波動狀態(tài)S1的持續(xù)周期為1.1375 天，高波動狀態(tài)S2的時間為2.8781 天；中證200 低波動狀態(tài)S1的持續(xù)周期為12.4583 天，高波動狀態(tài)S2的期望持續(xù)時間為1 天；中證500 低波動狀態(tài)S1的持續(xù)周期為8.2069 天，高波動狀態(tài)S2的時間為1.0938 天。總體來看，中證指數(shù)收益的波動持續(xù)時間均不算長。尤其令人驚訝的是，中證100 的低波動狀態(tài)持續(xù)時間，短于高波動狀態(tài)的持續(xù)周期，即中證100 處于高波動狀態(tài)的情況更多；而中證200和中證500 的低波動狀態(tài)持續(xù)時間則遠高于高波狀態(tài)，低波動狀態(tài)反而比較穩(wěn)定，這同樣有悖于我們的傳統(tǒng)認識。

MS-GARCH 模型中，按照無條件方差計算公式σ2i=ωi（/1-αi-βi）：中證100 狀態(tài)1 的無條件波動率為0.2722，狀態(tài)2 的無條件波動率為3.7582；中證200 狀態(tài)1 的無條件波動率為0.7971，狀態(tài)2 的無條件波動率為7.3825；中證500 狀態(tài)1 的無條件波動率為0.8166，狀態(tài)2 的無條件波動率為6.4198。比較可發(fā)現(xiàn)，股盤變小后低、高波動狀態(tài)下的無條件波動率總體上呈增大趨勢，這符合我們傳統(tǒng)的常識預期。

圖1至圖6具體展示了MS-GARCH 模型估計兩種不同機制下的動態(tài)條件波動率，可更詳細地反映3 種中證指數(shù)大中小盤股的波動特征?？偟膩砜矗瑹o論哪種中證指數(shù)的條件波動率，進入高波動狀態(tài)后通常會出現(xiàn)新的高波動狀態(tài)，反映出中國股市大中小盤市場里普遍存在著波動聚集特征。此外，在同一時間區(qū)間，3 種指數(shù)高波動狀態(tài)和低波動狀態(tài)下各自的條件波動率通常都相互對應，具有一定的關聯(lián)性。但圖4與圖6，與另外其他4 個相似圖形的波幅特征明顯不同，即中證200 與中證500 在高波動狀態(tài)下的絕大部分時段里波幅呈相對收斂的狀態(tài)，甚至比同時期同狀態(tài)下中證100 的波幅要小，這是一個相當有趣的經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)。這種差異性，一方面可能是在高波動狀態(tài)下中小盤股的波動性相對大盤股其絕對水平已在高位，難以再大幅波動；另一方面，也可能是因為在高波動狀態(tài)下，股票市場波動的主要動力來自于大盤股而非中小盤股。

再將低波動狀態(tài)、高波動狀態(tài)的條件波動率圖1至圖6與中證指數(shù)的對數(shù)收益率圖作對比，還可有如下具體發(fā)現(xiàn)：（1）2005年末前后，條件方差的值較大，股指收益率處于較高水平，對應的中證指數(shù)收益波動幅度也較大；（2）2007-2009年，條件方差在多數(shù)情況下屬于高波動狀態(tài)，同時所對應的中證指數(shù)收益率波動幅度也比較強；（3）2009-2015年，股市總體趨于平穩(wěn)，條件波動率也處于較低的水平；（4）2015-2016年，股市面臨動蕩，出現(xiàn)高收益率與低收益率并存的狀態(tài)，條件波動率最大，這反映了2015年股災與2016 初熔斷機制的影響。

圖1 中證100 指數(shù)低波動狀態(tài)條件波動率圖

圖2 中證100 指數(shù)高波動狀態(tài)條件波動率

圖3 中證200 指數(shù)低波動狀態(tài)條件波動率

圖4 中證200 指數(shù)高波動狀態(tài)條件波動率

圖5 中證500 指數(shù)低波動狀態(tài)條件波動率

圖6 中證500 指數(shù)高波動狀態(tài)條件波動率

六、結 論

現(xiàn)實中金融市場的波動，會受到外部沖擊的影響而發(fā)生狀態(tài)改變，即市場波動性的內部結構會發(fā)生變化、狀態(tài)會發(fā)生體制轉移，但經(jīng)典的GARCH 族模型無法有效地捕捉這種機制結構轉換現(xiàn)象。本文將GARCH 模型與馬爾科夫區(qū)制轉移模型（MS 模型）相結合，構建了馬爾科夫體制轉移MS-GARCH 模型；在該模型設定下，其均值方程與方差方程均可能隨著狀態(tài)的改變而變化。利用應用最為廣泛的MCMC 方法Gibbs 抽樣，可有效解決路徑依賴問題、并降低了對高維分布直接抽樣的難度，使得參數(shù)估計結果更加準確合理。

本文選取中證100、中證200 與中證500 指數(shù)，分別代表大盤、中盤與小盤股的走勢狀況，采用2005年1月4日至2018年1月31日的日收益率序列，采用殘差項服從學生t 分布的兩狀態(tài)MS-GARCH 模型展開實證研究，參數(shù)估計采用MCMC 模擬方法。實證表明，三個中證指數(shù)收益率序列的波動確實可劃分為兩個狀態(tài)，分別代表低波動狀態(tài)S1和高波動狀態(tài)S2；且無論是哪種波動狀態(tài)，大中小盤股指收益的波動持久性均很強，易呈現(xiàn)波動聚集特征。

在低波動和高波動狀態(tài)之間的轉移過程中，大中小盤股票確實存在有較大程度上的差異。尤其令人驚訝的是，傳統(tǒng)印象中大盤股的波動性更低更穩(wěn)定，但實證結果卻是中小盤股更傾向于保持低波動性狀態(tài)。而且從高低波動狀態(tài)的持續(xù)時間來看，也得到了類似的有悖于傳統(tǒng)主觀直覺的經(jīng)驗證據(jù)，中證100 處于高波動狀態(tài)的情況更多，而中證200 和中證500 的低波動狀態(tài)反而比較穩(wěn)定。

研究還發(fā)現(xiàn)，中證200 與中證500 在高波動狀態(tài)下的絕大部分時段里波幅呈現(xiàn)相對收斂的狀態(tài)，甚至比同時期同狀態(tài)下中證100 的波幅要小。這種差異性，一方面可能是在高波動狀態(tài)下中小盤股的波動性相對大盤股其絕對水平已在高位，難以再大幅波動；另一方面，也可能是因為在高波動狀態(tài)下，股票市場波動的主要動力來自于大盤股而非中小盤股。