摘"要：“學(xué)為中心”的數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)鍵是抓住兩點(diǎn)：基于學(xué)情分析，注重思想（方法）滲透（引領(lǐng)）。這樣，才能讓學(xué)生想學(xué)、能學(xué)、會學(xué)?！抖噙呅蔚膬?nèi)角和》的教學(xué)重點(diǎn)是公式探索。對此，教師要引導(dǎo)學(xué)生從特殊情況四邊形、五邊形、六邊形等入手，尋找一般規(guī)律，歸納出n邊形的內(nèi)角和公式;察覺量和拼的方法的局限性，體會作平行線證的方法的困難性和轉(zhuǎn)化為三角形證的方法的優(yōu)越性;獲得從多邊形一個頂點(diǎn)、邊上一點(diǎn)和內(nèi)部一點(diǎn)出發(fā)連接其他頂點(diǎn)的分割方法，感悟數(shù)學(xué)思考的有序性。

關(guān)鍵詞：學(xué)情分析"思想滲透"多邊形的內(nèi)角和

新課改要求數(shù)學(xué)教學(xué)從“教為中心”轉(zhuǎn)到“學(xué)為中心”，從“講授—接受”方式轉(zhuǎn)到“探究—發(fā)現(xiàn)”方式，從基于教師的主觀預(yù)計和心理期待，要求學(xué)生死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練轉(zhuǎn)到基于學(xué)生的已有經(jīng)驗和發(fā)展水平，引導(dǎo)學(xué)生主動、積極、自主、合作學(xué)習(xí)，真正成為學(xué)習(xí)的主體，從而理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能，體會和運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)思想和方法，獲得和積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

那么，“學(xué)為中心”的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該怎樣進(jìn)行？筆者認(rèn)為，關(guān)鍵是抓住兩點(diǎn)：基于學(xué)情分析，注重思想（方法）滲透（引領(lǐng)）。這樣，才能讓學(xué)生想學(xué)、能學(xué)、會學(xué)。下面以蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第7章第5節(jié)“多邊形的內(nèi)角和與外角和”第二課時的教學(xué)為例，談一談筆者的思考。

一、總體教學(xué)設(shè)計

“多邊形的內(nèi)角和與外角和”第一課時的主要內(nèi)容是三角形內(nèi)角和定理的探索和簡單應(yīng)用。而本節(jié)課的主要內(nèi)容是多邊形內(nèi)角和公式的探索和簡單應(yīng)用。其中，公式探索是公式應(yīng)用的基礎(chǔ)，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，關(guān)系到公式理解的廣度與深度，因而是教學(xué)的重點(diǎn)。

基于“學(xué)為中心”的理念，我們應(yīng)讓學(xué)生積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流，發(fā)現(xiàn)、證明從而理解、建構(gòu)多邊形內(nèi)角和公式。

在多邊形內(nèi)角和公式的探索過程中，學(xué)生因為抽象邏輯思維的局限，對于一般情況n邊形會感到無從下手。對此，教師要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想數(shù)學(xué)中常用的從“簡單的做起”的策略，從特殊情況四邊形、五邊形、六邊形等入手，尋找一般規(guī)律，歸納出n邊形的內(nèi)角和公式。

在多邊形內(nèi)角和公式的探索過程中，學(xué)生類比三角形內(nèi)角和定理的探索方法，容易想到量、拼以及作平行線證的方法。對此，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)作平行線證的方法中蘊(yùn)含的“從未知到已知”的轉(zhuǎn)化思想，進(jìn)而想到轉(zhuǎn)化為三角形證的方法;還要讓學(xué)生嘗試不同的方法，察覺量和拼的方法的局限性，體會作平行線證的方法的困難性和轉(zhuǎn)化為三角形證的方法的優(yōu)越性。

在將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形的過程中，尤其是在多邊形邊數(shù)比較多的情況下，學(xué)生往往是憑經(jīng)驗和直覺進(jìn)行分割的，他們說不清分割的思路、方法或注意事項，甚至可能出現(xiàn)錯誤。對此，教師要先讓學(xué)生嘗試分割，再對學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)。在學(xué)生掌握了從一個頂點(diǎn)出發(fā)連對角線的分割方法后，還要引導(dǎo)學(xué)生思考其他分割方法，獲得從多邊形邊上一點(diǎn)和內(nèi)部一點(diǎn)出發(fā)連接其他頂點(diǎn)的分割方法，體會方法的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思考的有序性（層次性和條理性）。

二、具體教學(xué)實施

（一）回憶舊知，引入新課

師"三角形的內(nèi)角和是多少度？你是怎么得到的？

生"（齊）180°。

生"（搶）量出來的。

生"（搶）拼出來的。

生"（搶）證出來的。

師"怎么說理的？

生"作輔助線。

生"作平行線。

生"內(nèi)錯角相等。

生"同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

師"沒錯，可以通過作輔助線，利用平行線的性質(zhì)推理得出。這說明我們常常把新問題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決的問題來解決，新知識歸結(jié)為已經(jīng)學(xué)過的知識來理解。那么，學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和后，接下來要研究什么新問題，學(xué)習(xí)什么新知識呢？

生"四邊形的內(nèi)角和。

生"五邊形的內(nèi)角和。

生"六邊形的內(nèi)角和。

師"這樣說下去說得完嗎？

生"說不完。

師"那怎么辦呢？

（學(xué)生思考。）

師"想一想我們之前經(jīng)歷過的從算術(shù)到代數(shù)的學(xué)習(xí)，它們有什么區(qū)別？

生"用字母表示數(shù)。

師"這樣有什么好處？

生"可以使問題中的數(shù)量關(guān)系更簡明，更具有一般性。

師"沒錯！這就是從特殊到一般的思想。這里，我們確實要研究四邊形、五邊形、六邊形等特殊多邊形的內(nèi)角和，但最終的目的是研究一般多邊形的內(nèi)角和，用字母表示就是n邊形的內(nèi)角和。那么，應(yīng)該怎么研究呢？你有什么想法？

生"用量的方法。

生"用拼的方法。

生"用證的方法。

師"怎么證明呢？

生"作平行線？

師"這些方法都可以試一試。這里，別忘了現(xiàn)在三角形的內(nèi)角和也是已經(jīng)解決的問題和已經(jīng)學(xué)過的知識了。

生"我們可以嘗試把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，利用三角形內(nèi)角和定理求出多邊形的內(nèi)角和。

師"很好！有了研究方法，我們再來想一想研究過程?？梢灾苯友芯縩邊形的內(nèi)角和嗎？

生"似乎有點(diǎn)困難。n邊形到底是幾邊形？我連圖都畫不出來，更別說拼和量了，轉(zhuǎn)化為三角形好像也很困難。

師"是的。所以，我們應(yīng)該從簡單的做起，先研究特殊的四邊形、五邊形、六邊形等，再尋找規(guī)律，嘗試歸納一般的n邊形的情況。

[設(shè)計意圖：“學(xué)為中心”要求以學(xué)生的已有知識、經(jīng)驗和學(xué)習(xí)需求、方式等為基礎(chǔ)展開教學(xué)。這里利用學(xué)生剛學(xué)過的“三角形的內(nèi)角和”引入，揭示其中的轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生自己提出“接下來要研究什么新問題，學(xué)習(xí)什么新知識”以及“應(yīng)該怎么研究”，提醒從特殊到一般的歸納思想，從而引出本節(jié)課研究、學(xué)習(xí)的主題以及方法、過程。這樣的過程充分喚醒了學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗，尊重了學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和方式，使教學(xué)簡單、自然，能很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和信心，讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)的意義，感悟?qū)W習(xí)的方法。]

（二）分層探究，獲得新知

1.探究任意四邊形的內(nèi)角和。

師"我們知道長方形的內(nèi)角和為360°。那么，任意四邊形的內(nèi)角和是多少呢？

（學(xué)生獨(dú)立探索，小組交流，匯總方法。教師巡視、指導(dǎo)。）

生"量出一個四邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)，相加得360°。

生"把一個四邊形的四個內(nèi)角剪拼到一起，看出是360°。

師"量和拼的方法比較具體直觀，但是往往會產(chǎn)生誤差，而且缺乏一般性，所以不能完全讓人信服。誰是用證明的方法的？

生"我試了，作平行線證明很困難，涉及的角太多。

師"那么，能否把四邊形轉(zhuǎn)化成三角形呢？

生"連接AC，可知四邊形的內(nèi)角和為2×180°=360°。

師"沒錯，連接對角線AC，四邊形就被分割為兩個三角形了，四邊形的內(nèi)角和就被轉(zhuǎn)化為兩個三角形的內(nèi)角和了。

[設(shè)計意圖：在確定了研究過程和方法的基礎(chǔ)上，放手讓學(xué)生探索任意四邊形的內(nèi)角和。量、拼和作平行線證以及轉(zhuǎn)化為三角形證的方法都被學(xué)生嘗試了。在交流比較的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到前兩種方法的局限性、第三種方法的困難性以及最后一種方法的優(yōu)越性。這樣的教學(xué)充分體現(xiàn)了“學(xué)為中心”的思想：不是直接告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生自己嘗試、體會、發(fā)現(xiàn)。]

2.探究五邊形、六邊形的內(nèi)角和。

師"你能類比剛才四邊形內(nèi)角和的求法，求出五邊形、六邊形的內(nèi)角和嗎？

（學(xué)生獨(dú)立探索，小組交流，匯總方法。教師巡視、指導(dǎo)。）

師"怎么把五邊形、六邊形轉(zhuǎn)化成三角形呢？

生 還是連接對角線。

師"怎么連接？連接幾條？

生"從同一個頂點(diǎn)出發(fā)。

生"連接過這個頂點(diǎn)的所有對角線。

師"為什么？不從同一個頂點(diǎn)出發(fā)會怎樣呢？

生"會出現(xiàn)交叉的對角線，這樣圖形就太復(fù)雜了。

師"不連接過這個頂點(diǎn)的所有對角線會怎樣呢？

生"會出現(xiàn)沒有被分割成三角形的四邊形、五邊形等，這樣圖形就有無法求內(nèi)角和的部分了。

師"很好！這些就是把多邊形分割為三角形需要注意的地方。這樣，五邊形、六邊形分別被分割成了幾個三角形？

生"五邊形被分割成了3個三角形、六邊形被分割成了4個。

師"那么，五邊形、六邊形的內(nèi)角和分別是多少呢？

生"五邊形的內(nèi)角和為3×180°=540°，六邊形的內(nèi)角和為4×180°=720°。

生"（突然舉手）老師，也可以不這樣做。

（教師期待地看著這位學(xué)生。）

生"（繼續(xù)說道）我覺得連一條對角線就行了。剛才那位同學(xué)說，不連接過這個頂點(diǎn)的所有對角線，會出現(xiàn)沒有被分割成三角形的四邊形、五邊形等，這樣圖形就有無法求內(nèi)角和的部分了。但是我覺得，這里的“無法求內(nèi)角和的部分”是相對的。比如，連一條對角線可以把五邊形分成一個三角形和一個四邊形，三角形的內(nèi)角和是知道的，而四邊形的內(nèi)角和也已經(jīng)求出來了。

師"非常好！同學(xué)們聽懂他的意思了嗎？我們之前說要把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，是因為我們只知道三角形的內(nèi)角和。那么，如果我們知道了四邊形的內(nèi)角和，要求五邊形的內(nèi)角和，是不是一定要把五邊形分割成三角形呢？

生"不是。可以分割成1個三角形和1個四邊形。

師"六邊形呢？

生"如果我們只知道三角形的內(nèi)角和，就分割成4個三角形;如果我們還知道四邊形的內(nèi)角和，還可以分割成2個三角形和1個四邊形，或者2個四邊形;如果我們還知道五邊形的內(nèi)角和，還可以分割成1個三角形和1個五邊形。

師"你們真棒！其實，自然數(shù)是一個一個數(shù)出來的。這里，我們可以特別關(guān)注從三角形內(nèi)角和到四邊形內(nèi)角和、從四邊形內(nèi)角和到五邊形內(nèi)角和、從五邊形內(nèi)角和到六邊形內(nèi)角和的分割方法。其中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)歸納法的思想，即從前一個數(shù)的情況到后一個數(shù)的情況，同學(xué)們以后會學(xué)到。

[設(shè)計意圖：在探索任意四邊形內(nèi)角和的基礎(chǔ)上，繼續(xù)放手讓學(xué)生探索五邊形、六邊形的內(nèi)角和。學(xué)生自然會重點(diǎn)嘗試轉(zhuǎn)化為三角形證的方法。五邊形、六邊形稍微有些復(fù)雜，把它們轉(zhuǎn)化為三角形的分割方法也稍微有些復(fù)雜，教師順勢引導(dǎo)學(xué)生思考分割時要注意的地方，提煉更為精細(xì)的方法。這正是“學(xué)為中心”思想的體現(xiàn)：以學(xué)定教。此外，對一位學(xué)生意外生成的體現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法思想的轉(zhuǎn)化分割方法的處理，提升了教學(xué)的廣度和深度，也體現(xiàn)了“學(xué)為中心”的思想。]

3.探究任意多邊形的內(nèi)角和。

師"說到歸納，我們就來歸納一下。你能通過剛才求出的四邊形、五邊形、六邊形這些特殊多邊形的內(nèi)角和，歸納出n邊形這個一般多邊形的內(nèi)角和嗎？（出示表1）請你先完成前三行。

師"你看出什么規(guī)律了嗎？

生"多邊形的內(nèi)角和與多邊形的邊數(shù)有關(guān)。從四邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)可以連4-3=1（條）對角線，可以把四邊形分割成4-2=2（個）三角形，因此四邊形的內(nèi)角和是2×180°;從四邊形的一個定點(diǎn)出發(fā)可以連5-3=2（條）對角線，可以把五邊形分割成5-2=3（個）三角形，因此五邊形的內(nèi)角和是3×180°……

師"那么，從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，能連幾條對角線？

生"n-3。

師"能分割成幾個三角形？

生"n-2。

師"因此，n邊形的內(nèi)角和是——

生"（n-2）×180_________。

師"這里對n的取值有要求嗎？

生"n是大于或等于3的自然數(shù)。

師"好的。下面，我們再用之前提到的數(shù)學(xué)歸納法的思路，來探索并驗證一下這個結(jié)論。n邊形可以分割為1個三角形和1個n-1邊形，n-1邊形可以分為1個三角形和1個n-2邊形……這樣，分1次得到1個三角形和1個n-1邊形，分2次得到2個三角形和1個n-2邊形……分幾次得到幾個三角形和另外1個三角形？

生"分n-3次得到n-3個三角形和另外1個三角形。

師"為什么？

生"因為n-（n-3）=3。

師"很好！這時一共分出了多少個三角形？

生"n-3+1=n-2（個）。

師"那么，n邊形的內(nèi)角和是——

生"（n-2）×180______。

[設(shè)計意圖：在探索五邊形、六邊形內(nèi)角和的基礎(chǔ)上，繼續(xù)放手讓學(xué)生探索n邊形的內(nèi)角和。通過表格形式幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)歷從特殊到一般的歸納過程。這里的探究主體還是由學(xué)生來完成，教師的提問引導(dǎo)只是幫助學(xué)生厘清推理的過程。此外，繼續(xù)利用之前意外生成的數(shù)學(xué)歸納法的思路，提升教學(xué)的廣度和深度。]

4.利用其他轉(zhuǎn)化分割方法驗證多邊形的內(nèi)角和。

師"剛才，我們是從多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)連對角線，將多邊形分割成三角形的。

那么，我們還可以怎樣將多邊形分割成三角形？

（學(xué)生思考。）

師"出發(fā)的這個點(diǎn)還可以選在哪里？

生"選在一條邊上？

生"選在多邊形內(nèi)？

師"請大家試一試。

（學(xué)生獨(dú)立探索，小組交流，匯總方法。教師巡視、指導(dǎo)。）

師"請小組派代表來展示。

生"我把出發(fā)點(diǎn)選在一條邊上，得到了多邊形的內(nèi)角和。

師"這種方法將n邊形分割成幾個三角形？在計算內(nèi)角和時多了什么？如何處理？

生"將n邊形分割成n-1個三角形。在計算時多了一個平角，需要減去180_____。

生"我把出發(fā)點(diǎn)選在多邊形內(nèi)，得到了多邊形的內(nèi)角和。

師"這種方法將n邊形分割成幾個三角形？在計算內(nèi)角和時多了什么？如何處理？

生"將n邊形分割成n個三角形。在計算時多了一個周角，需要減去360°。

師"很好！由此可見，數(shù)學(xué)問題的解決思路是很靈活的，而很多方法往往是殊途同歸的。大家可以比較不同分割方法的優(yōu)劣，體會其中不變的轉(zhuǎn)化思想和歸納思想。

[設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生多角度探尋分割的方法，驗證多邊形的內(nèi)角和，拓寬學(xué)生的視野，加深學(xué)生的認(rèn)識，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu);兼顧探究過程的回顧總結(jié)，讓學(xué)生體會解決問題方法的多樣性、靈活性和思想的統(tǒng)一性、深刻性，發(fā)展分析問題、解決問題的能力。]

（三）運(yùn)用新知，解決問題

教師出示如下問題，讓學(xué)生用多邊形的內(nèi)角和解決：

【說一說】

1.八邊形的內(nèi)角和等于。

2.已知一個多邊形的內(nèi)角和等于2340°，它的邊數(shù)是。

3.小明在計算多邊形的內(nèi)角和時求得的度數(shù)是1000°，他的答案正確嗎？為什么？

【做一做】

4.一個多邊形各內(nèi)角都是120°，則它是幾邊形？

5.在四邊形ABCD中，∠A與∠C互補(bǔ)，∠ABC、∠ADC的平分線分別交CD、AB于點(diǎn)E、F。∠1與∠2有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

學(xué)生自主完成后，教師引導(dǎo)學(xué)生交流解決這一類問題的方法與注意點(diǎn)。

[設(shè)計意圖：“說一說”讓學(xué)生體會到利用多邊形內(nèi)角和公式可以直接解決“已知多邊形邊數(shù)求內(nèi)角和”“已知多邊形內(nèi)角和求邊數(shù)”兩類問題，并發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和是180°的整數(shù)倍的特征，以掌握公式的基本應(yīng)用。“做一做”

的第1題讓學(xué)生結(jié)合方程方法運(yùn)用多邊形內(nèi)角和公式，第2題讓學(xué)生結(jié)合幾何推理運(yùn)用多邊形內(nèi)角和公式，由此可以

幫助學(xué)生掌握公式的靈活運(yùn)用，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考。]

參考文獻(xiàn)：

[1] 張曉斌，付大平.落實“三教”理念，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].中小學(xué)教師培訓(xùn)，2017（8）.