摘"要：促進(jìn)數(shù)學(xué)公式深度理解的教學(xué)途徑有：借助歷史素材，促進(jìn)本源性理解;優(yōu)化推導(dǎo)方案，促進(jìn)過程性理解;引導(dǎo)鑒賞活動，促進(jìn)結(jié)構(gòu)性理解;加強(qiáng)新舊聯(lián)系，促進(jìn)邏輯性理解。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)公式"深度理解"教學(xué)路徑

公式教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。但是，在實(shí)際教學(xué)中，很多教師往往會簡化公式的生成，淡化公式的聯(lián)系，更多地靠“刷題”、練習(xí)讓學(xué)生應(yīng)用公式，應(yīng)付考試。這樣的教學(xué)往往導(dǎo)致學(xué)生對于公式的“理解”浮于表面，不能深入本質(zhì)，甚至達(dá)不到理解的認(rèn)知要求。希伯特（Hiebert）和卡彭特（Carpenter）指出：“一個數(shù)學(xué)概念、方法或事實(shí)徹底被理解了，是指它和現(xiàn)有的網(wǎng)絡(luò)由更強(qiáng)或更多的聯(lián)系聯(lián)結(jié)著?！北疚脑囍榻B幾個促進(jìn)數(shù)學(xué)公式深度理解的教學(xué)途徑，供參考。

一、借助歷史素材，促進(jìn)本源性理解

任何數(shù)學(xué)公式都蘊(yùn)含著極其豐富的數(shù)學(xué)史背景，而教材中呈現(xiàn)的往往是經(jīng)過演繹之后的形態(tài)。很多數(shù)學(xué)史內(nèi)容對教師而言，是專業(yè)知識，也是教學(xué)素材;對學(xué)生而言，不僅能讓他們認(rèn)清公式的產(chǎn)生需求和本來面目，而且能讓他們感悟數(shù)學(xué)家獨(dú)特的思維方式，加深對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。在教學(xué)中，教師可根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，選取相關(guān)的數(shù)學(xué)史素材加以整合，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)公式的深度理解。

由此可見，借助數(shù)學(xué)史料可以解密數(shù)學(xué)公式，讓學(xué)生不再是單純地運(yùn)用數(shù)學(xué)符號進(jìn)行思維量較低的演繹，而是在再現(xiàn)數(shù)學(xué)家研究問題過程的同時進(jìn)行有背景支持的建構(gòu)。這利于他們將學(xué)習(xí)的內(nèi)容融入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，而這恰是深度理解的一種體現(xiàn)。

二、優(yōu)化推導(dǎo)方案，促進(jìn)過程性理解

數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)過程是發(fā)展學(xué)生推理能力和運(yùn)算能力的重要載體。教材中對一些公式的推導(dǎo)往往會給出多種方案，其目的在于讓不同思維層次的學(xué)生都能有所得，也為優(yōu)化公式的推導(dǎo)過程提供多維選擇或再加工的可能。在教學(xué)中，教師要深刻理解教材的編寫意圖，找到適合學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知的推導(dǎo)方案。

不難分析出，方案1中產(chǎn)生繁雜運(yùn)算的原因是計(jì)算點(diǎn)Q坐標(biāo)時有大量的字母運(yùn)算，而這恰恰是學(xué)生比較薄弱之處;方案2則通過調(diào)整，采用等積法求高，大大優(yōu)化了運(yùn)算。基于方案1的問題和方案2的思路，可以進(jìn)一步優(yōu)化得到方案3：如圖4，設(shè)直線l分別交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P作l′∥l，交y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥l于D，由平行線之間的距離處處相等可知CD=PQ，然后求出△ABC的面積和AB，得到CD。這里求△ABC的面積比方案2中求三角形的面積又少了一些字母運(yùn)算，因此達(dá)到了優(yōu)化運(yùn)算的目的。

上述優(yōu)化推導(dǎo)的過程能夠促進(jìn)學(xué)生對公式的過程性理解。并且，在這一過程中，學(xué)生的思維活動是遞進(jìn)上升的，因而能夠形成一種理性的思維習(xí)慣：今后再遇到類似復(fù)雜運(yùn)算時能尋求優(yōu)化方案。而這正是數(shù)學(xué)理性精神的一種具體體現(xiàn)。

三、引導(dǎo)鑒賞活動，促進(jìn)結(jié)構(gòu)性理解

對公式的結(jié)構(gòu)要素進(jìn)行不同角度的解構(gòu)分析，從局部到整體、從形式到內(nèi)涵地理解公式的特點(diǎn)，能夠促進(jìn)對公式的深度理解。因此，數(shù)學(xué)公式建構(gòu)（或簡單應(yīng)用）后不應(yīng)急于大練習(xí)量地應(yīng)用，而應(yīng)進(jìn)行公式的鑒賞活動。

例如，建構(gòu)同角三角函數(shù)關(guān)系式后，可以設(shè)計(jì)如下鑒賞活動：

鑒賞活動1"如何理解“同角”？

鑒賞活動2"結(jié)構(gòu)中的元素分析。

如在平方關(guān)系中，首先觀察到左邊局部都是變量，而右邊為常量，這蘊(yùn)含動中有靜的恒等思想;其次觀察到公式中的對象都是“弦”，是二者的平方和結(jié)構(gòu);最后從等式的雙向性角度，理解變量可以轉(zhuǎn)化為常數(shù)，常數(shù)可以變成同角三角函數(shù)關(guān)系，這為后面的運(yùn)用（如整體代換、逆用公式）提供前置經(jīng)驗(yàn)。

鑒賞活動3"兩個公式的整體鑒賞。

對兩個公式分別鑒賞后，還可以將二者放在一起進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)它們在構(gòu)成上以及認(rèn)知方式的異同（如圖5）。

由此可見，對公式進(jìn)行全方位的賞析，能讓學(xué)生整體抓住公式的特點(diǎn)及其與其他公式的相似之處，加強(qiáng)公式的結(jié)構(gòu)性理解。這是具有邏輯特征的理性認(rèn)識。

四、加強(qiáng)新舊聯(lián)系，促進(jìn)邏輯性理解

適時引導(dǎo)學(xué)生將新舊公式（其實(shí)，公式本身不存在新舊之分，只是從學(xué)習(xí)的先后順序上加以區(qū)分）進(jìn)行比較，尋找關(guān)聯(lián)，可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)公式之間的邏輯聯(lián)系，提煉出公式的統(tǒng)一本質(zhì)，從而促進(jìn)公式的邏輯性理解。

由此可以進(jìn)一步看出三個定理是相互貫通的，也能再一次說明它們在本質(zhì)上是一致的。

由此可見，對新舊公式進(jìn)行關(guān)聯(lián)性分析，能夠充分揭示公式之間的邏輯關(guān)聯(lián)，促進(jìn)對公式的邏輯性理解，實(shí)現(xiàn)對知識的整體性認(rèn)識。

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