肖瞰臣

摘 要：將立體幾何轉化為平面幾何的解題方法是當前較為常見的解題思路，然而在平常的解題過程中常常發(fā)生圖形轉換錯誤的現(xiàn)象。本文針對立體幾何轉化為平面幾何問題展開研究，以期在日后的學習過程中深刻掌握轉化技巧，提升解題速度，增強數(shù)學思維能力。

關鍵詞：立體幾何；平面幾何；轉化

前言

學習高中立體幾何，要求學生有足夠的空間想象能力，而把已知條件中的空間幾何體轉化為平面幾何圖可以大大降低題目難度，因此，充分研究立體幾何問題如何轉化為平面幾何問題能夠加強立體幾何題型的解題能力，增強轉化思維在立體幾何中的應用，于我們高中生而言具有積極意義。

一、立體幾何問題轉化為平面幾何問題的價值

平面圖形的解題相對來講較為簡單，而立體幾何問題具有空間思維特性，需要不斷的進行空間想象才能解決問題。然而通過維度之間的轉換，將立體圖形轉變?yōu)槠矫鎺缀螆D形能夠降低解題難度，讓我們能在較短的時間內找到解題思路。圖形的轉換思想也是高中數(shù)學學習過程中必須掌握的技能之一，將特殊問題轉變?yōu)橐话銌栴}，提升解題效率[1]。與此同時，也能夠增強邏輯思維能力與轉換能力，在日后的學習過程中，針對難度系數(shù)較大的數(shù)學問題通過轉化思想簡化問題，進而求得問題答案。

二、具體應用

（一）轉化思想在立體幾何中的應用

1.簡述轉化思想

究其根本便是從一個問題轉化為另一個問題，主要精髓是化繁為簡、將抽象問題具象化，這樣能夠大大減少解題時間以及精力，同時能夠提升正確率。在高中數(shù)學學習過程中，立體幾何問題學習起來較為困難，常表現(xiàn)為無法將其從三維空間圖形轉化為二維平面圖形，存在降維上的障礙，無法做到空間圖形平面化，抽象問題具象化。在解題過程中缺乏連貫性，無法察覺其中聯(lián)系。

2.具體應用

以平面角的大小，來解決直線與平面所成的角等空間角問題。

比如，直線之間所成的角、直線與平面之間所成的角以及平面與平面之間所成的角。在解決該類問題過程中合理利用轉化思想便能夠利用平面角代替空間角，再通過判定定理與相關性質解決問題。異面角的定義如下：過空間任意一點引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）就是異面角。這種描述方式過于抽象，無法真正體會個中含義，必須用準確的數(shù)學語言或圖形將其關系具體化，用準確的數(shù)學量進行刻畫。也就是用平面角來刻畫兩異面直線的“交叉”程度，用平面距離來刻畫兩異面直線的“相離”程度。兩條直線所形成的角通常不會大于90度，一旦超過90度也就不滿足異面角的定義。因此在空間上認為異面直線的平行線所形成的角在90度以內便是異面角。在計算時通過將異面直線進行平移，進而求得問題答案。

例如：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8。求異面直線B1C與A1C1所成角的大小，見圖1。

將空間角轉化為平面角，連接AC，因為該幾何體為正四棱柱，所以AC與A1C1平行，則B1C與A1C1的夾角可以轉化成B1C與AC的夾角，故∠B1CA為異面直線B1C與A1C1的夾角。AB=BC=4，得出AC= ，AA1=BB1=8，AB1= ，∠B1CA= ，通過轉換思想將空間角轉換為平面角實現(xiàn)問題求解。

（二）簡化圖形法將立體幾何圖形變?yōu)槠矫鎺缀螆D形

立體圖形問題中通常與平面圖形具有較大差異，因此在解題過程中建議先將其底面圖形展示出來，結合俯視方法尋找答案，借助斜二測畫法畫出空間幾何體的直觀圖。

例如，PO⊥平行四邊形ABCD，AC與BD相交于O，∠ADC為45度，AD=AC=1，PO等于2，M為PD中點，求得MA與平面ABCD所形成的角的正切值，見圖2。

根據已知條件，數(shù)量與位置關系都在底部圖形，所以只需要將底面圖形畫出來即可尋找到問題答案。作出MH⊥BD，見圖3。即可證明MH垂直于平面ABCD，且H為OD的中點，MH=OP/2=1。

根據ABCD可以看出，其為兩個等腰三角形合并而成，因此能夠輕易得出AO=1/2，∠DAO=90。，OD= ，∠MAH即為所求角。AH=OD/2= ，在直角三角形AHM中，tan∠MAH=MH/AH= 。

在此題中，還需靈活使用題干條件中的中位線、等腰三角形等條件。在關于線面平行的證明題中，通常都需要確定空間位置關系。當平面圖形中有三角形中點時可以考慮構造中位線，充分利用中位線的性質定理，將中位線等于底邊一半的大小關系等性質融入解題過程中，進而將空間圖形轉換為平面圖形[2]。

（三）其它應用

除上述兩種方法外，還有如下轉換方法：

一是空間角的平面化，主要是指異面直線所形成的角、直線與平面所成的角以及平面之間所成的角。將空間角轉化為平面角時要根據已知理論與判定將之間聯(lián)系清晰展現(xiàn)，根據概念畫出有關的空間角，再轉化為平面角進行解決。

二是空間距離平面化，立體幾何中的距離問題通常都是兩點之間的距離，將空間距離平面化便是其理論依據。求直線的距離可以轉換為求其公垂線長度，或直線平行于平面間的距離，或者求兩個平面之間的距離。都能夠將空間距離平面化，進而求得兩點之間的距離。

三是三垂線方法，平面的斜線與該平面內的直線是否垂直通常都是空間問題，而通過三垂線方法能夠將空間問題轉化為平面問題，根據該斜線的垂直情況來判定其是否具有相關性質，因此在空間幾何與平面幾何問題中，通過互相轉化能夠輕易得出問題的答案。

例如，已知兩條異面直線a，b形成夾角θ，公垂線段長度為d，在a，b直線上分別取點E、F，設A1E為m，AF為n，求EF，見圖4。

此題可以看出主要求得兩條異面直線上的點之間距離，因條件比較分散且繁雜，因此需要將其轉化為平面幾何問題。根據異面角定義，作出a的平行線將a，b移動至同一平面內進行解答，經過條件的轉移，將相對分散的已知條件集中解決，使得空間問題轉化為平面問題。

與此同時，在日常學習中，應深入研究課本中的知識，挖掘空間問題轉化為平面問題的新型解題思路，將遇到的典型題型進行總結，升華解題技巧。

結論

綜上所述，立體幾何問題在轉換為平面幾何問題的過程中，需要將空間思維平面化，同時充分利用平行、垂直等位置關系將立體圖形轉換為平面圖形。同時，盡可能簡化立體圖形，根據問題中的題設將分散的已知條件集中起來，將抽象問題具象化，提升立體幾何問題的解題能力。

參考文獻：

[1]張梅花.立體幾何圖形教學三步曲[J].教育，2015（04）：62.

[2]邵文武.立體幾何問題解決中的轉化方法[J].中學生數(shù)學，2014（05）：34-35.