（北京市朝陽區(qū)芳草地國際學(xué)校富力分校）

角的平分線的性質(zhì)，即“角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”和“角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”，是初中平面幾何教學(xué)中比較特殊的兩個(gè)定理，之所以這樣說，源自于學(xué)生的兩個(gè)疑惑：（1）學(xué)習(xí)這兩個(gè)定理似乎是為了避開全等三角形的證明；（2）如果一個(gè)真猜想是性質(zhì)定理，那么這個(gè)猜想的逆定理在一般情形下應(yīng)該是判定定理.但是這兩個(gè)定理為什么都稱為性質(zhì)定理呢？這兩個(gè)疑惑也引起了我們的思考，以下是筆者對(duì)于“角的平分線的性質(zhì)”一課的教學(xué)設(shè)計(jì).

一、指導(dǎo)思想和理論依據(jù)

著名數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為，學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中也指出，學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程.認(rèn)真聽講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程.本課是一節(jié)圖形性質(zhì)的探究課，知識(shí)的綜合性較強(qiáng)，思維含量較大，結(jié)合波利亞和《標(biāo)準(zhǔn)》的理念，教師發(fā)揮主導(dǎo)作用，設(shè)置一系列問題串，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，啟發(fā)學(xué)生的思維.

維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論認(rèn)為，教學(xué)必須考慮到兒童已達(dá)到的水平并走在兒童發(fā)展的前面.教學(xué)可以說是“創(chuàng)造”著學(xué)生的發(fā)展，決定著學(xué)生發(fā)展的水平、速度和內(nèi)容.在本節(jié)課的探究過程中，筆者始終圍繞學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問題，以思考和相互交流的形式分析并解決問題，學(xué)生通過動(dòng)手操作、觀察、實(shí)驗(yàn)、探究來解決問題，從而完成對(duì)知識(shí)的自我建構(gòu).

二、教學(xué)背景分析

教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)“全等三角形”第3課時(shí)的內(nèi)容，是對(duì)全等三角形知識(shí)的運(yùn)用和延續(xù).

“角的平分線的性質(zhì)”一課是一節(jié)性質(zhì)探究課，是初中階段幾何學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，為以后研究圖形的性質(zhì)提供了重要的思路和方法，學(xué)生可以類比角的平分線的性質(zhì)的研究方法，探究線段的垂直平分線的性質(zhì).學(xué)生能夠從本節(jié)課的探究過程中，逐步感受一個(gè)圖形與所有滿足特征條件的點(diǎn)之間的關(guān)系，從不同的角度認(rèn)識(shí)角平分線，體會(huì)其中的集合思想.學(xué)生初次探究這類問題，缺少認(rèn)知基礎(chǔ)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，筆者通過創(chuàng)設(shè)實(shí)際情境，使學(xué)生逐步掌握探究方法，在探究的過程中逐步體會(huì)這種集合思想，以及條件的充分性和必要性.

猜想證明是初中幾何的重要組成部分，是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹匾d體.文字語言、圖形語言、符號(hào)語言三種表述方式之間的轉(zhuǎn)化是猜想證明過程中的重要環(huán)節(jié)，在本節(jié)課中，筆者設(shè)計(jì)了一系列學(xué)生活動(dòng)，幫助學(xué)生突破這一難點(diǎn).

學(xué)生情況：為了因材施教和有的放矢，筆者在課前進(jìn)行了學(xué)習(xí)情況調(diào)研.數(shù)據(jù)顯示，七、八年級(jí)的學(xué)生欠缺探究一個(gè)圖形性質(zhì)的方法和經(jīng)驗(yàn)；九年級(jí)學(xué)生雖然學(xué)習(xí)過這部分內(nèi)容，但是對(duì)證明幾何猜想的完整規(guī)范的表述仍有一定不足.

教學(xué)方式：探究式教學(xué).

三、教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重、難點(diǎn)

教學(xué)目標(biāo)：（1）從航線的具體情境中，抽象出幾何模型，初步感悟具有某條件的點(diǎn)的特征.

（2）類比平行線，探索并證明角的平分線的性質(zhì).

（3）在探索活動(dòng)中，體會(huì)合情推理的作用，理解模型思想、集合思想.

（4）通過對(duì)定理證明的一般步驟的梳理，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展邏輯推理能力.

教學(xué)重點(diǎn)：理解角的平分線的性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)并證明角的平分線的性質(zhì).

四、教學(xué)流程

借助情境，發(fā)現(xiàn)問題—問題變式，類比探究—證明猜想，歸納小結(jié)—拓展探究，提高能力—課后反思，提升認(rèn)識(shí).

五、教學(xué)過程

1.借助情境，發(fā)現(xiàn)問題

情境1：端午節(jié)是我們國家的傳統(tǒng)節(jié)日，人們吃粽子，劃龍舟來慶祝.在龍舟比賽中，為了明確船航行的方向，通常在河面上放置一些浮標(biāo)（如圖1）.

圖1

若河的兩岸互相平行，最中間一排浮標(biāo)的位置是如何確定的（如圖2）？

圖2

師生活動(dòng)：學(xué)生觀看視頻后，從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，畫出圖形，并確定浮標(biāo)的位置.教師適當(dāng)追問，引導(dǎo)學(xué)生分析“中間的線”與到兩平行線距離相等的點(diǎn)之間的關(guān)系，明確應(yīng)從兩個(gè)角度去探究問題.

問題1：最中間的直線滿足什么條件？問題2：到兩平行線的距離相等的點(diǎn)有什么規(guī)律？問題3：你能提出關(guān)于兩平行線間的“中間的線”的哪些猜想？

猜想1：兩平行線間“中間的線”上的點(diǎn)到兩平行線的距離相等.

猜想2：到兩平行線距離相等的點(diǎn)在兩平行線間“中間的線”上.

活動(dòng)：在圖3中畫出兩平行線間的“中間的線”，并簡(jiǎn)要記錄畫圖步驟.

圖3

【設(shè)計(jì)意圖】通過中國傳統(tǒng)文化賽龍舟，設(shè)計(jì)浮標(biāo)這一實(shí)際情境引入，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.借助情境，讓學(xué)生經(jīng)歷了將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程，從更易于理解的平行線間“中間的線”開始探究，逐步分析出兩個(gè)猜想，既要探究直線上所有的點(diǎn)都滿足一定條件，還要探究滿足特定條件的所有的點(diǎn)都在直線上，既為下一個(gè)環(huán)節(jié)探究角的平分線的性質(zhì)做了鋪墊，又讓學(xué)生獲得了一定的研究經(jīng)驗(yàn).

2.問題變式，類比探究

情境2：如果河的兩岸不平行，則抽象成一個(gè)角（如圖4），這時(shí)你還能找到中間的線么？

圖4

問題1：當(dāng)兩直線不平行時(shí)，“中間的線”還存在嗎？它有名字嗎？

問題2：角的平分線有與“中間的線”相類似的性質(zhì)嗎？

活動(dòng)：提出關(guān)于角的平分線的猜想.

類比兩平行線間“中間的線”的猜想，提出關(guān)于角的平分線的兩個(gè)猜想.

猜想1：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；

猜想2：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等點(diǎn)在角的平分線上.

【設(shè)計(jì)意圖】情境由兩條平行的直線變?yōu)橐粋€(gè)角，學(xué)生能夠在這種特殊到一般的變化中，主動(dòng)運(yùn)用類比的方法，較為順利地提出有關(guān)角的平分線的性質(zhì)的兩條猜想.

3.證明猜想，歸納小結(jié)

活動(dòng)1：將猜想1改寫成符號(hào)語言.

分析猜想1的條件和結(jié)論，明確猜想1的研究對(duì)象是線上的點(diǎn).借助量角器，畫出角的平分線，再將猜想的條件、結(jié)論分別用符號(hào)語言表述出來.教師展示學(xué)生的作圖，并讓一位學(xué)生簡(jiǎn)要描述自己的作圖步驟，師生共同辨析得出大家都認(rèn)可的一種恰當(dāng)?shù)谋硎?

【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生經(jīng)歷“猜想—畫圖—改寫—證明”這一系列的探究過程，初步獲得研究幾何問題的方法和步驟.

在將猜想的文字表述轉(zhuǎn)化成符號(hào)語言的過程中，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)不同的理解.

預(yù)設(shè)1：已知，如圖5，∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E.求證：PD=PE.

預(yù)設(shè)2：已知，如圖5，∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OC上.求證：PD=PE.

圖5

預(yù)設(shè)3：已知，如圖5，射線OC平分∠AOB，點(diǎn)P在射線OC上.求證：點(diǎn)P到OA，OB的距離相等.

學(xué)生在將文字改寫成符號(hào)語言時(shí)，對(duì)于如何描述距離會(huì)出現(xiàn)不同的理解，教師引導(dǎo)學(xué)生分析幾位同學(xué)的改寫，確定預(yù)設(shè)1是最為恰當(dāng)?shù)谋硎?

活動(dòng)2：完成猜想1的證明過程.

學(xué)生獨(dú)立完成猜想1的證明過程，在黑板上板演證明的完整過程.

活動(dòng)3：師生共同歸納證明一個(gè)幾何猜想的一般步驟：閱讀猜想—分析條件和結(jié)論—畫出圖形—寫成符號(hào)語言—完成證明.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過辨析猜想的條件和結(jié)論，先獨(dú)立完成猜想的改寫，再與教師共同辨析，得到最為恰當(dāng)?shù)谋硎?在這一過程中，一方面，可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)角的平分線的性質(zhì)的猜想條件和結(jié)論的理解；另一方面，可以歸納證明一個(gè)幾何猜想的一般步驟，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

活動(dòng)4：獨(dú)立完成猜想2的證明.

在完成猜想1的證明過程的基礎(chǔ)上，學(xué)生獨(dú)立改寫猜想2的已知部分，但是在求證的表述上可能會(huì)存在不同的想法.

預(yù)設(shè)1：已知，如圖5，點(diǎn)P在射線OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，PD=PE.求證：∠AOC=∠BOC.

預(yù)設(shè)2：已知，如圖6，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.

圖6

師生互動(dòng)：師生共同分析，辨析猜想的條件和結(jié)論，不斷調(diào)整對(duì)于已知和求證的書寫.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在不斷調(diào)整已知、求證的書寫的過程中，提升對(duì)猜想的理解，強(qiáng)化幾何猜想證明的一般步驟，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，突破本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn).

4.拓展探究，提高能力

活動(dòng)1：探究角平分線的畫法.

預(yù)設(shè)1：依據(jù)角的平分線的定義，利用量角器進(jìn)行度量，畫出角平分線.

預(yù)設(shè)2：如圖7，第1步：在射線OB上任取一點(diǎn)M，過點(diǎn)M作射線OB的垂線.在這條垂線上，且在角的內(nèi)部任取一點(diǎn)H，過點(diǎn)H作射線OB的平行線l1；

第2步：在射線OA上任取一點(diǎn)N，過點(diǎn)N作射線OA的垂線.在這條垂線上截取NG=HM，且點(diǎn)G在角的內(nèi)部，過點(diǎn)G作射線OA的平行線l2，交直線l1于點(diǎn)P；

第3步：點(diǎn)P即為所求.

圖7

圖8

預(yù)設(shè)3：如圖8，第1步：以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交射線OA，OB于點(diǎn)M，N；

第2步：分別過點(diǎn)M和點(diǎn)N，作射線OA，OB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)P.

第3步：點(diǎn)P即為所求.

活動(dòng)2：拓展作業(yè).能否用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線？

【設(shè)計(jì)意圖】多種畫圖方法，體現(xiàn)了學(xué)生思維的多樣性和靈活性，提高了學(xué)生解決問題的能力，也進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)角平分線性質(zhì)的理解.在此基礎(chǔ)上，將“能否用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線”布置為課后探究作業(yè)，使學(xué)生的思維層層深入，學(xué)習(xí)的過程形成體系.

5.課后反思，提升認(rèn)識(shí)

通過對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲和體會(huì)？

【設(shè)計(jì)意圖】通過小結(jié)環(huán)節(jié)，不僅使學(xué)生能夠在知識(shí)上有所收獲，更重要的，是能夠從探究過程和思想方法的角度來提升對(duì)本節(jié)課的認(rèn)識(shí).

六、教學(xué)特點(diǎn)及教學(xué)反思

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是角平分線的性質(zhì)定理的探究及證明，角平分線可以看作是到角兩邊距離相等的點(diǎn)組成的集合，這個(gè)集合可以看作是動(dòng)點(diǎn)的軌跡，這是角平分線的軌跡定義.我們知道，點(diǎn)的軌跡具有以下兩個(gè)基本屬性：（1）圖形上的每個(gè)點(diǎn)都符合某條件；（2）符合某條件的所有點(diǎn)都在圖形上.本節(jié)課所講的兩個(gè)定理正是從軌跡的角度刻畫角的平分線，是學(xué)生第一次接觸到軌跡的兩個(gè)屬性，后續(xù)的線段的垂直平分線和圓的定義也是典型的例子.如何在沒有界定運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)集、軌跡這些名詞的情況下，讓學(xué)生體會(huì)到軌跡思想，是這節(jié)課最大的挑戰(zhàn).

筆者在授課前，對(duì)初中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了充分的調(diào)研和學(xué)情分析，發(fā)現(xiàn)原有的探究活動(dòng)過于生硬，學(xué)生只是在完成規(guī)定的操作，而缺少對(duì)發(fā)現(xiàn)問題的思考.同時(shí)，學(xué)習(xí)過此部分知識(shí)的學(xué)生對(duì)定理證明的掌握情況也不是太好.因此，筆者設(shè)計(jì)了充分的教學(xué)活動(dòng)，力爭(zhēng)有所突破.

筆者首先選擇了賽龍舟這一中國傳統(tǒng)活動(dòng)進(jìn)行引入，既弘揚(yáng)了中華傳統(tǒng)文化，又激發(fā)了學(xué)生的興趣，更重要的是從中抽象出的平行線相關(guān)的數(shù)學(xué)模型是易于學(xué)生理解的.學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)到兩平行線距離相等的所有點(diǎn)組成在兩條平行線“中間”且與兩直線平行的直線，接著提出互為逆猜想的兩個(gè)猜想，再畫圖說明.這樣就使學(xué)生獲得了一些繼續(xù)探究的經(jīng)驗(yàn).

進(jìn)而將平行線改為相交線，通過類比“中間的線”的研究思路，學(xué)生很容易想到去探究點(diǎn)到角的兩邊的距離，并對(duì)角平分線的性質(zhì)提出猜想.這種設(shè)計(jì)思路非常新穎，學(xué)生的思維活動(dòng)順暢自然，成為發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的主導(dǎo)者，也就使得角平分線的性質(zhì)的探究活動(dòng)不再生硬.

接下來筆者引導(dǎo)學(xué)生多角度探究畫圖方法，充分展示了學(xué)生思維的多樣性，在發(fā)展學(xué)生畫圖技能的同時(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生的分析推理能力，兩條定理的證明也就水到渠成了.在經(jīng)歷了閱讀、翻譯、畫圖，寫出已知、求證、證明這一完整的過程后，學(xué)生對(duì)定理證明的一般過程也有了更清晰的理解.

參考文獻(xiàn)：

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