摘"要：用射影幾何知識(shí)引領(lǐng)歐氏幾何研究，結(jié)合一些具體的案例，指出射影幾何的價(jià)值：揭示知識(shí)本質(zhì)，建立優(yōu)美結(jié)構(gòu)，創(chuàng)新公式推導(dǎo)，簡(jiǎn)化定理證明，引領(lǐng)解題思路，命制新的問題。

關(guān)鍵詞：歐氏幾何"射影幾何"知識(shí)探究"問題解決

兩千多年來，《幾何原本》一直是中學(xué)幾何的主要教材（如今的中學(xué)幾何教材雖大有刪改，但不外乎是《幾何原本》的變形或縮影）。它所體現(xiàn)的思維的邏輯性、嚴(yán)密性以及表達(dá)的簡(jiǎn)潔性、概括性、直觀性、抽象性，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維有著積極的作用。

但是，歐式幾何主要在“理想”的有限平面內(nèi)討論幾何問題，使得人們對(duì)于“實(shí)際”的無限空間內(nèi)的幾何問題無法認(rèn)識(shí)，阻礙了人們的思維發(fā)展。如在歐氏幾何的“有限平面”內(nèi)，平行線是不相交的，但在現(xiàn)實(shí)生活中，作為“平行線”的太陽光卻是相交于“一點(diǎn)”太陽的。

正是這些緣故，才有了射影幾何的誕生——在射影幾何的“無限平面”內(nèi)，“平行線”相交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

射影幾何在構(gòu)建人們的幾何觀念中，有著不可替代的作用。

下面，筆者就嘗試用射影幾何知識(shí)引領(lǐng)歐氏幾何研究，結(jié)合一些具體的案例，指出射影幾何的價(jià)值，供大家參考。

一、揭示知識(shí)本質(zhì)

近年來，有關(guān)二次曲線漸近線的問題，成為人們討論的熱點(diǎn)問題。很多文獻(xiàn)主要從反面證明了拋物線沒有漸近線，而對(duì)于拋物線為什么沒有漸近線，未做深入討論。其實(shí)，要徹底弄清二次曲線的漸近線，可借助射影幾何知識(shí)。

在射影幾何里，非退化的二次曲線和無窮遠(yuǎn)線的位置關(guān)系包括相交（有兩個(gè)不同的實(shí)交點(diǎn)）、相切（有兩個(gè)相同的實(shí)交點(diǎn)）、相離（有兩個(gè)共軛的虛交點(diǎn)），這三種位置關(guān)系對(duì)應(yīng)的曲線分別稱為雙曲線、拋物線、橢圓。

在射影幾何里，有定義：過二次曲線的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)作該二次曲線的切線，則該切線叫作該二次曲線的漸近線。此定義較好地反映了二次曲線漸近線的本質(zhì)。

在射影幾何里，有結(jié)論：對(duì)于二次曲線為雙曲線、拋物線、橢圓的情況，切線的情況分別是：兩條實(shí)漸近線、一條實(shí)漸近線（無窮遠(yuǎn)線）、兩條共軛的虛漸近線。由此清楚地可見，在中學(xué)解析幾何中，為什么只討論雙曲線的漸近線，而不討論拋物線和橢圓的漸近線，因?yàn)橹挥须p曲線有兩條有限的實(shí)漸近線，而拋物線有一條無限的實(shí)漸近線（不屬于歐式幾何范疇），橢圓無實(shí)漸近線。

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