（湖北省黃石市第十六中學(xué)；湖北省武漢市武漢第三寄宿中學(xué)）

一、考點分析

“綜合與實踐”類試題是結(jié)合實際情境，設(shè)計出解決具體問題的方案，并加以實施.在此過程中，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題，通過對有關(guān)問題的探討，溝通所學(xué)知識（包括其他學(xué)科知識）之間的關(guān)聯(lián)，建立模型、解決問題，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和能力.“綜合與實踐”類試題突出的特點體現(xiàn)在如下三個方面：一是與學(xué)生的生活現(xiàn)實或數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)實緊密聯(lián)系；二是有一定的綜合性和挑戰(zhàn)性；三是有更多的知識內(nèi)涵或更為豐富的方法性、思考策略的價值.文章從這些基本認(rèn)識出發(fā)，就2017年全國各地中考試卷中的考點進(jìn)行分析.

1.考查學(xué)生獲取新知的學(xué)習(xí)能力

（1）掌握新定義.

例1（山東·濰坊卷）定義[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如[1.8]=1，[-1.4]=-2，[-3]=-3.函數(shù)y=[x]的圖象如圖1所示，則方程的解為（ ）.

圖1

解析：根據(jù)新定義和函數(shù)圖象進(jìn)行如下討論.

當(dāng)1≤x＜2時，解得

當(dāng)0≤x＜1時，解得x1=x2=0；

當(dāng)-1≤x＜0時，方程無解；

當(dāng)-2≤x＜-1時，方程無解.

所以此題選擇選項A.

圖2

此題是對一種新函數(shù)的綜合考查，要求學(xué)生依據(jù)在以往學(xué)習(xí)函數(shù)知識的過程中所積累的研究和經(jīng)驗，理解函數(shù)的圖象，并結(jié)合函數(shù)圖象來求方程的解.此題通過舉例，加深學(xué)生對新定義函數(shù)的理解，降低審題難度，但題干利用函數(shù)圖象限定了x的取值范圍，從而限定了方程解的數(shù)量，如此設(shè)計顯示命題者重在對學(xué)生觀察、理解、分析函數(shù)圖象能力的考查.

（2）形成新概念.

例2（上海卷）我們規(guī)定：一個正n邊形（n為整數(shù)，n≥4）的最短對角線與最長對角線長度的比值叫做這個正n邊形的“特征值”，記為λn，那么λ6=____．

解析：如圖3，作正六邊形ABCDEF，選取一點E，作出最長對角線BE和最短對角線CE.通過正六邊形的有關(guān)性質(zhì)，可以得到∠EBC=60°和∠ECB=90°.進(jìn)而在Rt△BCE中利用銳角三角函數(shù)的知識，得到對角線CE與BE的比值為

圖3

此題解題的關(guān)鍵是了解正六邊形的有關(guān)性質(zhì).同時，能夠?qū)⒆铋L對角線與最短對角線集中于同一個三角形中，再利用解三角形的有關(guān)方法來處理線段比值的問題.此題主要考查正多邊形相關(guān)性質(zhì)及利用銳角三角函數(shù)求比值.

2.考查學(xué)生閱讀理解能力

例3（廣西·百色卷）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式2x2-x-3的方法.

（1）二次項系數(shù)2=1×2.

（2）常數(shù)項-3=(-1)×3=1×(-3)，驗算：“交叉相乘之和”如圖4所示.

圖4

（3）發(fā)現(xiàn)圖4（3）中“交叉相乘之和”的結(jié)果1×(-3)+2×1=-1，等于一次項系數(shù)-1，即(x+1)(2x-3)=2x2-3x+2x-3=2x2-x-3，則2x2-x-3=(x+1)(2x-3).

像這樣，通過十字交叉線幫助，把二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式3x2+5x-12=_____．

解析：通過對用“十字相乘法”分解因式2x2-x-3的方法的閱讀和理解，得出在二次項系數(shù)不為1的條件下，用十字相乘法分解因式的基本步驟上，首相乘為首，尾相乘為尾，交叉相乘和為中.從而得出3x2+5x-12=(3x-4)(x+3).

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級中介紹了公式法，也介紹了式子x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)的因式分解方法.此題是在學(xué)習(xí)上述知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)利用十字相乘法對二次項系數(shù)不為1的式子進(jìn)行因式分解.學(xué)生通過觀察、分析、歸納等一系列活動，實現(xiàn)在現(xiàn)有能力體系上生長出新能力，對學(xué)生即時學(xué)習(xí)的能力要求較高，同時還要具備較強的數(shù)感.

例4（湖南·株洲卷）如圖5，若△ABC內(nèi)一點P滿足∠PAC=∠PBA=∠PCB，則點P為△ABC的布洛卡點.三角形的布洛卡點（Brocard point）是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾（A.L.Crelle，1780—1855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時的人們所注意.1875年，布洛卡點被一個數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡（Brocard，1845—1922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名.問題：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若點Q為△DEF的布洛卡點，DQ=1，則EQ+FQ的值為（ ）.

圖5

解析：如圖6，根據(jù)題意，在等腰直角三角形DEF中，因為∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，

所以∠1+∠QEF=2+∠DFQ=45°.

圖6

所以∠QEF=∠DFQ.

因為∠2=∠3，

所以△DQF∽△FQE.

又因為DQ=1，

所以此題選擇選項D.

三角形的布洛卡點對于一般的學(xué)生來說是陌生的，通過閱讀，我們認(rèn)識了三角形的布洛卡點，其本質(zhì)特征就是與三角形三邊所形成的角相等.具體到學(xué)過的知識，主要就是考查三角形相似而得到對應(yīng)邊成比例的知識.

3.考查學(xué)生開放與探究能力

例5（黑龍江·齊齊哈爾卷）如圖7，在等腰三角形紙片ABC中，AB=AC=10，BC=12，沿底邊BC上的高AD剪成兩個三角形，用這兩個三角形拼成平行四邊形，則這個平行四邊形較長的對角線的長是______．

圖7

解析：因為AB=AC=10，BC=12，

所以BD=DC=6.

所以AD=8.

如圖8（1），可得四邊形ACBD是矩形，則其對角線長為10.

如圖8（2），連接BC，過點C作CE⊥BD于點E，

則EC=AD=8.

由題意，得BE=2BD=12.則

如圖8（3），由題意，得AE=BD=6，EC=2BE=16.所以

圖8

等腰三角形的裁剪與拼接一直以來就是中考中對學(xué)生探究能力考查的比較好的內(nèi)容，是提升學(xué)生合情推理能力的重要載體，與正方形、矩形的性質(zhì)和勾股定理相結(jié)合，具有較好的考查效果.而此題一個重要的考點就是分類討論的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)題目所給條件，充分考慮各種不同情況求出結(jié)果.通過不同的拼接，體會軸對稱、旋轉(zhuǎn)所體現(xiàn)的幾何變換.

4.考查學(xué)生綜合運用知識的能力

（1）函數(shù)類綜合題.

例6（湖南·張家界卷）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=mx+m（m≠0）與的圖象可能是（ ）.

解析：由反比例函數(shù)圖象得當(dāng)m＜0時，一次函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限，所以選項A，C錯誤；由反比例函數(shù)圖象得當(dāng)m＞0時，一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限，所以選項B錯誤，選項D正確．

此題是一類常見的反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象相結(jié)合，考查函數(shù)性質(zhì)的題目，而確定解析式中系數(shù)的幾何意義是函數(shù)圖象類問題的常見考查形式.此題需要先確定反比例函數(shù)圖象的系數(shù)，再推導(dǎo)出一次函數(shù)的圖象，從而考查學(xué)生對函數(shù)圖象的有關(guān)性質(zhì)的掌握情況.

（2）代數(shù)類綜合題.

例7（湖南·張家界卷）先化簡再從不等式2x-1＜6的正整數(shù)解中選一個適當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值．

解析：依據(jù)分式的混合運算法則對原式進(jìn)行化簡，化簡結(jié)果為再求出不等式2x-1＜6的正整數(shù)解，最后將正整數(shù)解帶入化簡結(jié)果得到答案.但不等式2x-1＜6的正整數(shù)解有1，2，3，其中1和2均使原式無意義，故只能取3，最后帶入求值得到結(jié)果為4.

此題旨在全面考查分式的各項運算法則和運算技巧，對學(xué)生的運算能力要求較高.同時，還綜合了求不等式的正整數(shù)解和分式有意義的條件兩個知識點，學(xué)生在得出不等式2x-1＜6的正整數(shù)解為1，2，3后，很容易發(fā)現(xiàn)2不能帶入原式，但容易將1帶入計算，從而出錯.可見，命題者對于學(xué)生答題思維的嚴(yán)密性要求很高.

（3）幾何類綜合題.

例8（新疆·烏魯木齊卷）如圖9，在矩形ABCD中，點F在AD上，點E在BC上，把這個矩形沿EF折疊后，使點D恰好落在BC邊上的點G處，若矩形面積為4，且 ∠AFG=60° ，GE=2BG，則折痕EF的長為（ ）.

圖9

解析：由折疊的性質(zhì)知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE.從而得到△EFG為等邊三角形，△EGH為直角三角形，且∠EGH=30°.故EG=2BG=2EC.從而得BC=2GE.所以再根據(jù)解三角形的方法求得EF=2.故此題選擇選項C.

此題以圖形折疊為背景，從軸對稱的性質(zhì)出發(fā)探求幾何條件，結(jié)合矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和解三角形的知識，利用勾股定理進(jìn)行線段長度的計算，將幾何知識中幾個板塊的內(nèi)容進(jìn)行綜合考查，對學(xué)生有極高的幾何素養(yǎng)的要求.

（4）代數(shù)與幾何綜合題.

例9（遼寧·大連卷）如圖10，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB.

（1）填空：∠BAD與∠ACB的數(shù)量關(guān)系為_______.

（3）將△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如圖11），連接BA′，與CD相交于點P.若求PC的長.

圖10

圖11

解析：（1）由三角形內(nèi)角和，得∠BAD+∠ACB=180°.

（2）如圖12，過點D作DE∥AB，交AC于點E，結(jié)合線段BD的中點O，得到△ABO≌△EDO.

進(jìn)而易證△ADE∽△BCA，得

設(shè)AB=DE=CE=x，OA=OE=y，

圖12

圖13

（3）如圖13，過點D作DF∥AB，交AC于點F，

由（2）可知△FAD∽ △ACB.可得A′D∥BC.進(jìn)而有△PA′D∽△PBC.得所以PC=1.

代數(shù)與幾何綜合題一直都是中考中的壓軸題，注重全面考查學(xué)生知識與方法之間靈活運用的能力.此題利用第（1）小題為后面做鋪墊，旨在降低第（2）小題的難度.同時，結(jié)合線段中點的常見圖形構(gòu)造全等和相似，將線段比值問題轉(zhuǎn)化成相似三角形的相似比問題，最終轉(zhuǎn)化成方程的根的問題，其間還涉及換元思想的運用.第（3）小題在第（2）小題的基礎(chǔ)上再注入軸對稱這個元素，使得題目難度達(dá)到新的高度.

（5）函數(shù)與其他代數(shù)知識的綜合題.

例10（青?！の鲗幘恚┦讞l貫通絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶的高鐵線——寶蘭客專進(jìn)入全線拉通試驗階段.寶蘭客專的通車對加快西北地區(qū)與“一帶一路”沿線國家和地區(qū)的經(jīng)貿(mào)合作、人文交流具有十分重要的意義.試運行期間，一列動車從西安開往西寧，一列普通列車從西寧開往西安，兩車同時出發(fā)，設(shè)普通列車行駛的時間為x時，兩車之間的距離為y千米，圖14中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系.根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究.

圖14

【信息讀取】

（1）西寧到西安兩地相距_____，兩車出發(fā)后____小時相遇.

（2）普通列車到達(dá)終點共需____，普通列車的速度是____.

【解決問題】

（3）求動車的速度.

（4）普通列車行駛t小時后，動車到達(dá)終點西寧，求此時普通列車還需行駛多少千米到達(dá)西安？

解析：第（1）（2）小題由圖象可直接得出.

第（3）小題由點(3，0)可知，兩車行駛3小時相遇，又已得普通列車的速度為千米/時，故可求得動車速度為250千米/時.

（4）由動車速度和兩地距離可知，動車行駛4小時到達(dá)終點，此時普通列車也行駛了4小時，還需8小時才能到達(dá)終點，故可以計算出剩余路程為千米.

此題將行程問題中的相遇問題的行駛過程利用圖象來描述，要求學(xué)生能正確理解圖象中每一段線段及其端點的實際意義，再依據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行計算.在解答此類問題的過程中，學(xué)生遇到的第一個難點是讀題，理解題目的意義.要將函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)問題，也需要從函數(shù)圖象中找到所給的條件，還需要能將具體的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的一些基本性質(zhì)進(jìn)行計算.

二、解法評析

“綜合與實踐”類試題側(cè)重于考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，強調(diào)多種知識、方法、思想的綜合運用，還需要學(xué)生有較強的即時學(xué)習(xí)能力.“綜合與實踐”類試題問題本身從知識角度有較為深刻的意義，或從思想方法角度有較為普遍的作用，或問題解決的思考過程有適度的挑戰(zhàn)性.這些就決定了在解題過程中要能化繁為簡，準(zhǔn)確把握問題本質(zhì)，著重于定義及性質(zhì)，讓數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)回歸本位.在解題時突出基本數(shù)學(xué)思想與方法，學(xué)會理性思考.

1.實踐操作類作圖題的解法

例11（湖北·荊州卷）如圖15，在5×5的正方形網(wǎng)格中有一條線段AB，點A與點B均在格點上．試在這個網(wǎng)格中作線段AB的垂直平分線．

要求：①僅用無刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作圖痕跡．

圖15

圖16

解析：如圖16，以AB為邊作正方形ABCD，正方形ABEF，連接AC，BD交于點O，連接AE，BF交于點O′，連接點O，O′，得到直線OO′，直線OO′即為所求．

在人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊第63頁，介紹了利用尺規(guī)作圖的方式作已知線段的垂直平分線的方法.而此題強調(diào)僅用無刻度直尺，且不能用直尺中的直角，實質(zhì)上就只能通過連線的方式來尋找線段AB的垂直平分線，所以尋找到A，B兩點等距的點成為此題的難點了，能否利用格點圖形構(gòu)造正方形并結(jié)合正方形的幾何性質(zhì)尋找點O，O′就是關(guān)鍵了.

例12（天津卷）如圖17，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上.

（1）AB長等于_____.

（2）在△ABC的內(nèi)部有一點P，滿足S△PAB∶S△PBC∶S△PCA=1∶2∶3，試在如圖17所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出點P，并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明）.

圖17

解析：（1）用勾股定理直接計算，得AB長為

（2）作法：如圖18，AC與網(wǎng)格線相交，得點D，E，取格點F，連接FB并延長，交網(wǎng)格線于點M，N，連接DN，EM，DN與EM的交點P即為所求.

結(jié)合平行線分線段成比例定理，將線段AC分成AE∶ED∶CD=1∶3∶2，過點B作平行線，構(gòu)造?ABME，?CDNB和?ABFC，由此可得S?ABME∶S?CDNB∶S?ABFC=1∶2∶6.再利用同底等高的知識，得到S△PAB∶S△PBC∶S△ABC=1∶2∶6.最終得到答案.

圖18

此題旨在利用平行線分線段成比例定理和等積變換的方法，將三角形面積比的問題轉(zhuǎn)化成共高的平行四邊形之間的底邊長度之比的問題，進(jìn)而通過相交線找到所求點.此題對學(xué)生而言無疑是一次大挑戰(zhàn)，通過巧妙作圖解決問題是對學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識能力的檢驗.

例13（浙江·湖州卷）七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造.下列四幅圖中有三幅是小明用如圖19所示的七巧板拼成的，則不是小明拼成的那幅圖是（ ）.

圖19

解析：由七巧板的剪裁原則，可以知道各部分幾何圖形之間的面積關(guān)系.設(shè)S3=S6=a，則S1=S2=4a，S4=S5=S7=2a.由此可以發(fā)現(xiàn)選項C中最大的兩個三角形面積不相等，與圖19不符，故此題選擇選項C.

此題結(jié)合七巧板的背景知識，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、計算，發(fā)現(xiàn)七巧板各部分之間的邊長、面積之間的關(guān)系，以此為依據(jù)，進(jìn)而判斷構(gòu)圖的合理性.在解決此問題時，學(xué)生可能從擺放方式中進(jìn)行分析，很容易發(fā)現(xiàn)選項A和選項B應(yīng)該同時是正確的，故答案會從選項C和選項D中產(chǎn)生.但是由于忽視了針對圖形進(jìn)行定量分析，所以產(chǎn)生容易錯答現(xiàn)象.

2.建立數(shù)學(xué)模型

例14（山東·威海卷）圖20（1）是太陽能熱水器裝置的示意圖，利用玻璃吸熱管可以把太陽能轉(zhuǎn)化為熱能.玻璃吸熱管與太陽光線垂直時，吸收太陽能的效果最好.假設(shè)某用戶要求根據(jù)本地區(qū)冬至正午時刻太陽光線與地面水平線的夾角（θ）確定玻璃吸熱管的傾斜角（太陽光線與玻璃吸熱管垂直），試完成以下計算.

如圖20（2），AB⊥BC，垂足為點B，EA⊥AB，垂足為點A，CD∥AB，CD=10 cm，DE=120 cm，F(xiàn)G⊥DE，垂足為點G.

（1）若∠θ=37°50′，則AB的長約為____；

參考數(shù)據(jù)：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78.

（2）若FG=30 cm，∠θ=60°，求CF的長.

圖20

解析：（1） 如圖21，作EP⊥BC，DQ⊥EP，得CD=PQ=10，∠2+∠3=90°，∠1+∠θ=90°，且∠1=∠2.從而得∠3=∠θ=37°50′.根據(jù)EQ=DE·sin∠3，AB=EP=EQ+PQ，則可以得出AB的長約為83.2.

圖21

圖22

（2） 如圖22，延長ED，BC交于點K，結(jié)合（1）知∠θ=∠3=∠K=60°.從而由得到CF的長為

此題是實際生活情境的應(yīng)用題，通過構(gòu)造直角三角形考查銳角三角函數(shù)的知識.解決這類問題的核心是能從實際問題背景中構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.而此題在解決問題中的關(guān)鍵是構(gòu)建直角，得到相應(yīng)的直角三角形.

例15（山東·東營卷）我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖23，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點B處，則問題中葛藤的最短長度是.

圖23

圖24

解析：這種求立體圖形中的最短路徑問題，可以展開成為平面內(nèi)的問題解決，展開后可轉(zhuǎn)化為如圖24所示的圖形.此題是求直角三角形斜邊的問題，每繞一圈在水平方向就多了一個圓柱的周長，而高是不變的，所以繞五圈以后，水平的長度就是15，而高為20，根據(jù)勾股定理，可求出葛藤長為

此題主要考查圓柱的平面展開圖，及勾股定理的應(yīng)用.如何準(zhǔn)確計算立體圖形中的距離是初中學(xué)習(xí)的一個難點，具有一定的抽象特征.所以記清幾種特殊立體圖形的展開圖形式是非常有必要的.此類題目一般都與勾股定理相關(guān)聯(lián)，構(gòu)建直角三角形，弄清楚三邊的實際意義是解題的關(guān)鍵.

3.從“類比”中去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造

例16（江蘇·連云港卷）問題呈現(xiàn)：

如圖25（1），點E，F(xiàn)，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，AE=DG.求證2S四邊形EFGH=S矩形ABCD（S表示面積）．

實驗探究：

某數(shù)學(xué)實驗小組發(fā)現(xiàn)：若圖25（1）中AH≠BF，點G在CD上移動時，上述結(jié)論會發(fā)生變化.分別過點E，G作BC邊的平行線，再分別過點F，H作AB邊的平行線，四條平行線分別相交于點A1，B1，C1，D1，得到矩形A1B1C1D1．

如圖25（2），當(dāng)AH＞BF時，若將點G向點C靠近（DG＞AE），經(jīng)過探索，發(fā)現(xiàn)

如圖25（3），當(dāng)AH＞BF時，若將點G向點D靠近（DG＜AE），試探索S四邊形EFGH，S矩形ABCD與S矩形A1B1C1D1之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖25

遷移應(yīng)用：

試直接應(yīng)用“實驗探究”中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解答下列問題.

（1）如圖26（1），點E，F(xiàn)，G，H分別是面積為25的正方形ABCD各邊上的點，已知AH＞BF，AE＞DG，S四邊形EFGH=11，求EG的長．

（2）如圖26（2），在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，點E，H分別在邊AB，AD上，BE=1，DH=2，點F，G分別是邊BC，CD上的動點，且連接EF，

HG，試直接寫出四邊形EFGH面積的最大值．

圖26

證明：問題呈現(xiàn)：如圖25（1），因為四邊形ABCD是矩形，

所以AB∥CD，∠A=90°.

因為AE=DG，所以四邊形AEGD是矩形.

實驗探究：結(jié)論為2S四邊形EFGH=S矩形ABCD-S矩形A1B1C1D1.

理由略.

遷移應(yīng)用：（1）如圖27，由“實驗探究”的結(jié)論可知，2S四邊形EFGH=S矩形ABCD-S矩形A1B1C1D1，

因為正方形ABCD的面積為25，

所以邊長為5.

圖27

因為A1D12=HF2-52=29-25=4，

（2）因為2S四邊形EFGH=S矩形ABCD+S矩形A1B1C1D1，

所以當(dāng)四邊形A1B1C1D1面積最大時，矩形EFGH的面積最大．

①如圖28，當(dāng)點G與點C重合時，四邊形A1B1C1D1的面積最大時，矩形EFGH的面積最大．

圖28

②如圖29，當(dāng)點G與點D重合時，四邊形A1B1C1D1的面積最大時，矩形EFGH的面積最大．

圖29

這是一道具有“類比”特征的試題，這類試題的構(gòu)制本身就體現(xiàn)著一種創(chuàng)造意識和能力.此題先從矩形中一條與一邊平行的直線開始，類比到如果直線不平行，這時運用前面的思路，比較容易考慮到作平行線，這也是實踐探索的起點.在解決新問題時準(zhǔn)確把握并運用其間的類比關(guān)系，構(gòu)建平行線而得到新的矩形.問題結(jié)構(gòu)之間的類比演變，導(dǎo)致了隨之而來的解題方法上的演變.遷移應(yīng)用是在類比而形成的知識的基礎(chǔ)上的運用，只要弄清楚了問題的結(jié)構(gòu)，以及解決問題的基本方法，遷移也就水到渠成了.

4.從“歸納和猜想”中去認(rèn)識新知識

例17（福建卷）小明在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：

所以矩形EFGH面積的最大值為

據(jù)此，小明猜想：對于任意銳角α，均有sin2α+sin2(90°-α)=1．

（1）當(dāng)α=30°時，驗證sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立.

（2）小明的猜想是否成立？若成立，試給予證明；若不成立，試舉出一個反例．

解析：（1）成立.當(dāng)α=30°時，將30°與60°的正弦值代入計算即可得證.

（2）成立.如圖30，在△ABC中，∠C=90°，設(shè)∠A=α，則∠B=90°-α，正確地表示這兩個角的正弦，并利用勾股定理即可得證.

圖30

此題從觀察所列舉的一組算式開始，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理猜想，然后嘗試驗證，最終使學(xué)生認(rèn)識到一個基本事實，形成一個新知識，即互余兩銳角正弦的平方和為1.從試題上看有起點低、坡度緩、立意高的特點，注重考查學(xué)生觀察、比較、歸納等能力，同時還涉及運用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.

5.學(xué)會“從特殊到一般”

例18（江西卷）我們定義：如圖31（1），在△ABC中，把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC′，連接B′C′.當(dāng)α+β=180°時，我們稱△AB′C′是△ABC的旋補三角形，△AB′C′邊B′C′上的中線AD叫做△ABC的旋補中線，點A叫做旋補中心．

特例感知：

（1）在圖31（2）、圖31（3）中，△AB′C′是△ABC的旋補三角形，AD是△ABC的旋補中線．

①如圖31（2），當(dāng)△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=___BC；

② 如圖31（3），當(dāng)∠BAC=90°，BC=8時，則AD長為____．

猜想論證：

（2）在圖31（1）中，當(dāng)△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

拓展應(yīng)用：

（3） 如圖31（4），在四邊形ABCD中，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四邊形內(nèi)部是否存在點P，使△PDC是△PAB的旋補三角形？若存在，給予證明，并求△PAB的旋補中線長；若不存在，說明理由．

圖31

解析：（1）①首先證明△ADB′是含有30°角的直角三角形，得即可解決問題.

②首先證明△BAC≌△B′AC′.根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題，得AD的長為4.

圖32

圖33

（3）存在.如圖33，延長AD交BC的延長線于點M，作BE⊥AD于點E，作線段BC的垂直平分線交BE于點P，交BC于點F，連接PA，PD，PC，作△PCD的中線PN，連接DF交PC于點O．想辦法證明PA=PD，PB=PC，再證明∠APD+∠BPC=180°即可解決問題.

此類試題的主體特征是從已有的特殊到一般，解答這類問題通常的方法是，首先尋找出一個恰當(dāng)?shù)奶厥?，使之能從中比較簡明地確定出需要探索的結(jié)論；然后，以此結(jié)論為目標(biāo)，就原題的一般情況再給出證明；最后是這個一般情況的具體應(yīng)用.這個解題過程可以歸納為特殊引路得結(jié)論，回歸一般得證明，運用結(jié)論解新題.

三、亮點賞析

在2017年全國各地中考試題中對于“綜合與實踐”類問題都很重視，試題的設(shè)計符合《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，同時又兼顧地域特色，倡導(dǎo)學(xué)生依據(jù)已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗獨立解決問題.而“綜合與實踐”類問題重要特點就是探究方式多樣性，解法豐富多彩，各具特色，由此彰顯數(shù)學(xué)的和諧與統(tǒng)一.

1.運用圖形變換巧解幾何綜合題

例19（湖北·宜昌卷）正方形ABCD的邊長為1，點O是BC邊上的一個動點（與點B，C不重合)，以點O為頂點在BC所在直線的上方作∠MON=90°.

（1）當(dāng)OM經(jīng)過點A時.

①試直接填空：ON_____（可能，不可能）過點D（圖34（1）僅供分析）.

②如圖34（2），在ON上截取OE=OA，過點E作EF垂直于直線BC，垂足為點F，EH⊥CD于點H.求證：四邊形EFCH為正方形.

（2）當(dāng)OM不過點A時，設(shè)OM交邊AB于點G，且OG=1.在ON上存在點P，過點P作PK垂直于直線BC，垂足為點K，使得S△PKO=4S△OBG，連接GP，求四邊形PKBG的最大面積.

圖34

解析：（1）①不可能.若ON過點D時，則在△OAD中不滿足勾股定理，可知不可能過點D；

②由條件可先判定四邊形EFCH為矩形，再證明△OFE≌△ABO，可證得結(jié)論.

（2）由條件可證明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性質(zhì)可求得OP=2.求得△POG的面積為定值，以及△PKO與△OBG的關(guān)系.只要△OGB的面積有最大值時，則四邊形PKBG的面積最大.設(shè)OB=a，BG=b，由勾股定理，可用b表示出a，則可用a表示出△OBG的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，則可求得四邊形PKBG面積的最大值.

此題是探究圖形的變換過程中的一種“變中的不變性”的一類題型.在整個變化過程中，始終不變的是“以點O為頂點在BC所在直線的上方作∠MON=90°”這一個條件，在此基礎(chǔ)上，全等或相似就有一組對應(yīng)角的支撐，這也是此類題型的靈魂所在.此題的亮點在于相似與用函數(shù)法求最值的結(jié)合，從中發(fā)現(xiàn)動態(tài)過程中的特定關(guān)系的對應(yīng)特定性質(zhì)是解題的關(guān)系.

2.注重高中知識的滲透

例20（山東·日照卷）閱讀材料：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P(x0，y0)到直線Ax+By+C=0的距離公式為

例如：求點P0()0，0到直線4x+3y-3=0的距離.

解：由直線4x+3y-3=0知，A=4，B=3，C=-3，

所以點P0(0，0)到直線4x+3y-3=0的距離為d=

根據(jù)以上材料，解決下列問題.

問題1：點P1()3，4到直線的距離為_____.

問題2：已知⊙C是以點C(2，1)為圓心，1為半徑的圓，⊙C與直線相切，求實數(shù)b的值.

問題3：如圖35，設(shè)點P為問題2中⊙C上的任意一點，點A，B為直線3x+4y+5=0上的兩點，且AB=2，試求出S△ABP的最大值和最小值．

圖35

解析：（1）根據(jù)點到直線的距離公式，可得距離

（3）求出圓心C()2，1到直線3x+4y+5=0的距離求出⊙C上點P到直線3x+4y+5=0的距離的最大值為4，最小值為2.所以S△ABP的最大值為，S△ABP的最小值為

此題以高中階段的點到直線距離公式為背景，要求學(xué)生經(jīng)歷閱讀理解、模仿嘗試、靈活運用等活動，最終將知識在問題3上得到升華.試題層層鋪墊、梯度適中，并在最后將知識引向解決一個數(shù)學(xué)面積問題的方向，體現(xiàn)了所學(xué)知識的應(yīng)用價值.從考查內(nèi)容上看，此題涉及了方程、直線與圓的位置關(guān)系、定圓上的點到定直線的距離等知識，體現(xiàn)了對以上知識的靈活運用能力的考查.

3.感受國家發(fā)展，貼近實際生活

例21（北京卷）如圖36所示的統(tǒng)計圖反映了我國與“一帶一路”沿線部分地區(qū)的貿(mào)易情況.

圖36

以上數(shù)據(jù)摘自《“一帶一路”貿(mào)易合作大數(shù)據(jù)報告（2017）》.

根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，下列推理不合理的是（ ）.

（A）與2015年相比，2016年我國與東歐地區(qū)的貿(mào)易額有所增長

（B）2011—2016年，我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額逐年增長

（C）2011—2016年，我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額的平均值超過4 200億美元

（D）2016年我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額比我國與東歐地區(qū)的貿(mào)易額的3倍還多

答案：B.

此題以《“一帶一路”貿(mào)易合作大數(shù)據(jù)報告（2017）》為外在情境，以我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額及我國與東歐地區(qū)的貿(mào)易額為觀察對象，以折線統(tǒng)計圖的問題情境為條件，在考查學(xué)生的統(tǒng)計知識的同時，感知祖國的進(jìn)步.此題在解法上重在讀懂統(tǒng)計圖，注意折線各個節(jié)點表達(dá)的實際意義.

例22（浙江·金華卷）如圖37，為了監(jiān)控一不規(guī)則多邊形藝術(shù)走廊內(nèi)的活動情況，現(xiàn)已在A，B兩處各安裝了一個監(jiān)控探頭（走廊內(nèi)所用探頭的觀測區(qū)為圓心角最大可取到180°的扇形），圖中的陰影部分是A處監(jiān)控探頭觀測到的區(qū)域，要使整個藝術(shù)走廊都能被監(jiān)控到，還需要安裝一個監(jiān)控探頭，則安裝的位置是（ ）.

圖37

（A）E處 （B）F處 （C）G處 （D）H處

解析：結(jié)合條件：走廊內(nèi)所用探頭的觀測區(qū)為圓心角最大可取到180°的扇形，依據(jù)圖形的顯示能夠看到A處監(jiān)控探頭監(jiān)測的范圍，進(jìn)而根據(jù)作圖原則作出B處監(jiān)控探頭監(jiān)測的范圍，最后通過未覆蓋的范圍逆向得出在點H處安裝監(jiān)控探頭.所以此題選擇選項D.

此題以實際生活中的問題為背景，結(jié)合直線公理，利用作圖得出答案.試題起點低，但應(yīng)用性極強，創(chuàng)意新穎.

4.跨學(xué)科的綜合題

例23（內(nèi)蒙古·通遼卷）如圖38，物理老師為同學(xué)們演示單擺運動，單擺左右擺動中，在OA的位置時俯角∠EOA=30°，在OB的位置時俯角∠FOB=60°.若OC⊥EF，點A比點B高7 cm.

圖38

（2）求從點A擺動到點B經(jīng)過的路徑長（π≈3.1）.

答案:（1）單擺的長度約為18.9 cm；

（2）從點A擺動到點B經(jīng)過的路徑長為29.295 cm.

此題結(jié)合物理學(xué)科中的單擺運動試驗（實質(zhì)為線段繞其中一個端點的旋轉(zhuǎn)），考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角、俯角問題和弧長計算問題.在解決問題的過程中要構(gòu)造直角三角形，并解直角三角形.此題不是單純枯燥的數(shù)學(xué)問題，而是將其他學(xué)科的問題整合到數(shù)學(xué)學(xué)科中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性、工具性和應(yīng)用性.

“綜合與實踐”類問題實現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科對于知識之間的遷移運用，還關(guān)注了對于學(xué)生相應(yīng)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科作為基礎(chǔ)學(xué)科的工具性、基礎(chǔ)性和應(yīng)用性，所以“綜合與實踐”類試題作為各地中考中的熱點問題的地位必將延續(xù).展望2018年中考，此類問題將不可避免地持續(xù)出現(xiàn).因此，在日常教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注此類問題，結(jié)合課內(nèi)、外的各項數(shù)學(xué)活動，幫助學(xué)生積累解決此類問題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，形成必要地解決問題的能力，最終實現(xiàn)提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

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