（廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院）

一、感受

大家都說，數(shù)學(xué)是一個(gè)“解題大國(guó)”，我們的解題研究，堪稱數(shù)學(xué)解題研究的世界之最.而我們通常所說的“解題方法”，也會(huì)被分成不同的層次.

（1）具有創(chuàng)立學(xué)科功能的方法.例如，公理化方法、集合論方法、坐標(biāo)方法、向量方法等.在具體解題中，具有統(tǒng)帥全局的作用.

（2）體現(xiàn)一般思維規(guī)律的方法.例如，觀察、試驗(yàn)、比較、分類、猜想、類比、聯(lián)想、歸納、演繹、分析、綜合等.在具體解題中，有通理通法、適應(yīng)面廣的特征，常用于解題思路的探求.

（3）具體進(jìn)行論證演算的方法.這又可以依其適應(yīng)面分為兩個(gè)層次，第一層次是適應(yīng)面較廣的求解方法.例如，消元法、換元法、降次法、待定系數(shù)法、反證法、同一法、數(shù)學(xué)歸納法（及遞推法）、坐標(biāo)法、三角法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法、配方法等；第二層次是適應(yīng)面較窄的求解技巧.例如，因式分解法，以及因式分解中的裂項(xiàng)法，函數(shù)作圖中的描點(diǎn)法，三角函數(shù)作圖中的五點(diǎn)法，幾何證明中的截長(zhǎng)補(bǔ)短法、補(bǔ)形法，數(shù)列求和中的拆項(xiàng)相消法等，不一而足.

可見，加減消元法是一種數(shù)學(xué)問題解決過程中具有較廣適應(yīng)面的具體論證演算方法.作為一種解法教學(xué)，它是一種操作技能的教學(xué)，也是一種步驟教學(xué).因此，步驟順序正確性和操作熟練性，是衡量其成效的兩個(gè)指標(biāo).其教學(xué)需要過程與結(jié)果并重.而學(xué)生學(xué)習(xí)本課以后要能根據(jù)方程的具體形式選擇適當(dāng)?shù)慕夥?，正確解二元一次方程組.從教學(xué)目標(biāo)與重點(diǎn)的確定上看，執(zhí)教教師對(duì)此課的定位是非常準(zhǔn)確的.

執(zhí)教教師的教學(xué)內(nèi)容選自人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第八章第二節(jié)，學(xué)生此前學(xué)習(xí)了代入消元法.本課的加減消元法是消元思想下的第二種具體方法.因此，兼顧學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比教學(xué)是必不可少的.當(dāng)然，執(zhí)教教師通過系統(tǒng)地把加減消元法與代入消元法進(jìn)行對(duì)比教學(xué)，通過用不同方法解同一個(gè)方程組對(duì)不同的解法進(jìn)行比較，以及在最后的小結(jié)部分給出了綜合概括的加減消元法和代入法的框圖等，將處于統(tǒng)攝地位的消元思想滲透得更為深刻，從而提升了本課的思想性.

但是，我們還需要注意，為何教材中非要規(guī)定在滿足兩個(gè)二元一次方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等的條件下應(yīng)用加減消元法呢？

二、思考

順著這樣的思路，我們需要對(duì)執(zhí)教教師的這節(jié)課進(jìn)行進(jìn)一步的思考.我們可以從本課加減消元法與上一節(jié)代入消元法學(xué)習(xí)的差異處進(jìn)行思考.

作為一種數(shù)學(xué)操作方法，其學(xué)習(xí)必然少不了這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)：原理解釋、步驟概括—形成操作程序—應(yīng)用與操練所學(xué)方法.代入法消元的本質(zhì)是等量代換，而加減消元的本質(zhì)是等式的性質(zhì)與恒等式運(yùn)算，然后才能代入消元或直接消元.因而，加減消元法需要在滿足“兩個(gè)二元一次方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等”的條件下才能直接套用.因此，事先必須進(jìn)行系數(shù)化同，即把方程轉(zhuǎn)化為有一個(gè)未知數(shù)系數(shù)的絕對(duì)值相等的建構(gòu)性的操作（需要從無(wú)到有的進(jìn)行創(chuàng)造），思維鏈更長(zhǎng)，導(dǎo)致難度增加.此外，式的運(yùn)算本就是初中生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).

加減消元法學(xué)習(xí)相比于代入消元法的學(xué)習(xí)可能存在大一些的思維難關(guān).對(duì)此，我們其實(shí)可以換個(gè)角度來思考：如果不限定非要在滿足“兩個(gè)二元一次方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等”的條件下應(yīng)用加減消元法，那么，我們可以用兩個(gè)方程直接加減一次或多次的方法解方程組嗎？也就是說，用加減消元法解方程組，一定要先進(jìn)行系數(shù)化同嗎？這樣限定加減消元法的應(yīng)用條件，目的是什么？

由此，我們可以看到，本課的教學(xué)中潛藏著某些“道法”，是我們需要去品味的.

三、品味

其實(shí)，執(zhí)教教師的這一節(jié)課，體現(xiàn)了其在本課處理上的如下一些“道法自然”之處，品來有如行云流水.

1.課程主線清晰，各環(huán)節(jié)銜接自然

從兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)系數(shù)相等或相反到?jīng)]有同一個(gè)未知數(shù)系數(shù)相等或相反；從直接加減消元到先系數(shù)同化再加減消元.整節(jié)課主線清晰，各環(huán)節(jié)銜接自然.

2.認(rèn)知進(jìn)程層次豐富有致

注重對(duì)學(xué)生活動(dòng)的設(shè)計(jì)，采取了用問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)的方式，讓學(xué)生帶著問題展開探究活動(dòng).教師適時(shí)點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考、及時(shí)概括.

例如，對(duì)于思考1的變式解法（加減消元法），執(zhí)教教師先分析思路，用豎式把兩個(gè)等式（方程）的運(yùn)算直觀展示出來，然后再板書方程組的求解過程.這個(gè)過程中的設(shè)問，都是針對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行的，非常到位.執(zhí)教教師從這里就開始鋪墊“根據(jù)方程的具體形式選擇不同的解法”的意識(shí)了，在思考2中仍在繼續(xù)鋪墊，使得結(jié)論呼之欲出.這樣的教學(xué)層次鮮明、鋪墊到位.

對(duì)思考1與思考2的解方程組后的概括總結(jié)，針對(duì)加減消元法的前提條件，以及某一個(gè)未知數(shù)系數(shù)化同的過程，有效突破難點(diǎn)，并且逐級(jí)概括方法步驟.這樣的過程，使得教學(xué)輕快、簡(jiǎn)明、高效.

在整節(jié)課的教學(xué)過程中，執(zhí)教教師把學(xué)生置于答疑、概括的思維當(dāng)中，通過做比較、選擇（尋找最簡(jiǎn)便的做法），來發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)加減消元法的進(jìn)一步認(rèn)識(shí).然后執(zhí)教教師帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)運(yùn)用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟進(jìn)行歸納和概括.最終得到運(yùn)用加減消元法解二元一次方程組的完整步驟流程圖（如圖1）.

圖1

小結(jié)部分，執(zhí)教教師把所有的消元法（含代入法和加減法）都匯列到了一個(gè)流程圖中（如圖2），再次強(qiáng)調(diào)新學(xué)知識(shí)與已有知識(shí)（不同的消元法）的聯(lián)系，有助于學(xué)生建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).總結(jié)的過程，是進(jìn)一步的提升.至此，此節(jié)課的教學(xué)又提升到了一個(gè)新的高度.

圖2

數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，由歐幾里得方法提出來的數(shù)學(xué)看起來像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但是創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看起來卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué).執(zhí)教教師的逐步歸納，以及用不同方法解二元一次方程組的綜合歸納，讓學(xué)生充分體驗(yàn)了歸納創(chuàng)立模式的過程，突顯了其教學(xué)的過程性取向.

從這些過程的落實(shí)來看，執(zhí)教教師的教學(xué)能夠做到細(xì)細(xì)鋪墊、逐步強(qiáng)化和精細(xì)化，教學(xué)活動(dòng)層次豐富有致，自然而有水到渠成的效果.可以說，課上到這里，有如行云流水，活動(dòng)進(jìn)程自然而又順暢.

事實(shí)上，加減消元法作為一種方法、工具性的內(nèi)容的教學(xué)，它是解決問題的模式與實(shí)施程序，是學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，學(xué)生能夠建構(gòu)起這個(gè)解法程序模式，是教學(xué)任務(wù)完成的標(biāo)志.顯然，在本節(jié)課中，執(zhí)教教師層層遞進(jìn)、逐步歸納概括的教學(xué)流程，就能夠很好地帶領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建如圖2所示的流程圖中的方法模式，這樣的教學(xué)更富有高度.

而課堂上所使用的流程圖，尤其最后一個(gè)“集大成”的流程圖，直觀、簡(jiǎn)明，成就了本節(jié)課的高潮.在帶領(lǐng)學(xué)生逐步建構(gòu)這個(gè)一元二次方程組解法程序模型的過程中，流程圖突出了各步驟的正確順序，利于學(xué)生熟悉和掌握，對(duì)于確保學(xué)生解方程組步驟、順序正確，操作熟練，高效達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，有著很好的促進(jìn)作用.而在對(duì)流程圖逐步完善和拓展的過程中，則融合了對(duì)本課方程組解法的創(chuàng)立過程與解法流程的表達(dá)，充分落實(shí)了本課的過程教學(xué)和結(jié)果教學(xué)目標(biāo).

3.課件與認(rèn)知進(jìn)程密切配合

思考1利用課件逐步演示，直觀對(duì)照講解步驟，明了簡(jiǎn)約.在思考1的變式解法（加減消元法）部分，執(zhí)教教師先帶領(lǐng)學(xué)生分析解題思路，用豎式把兩個(gè)等式（方程）的運(yùn)算直觀展示出來，然后再板書方程組的解答過程.在思考2中，執(zhí)教教師則結(jié)合課件、板書同思考1一樣進(jìn)行處理.

從這些過程看來，執(zhí)教教師所用的課件，都能與學(xué)生實(shí)時(shí)的認(rèn)知進(jìn)程密切配合，這樣的課件是有靈魂的課件.

四、醒悟

事實(shí)上，執(zhí)教教師的這節(jié)課通過逐步概括出用加減消元法解方程組，以及消元思想在解方程組中的體現(xiàn)（如圖2），給我們揭示了這樣的結(jié)論：當(dāng)我們限定了系數(shù)化同這個(gè)條件（它已經(jīng)被封裝進(jìn)了流程圖中成為一個(gè)節(jié)點(diǎn)）后，其實(shí)就是把對(duì)兩個(gè)方程進(jìn)行預(yù)處理的過程“封裝”成了一個(gè)應(yīng)用加減消元法的條件（環(huán)節(jié)），從而使得用加減消元法解方程組的過程模式（預(yù)處理方程—兩個(gè)方程整體相加減一次—代入消元……）得到更為簡(jiǎn)約的刻畫和描述，也便于突出運(yùn)用加減消元解二元一次方程組的思維主線.概括講，就是為了簡(jiǎn)化解法程序模型的建構(gòu)，提高學(xué)習(xí)效率.至此我們也就明白了為何要限定系數(shù)化同這個(gè)條件了.而執(zhí)教教師這樣的教學(xué)組織，也確實(shí)體現(xiàn)了在課堂教學(xué)中如何兼顧知識(shí)結(jié)果（加減消元法的程序步驟的掌握）的教學(xué)與過程（概括形成加減消元法程序步驟的過程）的教學(xué)，以及如何突出消元法思想主線且同時(shí)保證學(xué)習(xí)效率，實(shí)乃一節(jié)有深意的課.

參考文獻(xiàn)：

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