摘"要：立足“不教之教”思想，構(gòu)建實(shí)驗(yàn)主體、實(shí)驗(yàn)行為、實(shí)驗(yàn)環(huán)境三因素的互動(dòng)框架，形成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的符號(hào)審美、調(diào)節(jié)反省、替代預(yù)見等一般范式特征。其中，符號(hào)審美是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境的思維基礎(chǔ)，調(diào)節(jié)反省是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)行為的監(jiān)控機(jī)制，替代預(yù)見是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)主體的經(jīng)驗(yàn)獲得。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)"不教之教"互動(dòng)框架"教學(xué)范式

著名教育家葉圣陶說過：“教，是為了不教?！薄安唤獭睉?yīng)該是教師教學(xué)所要達(dá)到的最高境界;“教”不只是“傳道授業(yè)解惑”，更要“授之以漁”?！安唤讨獭敝覆灰灾苯拥慕逃绞竭M(jìn)行的教育，亦指在日常言行中很自然地進(jìn)行的熏陶。

根據(jù)班杜拉的“社會(huì)認(rèn)知學(xué)習(xí)論”，人的內(nèi)在學(xué)習(xí)特征、學(xué)習(xí)行為和學(xué)習(xí)環(huán)境三者交互是構(gòu)成動(dòng)態(tài)思維的決定性因素，其中任何兩個(gè)因素之間的雙向互動(dòng)關(guān)系的強(qiáng)度和模式都隨個(gè)體、行為、環(huán)境的不同而變化。

基于“不教之教”理念，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)的“三因素互動(dòng)”框架如表1所示。因此，基于“不教之教”理念，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)起于認(rèn)知環(huán)境建設(shè)、成于認(rèn)知主體自動(dòng)、終于認(rèn)知行為需要。換句話說，就是讓學(xué)生在“自教、他教，我教、你教”的“適性生長”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，形成自主參與、自力研修的能力，發(fā)展動(dòng)作表象、符號(hào)泛在、場(chǎng)依存和場(chǎng)獨(dú)立能力，落實(shí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)促進(jìn)數(shù)學(xué)認(rèn)知的“第一排”思維的“扣子”。進(jìn)而，基于“不教之教”理念，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)具有普遍意義和一般化的范式特征。

一、符號(hào)審美范式，“不教之教”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境的思維基礎(chǔ)

一直以來，“環(huán)境因素”影響主體認(rèn)知質(zhì)量，支配主體行為方向及習(xí)得效應(yīng)的認(rèn)識(shí)具有普遍意義，甚至成為一種思維約定俗成，一種認(rèn)知審美態(tài)度?！皢栴}情境”就是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)認(rèn)知的通用技術(shù)。就這一認(rèn)識(shí)來說，符號(hào)審美范式是泛在的，是“不教之教”基礎(chǔ)屬性的目標(biāo)，關(guān)乎“做數(shù)學(xué)”的環(huán)境建設(shè)方向，關(guān)乎思維符號(hào)運(yùn)動(dòng)以及審美變量行為。在符號(hào)論美學(xué)家卡西爾看來，符號(hào)作為對(duì)象的指稱形式（審美課程），其統(tǒng)攝功能具有生成正向人性和塑造人類文化的作用?；诖?，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)認(rèn)知體系中，基于環(huán)境互動(dòng)論研究范疇，符號(hào)是指代一定意義的意象（認(rèn)知情感和審美態(tài)度），可以被定義為一種實(shí)驗(yàn)操作符號(hào)語言。符號(hào)審美范式包括符號(hào)運(yùn)動(dòng)、審美運(yùn)動(dòng)和個(gè)體認(rèn)知需要、審美需要、自我實(shí)現(xiàn)需要等先行組織行為，以及自我教育課程意識(shí)。

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程論范疇，“不教之教”是一種“理想課程”或“審美課程”“習(xí)得課程”。而審美和習(xí)得與課堂認(rèn)知環(huán)境高度相關(guān)，自動(dòng)、自得、自教、自性等行為動(dòng)詞都是環(huán)境支配的審美狀態(tài)，都是一種“人學(xué)”的審美尺度。其中，符號(hào)運(yùn)動(dòng)和審美運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)主題的確立和實(shí)驗(yàn)情境的適性把握與建設(shè)上。具體來說，從“教好”的角度，就是讓學(xué)生都能做實(shí)驗(yàn)，都做有所得、玩有所獲，讓“不同人”獲得“可能”的發(fā)展;從“學(xué)好”的角度，就是讓學(xué)生因“做”而理解知識(shí)的來龍去脈，進(jìn)而獲得“柳暗花明”的思維敞亮和“還想再做實(shí)驗(yàn)”的內(nèi)驅(qū)力;從“不用教”的角度，就是讓學(xué)生在“自教”和“自動(dòng)教”的“做數(shù)學(xué)”過程中，獲得自主研修的習(xí)慣，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境建設(shè)的“有意義”到“有意思”的發(fā)展。正如古德萊德（John Goodlad）關(guān)于“理想課程—文本課程—理解課程—實(shí)施課程—習(xí)得課程”的觀點(diǎn)，中小學(xué)課程設(shè)計(jì)的（內(nèi)在）質(zhì)量在很大程度上制約著課程實(shí)施的效果，“不教之教”理念下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)也不例外?？梢哉f，實(shí)驗(yàn)環(huán)境因素的選擇與執(zhí)行影響主體的習(xí)得效應(yīng)和審美內(nèi)需，最終實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)課程的本體價(jià)值（漸次改善環(huán)境，適應(yīng)“不同人”的審美需求）。

例如，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程研究組在設(shè)計(jì)“探索直線平行的條件”實(shí)驗(yàn)時(shí)，基于“思維環(huán)境”建設(shè)意向，從“做數(shù)學(xué)”出發(fā)，讓學(xué)生在“山重水復(fù)”的思維困頓中獲得“柳暗花明”的符號(hào)概念能力和審美感知，最終實(shí)現(xiàn)基本事實(shí)（同位角相等，兩直線平行）的把握與知覺審美水平的習(xí)得效應(yīng)。具體實(shí)驗(yàn)思維環(huán)境建設(shè)過程如下：

首先，讓學(xué)生在充分預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上，交流展示用三角板和直尺畫平行線的過程，感知兩條直線平行的一個(gè)決定因素是“同位角相等”，其支配著兩條直線平行結(jié)論的形成。其中，學(xué)生間的“你、我、他”思維交往，就是一種指向“不用教”的“形而上”實(shí)驗(yàn)思想，有助于“自動(dòng)學(xué)習(xí)”能力的層級(jí)和表象表征產(chǎn)生式（production）系統(tǒng)形成。

其次，讓學(xué)生任意畫兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成的“三線八角”圖，在畫圖的過程中感知“并不是所有的同位角都相等”，體驗(yàn)“同位角相等”條件的必要性。其中，學(xué)生的“任意畫”“位置特征的確認(rèn)”“同位角的尋找”都為兩條直線的平行進(jìn)行了鋪墊，反映了“自求得之”“不教而教”的“做數(shù)學(xué)”符號(hào)觀念。

最后，讓學(xué)生在自主研究例題范式（蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第7頁例1）的基礎(chǔ)上，通過合作交流，指出同位角的構(gòu)造過程：首先確認(rèn)同位角是哪兩條直線被哪一條直線所截成的，其次添加條件，使得存在直線平行，最后修改或添加條件，使得原本不平行的直線平行。從而鍛煉學(xué)生的逆向思考能力，最終實(shí)現(xiàn)平行事實(shí)的習(xí)得與理解。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)本身也是一種環(huán)境符號(hào)，“不教之教”行為就是一種環(huán)境語言或思維語言或思想文化。就廣義的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來說，“畫圖”是一種“做數(shù)學(xué)”的實(shí)驗(yàn)，反映學(xué)好數(shù)學(xué)的習(xí)得效應(yīng);“構(gòu)造‘三線八角’→刻畫位置特征→驗(yàn)證基本事實(shí)”是獲得概念符號(hào)的可靠實(shí)驗(yàn)途徑，其中學(xué)生的思維沖突、去經(jīng)驗(yàn)匹配性、審美差異都是實(shí)驗(yàn)感知的結(jié)果狀態(tài)，反映實(shí)驗(yàn)課程的美學(xué)教育意義，即不止于理解美，更在于創(chuàng)造美的“不教”屬性;“添加條件→修改條件→逆向思考→形成論斷”則是符號(hào)運(yùn)動(dòng)的思維表現(xiàn)，反映數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“體驗(yàn)”概念的質(zhì)性思維取向和“教好”概念的審美運(yùn)動(dòng)。

二、調(diào)節(jié)反省范式，“不教之教”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)行為的監(jiān)控機(jī)制

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)監(jiān)控論范疇，“調(diào)節(jié)—反省”是“不教之教”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)思維著陸的監(jiān)控機(jī)制。進(jìn)一步而言，反省本身就是一種上位的“不教之教”思想，正如蘇格拉底的觀念：“不經(jīng)過反省的人生是不值得活的?！币环矫?，反省能形成“基本套路”，就像很多數(shù)學(xué)教師的口頭禪“一提、二套、三分解”，這是反思“分解因式”的一個(gè)例子;另一方面，反省能讓知識(shí)關(guān)聯(lián)、概念相關(guān)、經(jīng)驗(yàn)相通，“做一題、通一類、連一片”就是觸類旁通的一個(gè)可解釋的例子;再一方面，反省能讓思維有序調(diào)節(jié)，“頂天立地”是對(duì)調(diào)節(jié)思維的一種刻畫與描述，也就是反省能讓學(xué)生的思維“瞻前顧后”，具體表現(xiàn)為“形而上”的思想和“形而下”的器識(shí)。日常實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，折紙活動(dòng)就是一種數(shù)形結(jié)合思想的具現(xiàn)，而借助折紙活動(dòng)尋求一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，則是數(shù)形結(jié)合思想得以使用和監(jiān)控的表現(xiàn)。

Pintrich等（1990）發(fā)現(xiàn)自我調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)業(yè)表現(xiàn)有很好的預(yù)測(cè)力。周國韜等（2001）也發(fā)現(xiàn)初中生自我調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)策略的運(yùn)用與學(xué)業(yè)成就存在正相關(guān)?；谶@一理解，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)行為中的調(diào)節(jié)反省范式必須突出三個(gè)層面的特征。一是“做數(shù)學(xué)”中的獨(dú)立思考，表現(xiàn)在學(xué)生認(rèn)知行為內(nèi)部反饋支配著認(rèn)知情感反應(yīng)和情緒喚醒效應(yīng)，而“一臉興奮”就是思維得以喚醒的結(jié)果狀態(tài);二是“說數(shù)學(xué)”中的反思質(zhì)疑，表現(xiàn)在學(xué)習(xí)對(duì)象行為外部結(jié)果影響著認(rèn)知情感和認(rèn)知信念，而數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)方法的獲得、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的傳承都沿著認(rèn)知情感、信念增長的思維路徑;三是“審數(shù)學(xué)”中的反思評(píng)價(jià)意識(shí)。蘇科版初中數(shù)學(xué)教材配套的《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》中的“實(shí)驗(yàn)指南”欄目就是調(diào)節(jié)反省實(shí)驗(yàn)的一般表達(dá)范式，其中的實(shí)驗(yàn)指向、路徑分析、概念銜接、方法指導(dǎo)都是調(diào)節(jié)監(jiān)控思維的關(guān)鍵，可以及時(shí)將感性的“做”與理性的“審”有機(jī)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)概念方法的通透把握。

例如，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程研究組在設(shè)計(jì)“探索直線的平行條件”實(shí)驗(yàn)時(shí)，借助“章頭問題”及其變式，落實(shí)“不教之教”行為監(jiān)控機(jī)制，其中外源變式的過程旨在調(diào)節(jié)學(xué)生的行為外部結(jié)果，以喚醒數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)正向情緒;內(nèi)源變式的過程旨在引領(lǐng)學(xué)生的行為內(nèi)部反饋，以加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)認(rèn)知信念，提升數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)認(rèn)知情感。具體思維調(diào)節(jié)范式執(zhí)行如下：

首先，讓學(xué)生畫一個(gè)等邊三角形，并將其分成四個(gè)能夠完全疊合的三角形，剪下來疊合在一起，說說自己有什么發(fā)現(xiàn)。

其次，讓學(xué)生任意畫一個(gè)三角形，并將其分成能完全疊合的四個(gè)三角形，說說自己有什么發(fā)現(xiàn)。

最后，讓學(xué)生將一張A4紙沿水平和垂直方向分別對(duì)折1次，然后在上面任意畫三角形并剪下來，再用四個(gè)三角形紙片拼成一個(gè)大三角形，說說自己有什么發(fā)現(xiàn)。

這里，前兩個(gè)思維調(diào)節(jié)塊是根據(jù)思維喚醒需要和行為內(nèi)部反饋需要而添加的兩個(gè)變式，即外源思維變式（數(shù)量和位置的改變）和內(nèi)源思維變式（參數(shù)的變化，巧妙地省去某些條件）。如果說“畫圖→折紙→疊合”是一種思維調(diào)節(jié)，那么“動(dòng)手做”數(shù)學(xué)是一種“不教之教”的數(shù)學(xué)，則實(shí)驗(yàn)結(jié)論的獲得是一種內(nèi)部思維反饋的結(jié)果狀態(tài)，支配著學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)信念。如果說“畫特殊三角形→畫一般三角形→折畫一般三角形→分割疊合三角形”是一種感性反省思維，那么結(jié)論的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證及獨(dú)立思考客觀化是一種理性反省思維，則“章概念”的銜接（平行線判定與性質(zhì)的初始發(fā)生）與“學(xué)段概念”的關(guān)聯(lián)（特殊四邊形性質(zhì)的自動(dòng)生長）是外部思維行為得以有效喚醒的表現(xiàn)。換句話說，學(xué)生“做、說、審”的實(shí)驗(yàn)行為支配著學(xué)生數(shù)學(xué)情感和數(shù)學(xué)信念的基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)了“不教之教為大教”的形而上的思想目標(biāo)。

三、替代預(yù)見范式，“不教之教”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)主體的經(jīng)驗(yàn)獲得

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)主體論范疇，替代預(yù)見學(xué)習(xí)范式起于“不教”屬性的思維交往，成于教好“個(gè)體”性格化思維價(jià)值，終于“不教之教”的預(yù)見能力的增長。其中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)主客體“人”的因素影響經(jīng)驗(yàn)獲得的質(zhì)量和思維反應(yīng)的促進(jìn)效應(yīng)。這也是傳統(tǒng)學(xué)科內(nèi)容中“因‘材’施教”向現(xiàn)代學(xué)科審美中“因‘才’施教”變遷的邏輯根據(jù)。“一千個(gè)讀者，就有一千個(gè)哈姆雷特”現(xiàn)象的發(fā)生，源于人思維質(zhì)地與思維意向的不同，為了“每一個(gè)”個(gè)體思維能夠健康發(fā)展，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)主體論勢(shì)必要強(qiáng)調(diào)替代學(xué)習(xí)、預(yù)見學(xué)習(xí)，才有助于“不同人”獲得不同的實(shí)驗(yàn)感知、不同的正向認(rèn)知情緒。

在實(shí)驗(yàn)課程論范疇，替代學(xué)習(xí)是指通過觀察他人的認(rèn)知行為及其帶來的相應(yīng)結(jié)果而獲得的一系列新的學(xué)習(xí)行為。數(shù)學(xué)教育中的示范課、觀摩課、展示課甚至教材中的例題板塊體系都是可替代學(xué)習(xí)的一種表現(xiàn)范式，有助于學(xué)習(xí)者借鑒內(nèi)化與思維變遷，這就是主體的思維期待、思維信念影響概念預(yù)見的一個(gè)范例。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教育中的“舉一反三”“聞一知十”“以一拖十”都是替代學(xué)習(xí)發(fā)揮思維作用的結(jié)果形態(tài);而“厚積薄發(fā)”“道生無限”則是預(yù)見學(xué)習(xí)的一般表現(xiàn)范式。

在實(shí)驗(yàn)教學(xué)論范疇，預(yù)見學(xué)習(xí)意味著讓學(xué)生在“自動(dòng)學(xué)習(xí)”中獲得在“自求得之”的能力，同時(shí)在輻射思維的影響下獲得替代認(rèn)知的能力，最終實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的應(yīng)用力、創(chuàng)造力、審美力的發(fā)展。目前一般的“預(yù)習(xí)范式”“動(dòng)手做”“動(dòng)眼看”“動(dòng)腦思”“動(dòng)嘴說”就是培養(yǎng)替代預(yù)見能力的好方法。美國教育家杰羅姆·布魯納說過：“預(yù)見的訓(xùn)練是正式的學(xué)術(shù)學(xué)科。”用通俗易懂的話來說，從事任何一項(xiàng)工作的思想家極其珍貴的思維財(cái)富就是預(yù)見能力，學(xué)校課程的任務(wù)就是引導(dǎo)學(xué)生習(xí)得這種天賦。而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)本身就是一種“為預(yù)見而預(yù)見”的性格化課程，其中實(shí)驗(yàn)主體的目標(biāo)意向決定可替代認(rèn)知行為和去抑制效應(yīng)。

為此，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》從實(shí)驗(yàn)主體論出發(fā)，在知識(shí)技能目標(biāo)層面，強(qiáng)調(diào)積累綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法等解決簡(jiǎn)單問題的數(shù)學(xué)活動(dòng);在數(shù)學(xué)思考目標(biāo)層面，重視獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式;在問題解決目標(biāo)層面，強(qiáng)調(diào)獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗(yàn)提出問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí);在情感態(tài)度目標(biāo)層面，形成堅(jiān)持真知灼見、修正錯(cuò)誤、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的評(píng)價(jià)態(tài)度。實(shí)現(xiàn)這些“替代力”“預(yù)見力”發(fā)展的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)，需要做好三個(gè)層面的反思工作：一是反問監(jiān)控，形成替代能力;二是反思評(píng)價(jià)，形成預(yù)見能力;三是關(guān)聯(lián)概念，形成系統(tǒng)能力，最終實(shí)現(xiàn)主體“帶得走課堂”能力的獲得。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程教育不僅能告訴學(xué)生概念從哪里來，還能教給學(xué)生概念要到哪里去，正如“察今可以知古”的觀點(diǎn)。其實(shí)，就數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)而言，觀察數(shù)學(xué)生活現(xiàn)象，可以獲得數(shù)學(xué)本質(zhì)，這就是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程建設(shè)的最大意義。觀察為替代學(xué)習(xí)提供思維基礎(chǔ)，反思為預(yù)見學(xué)習(xí)提供思維經(jīng)驗(yàn)，反問為元認(rèn)知發(fā)展提供“不需要教”的途徑，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)直覺的獲得與躍遷。

例如，在“探索直線平行的條件”實(shí)驗(yàn)結(jié)課時(shí)，研究者基于替代力、預(yù)見力發(fā)展目標(biāo)，實(shí)施主體教學(xué)邏輯論，以期實(shí)現(xiàn)“不教”目標(biāo)的漸次靠近，示范自主研修的基本套路。具體結(jié)課線索如下：

首先，讓學(xué)生提煉本節(jié)課主要研究的概念（同位角的概念特征;直線平行的基本事實(shí)：同位角相等，兩條直線平行），并說說自己對(duì)概念的認(rèn)識(shí)與理解（并不是所有的同位角都相等;需要知道同位角是哪兩條直線被哪一條直線截成的;在演繹推理中需要準(zhǔn)確指出“因”“果”以及由“因”到“果”的思維根據(jù)）。

其次，讓學(xué)生在“不教之教”的環(huán)境中研討，發(fā)揮“主體共學(xué)”的預(yù)見情緒和去抑制效應(yīng)，即在用三角板畫平行線的過程中，還有什么條件可以使兩條直線平行（內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)等）。

最后，讓學(xué)生預(yù)見下次課應(yīng)該研究的內(nèi)容（內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角及其數(shù)學(xué)作用）。

這一過程中，學(xué)生用三角板、直尺畫平行線以及轉(zhuǎn)動(dòng)“三線八角”學(xué)具等都是一種自動(dòng)“做數(shù)學(xué)”的表現(xiàn)，有助于其思維知性的獲得與層級(jí)提升。

事實(shí)上，學(xué)生提煉概念的過程就是一種適位的反問監(jiān)控，提升了個(gè)體的替代學(xué)習(xí)力;預(yù)見直線平行的可能條件是一種反思評(píng)價(jià)，有助于“不需要教”認(rèn)知情緒的獲得;猜想后續(xù)認(rèn)知內(nèi)容，有助于主體認(rèn)知期待、認(rèn)知信念的定性形成，進(jìn)而發(fā)展主體的認(rèn)知情感。這些去抑制效應(yīng)，有助于實(shí)驗(yàn)品格的養(yǎng)成，關(guān)鍵思維能力的形成，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的建設(shè)與構(gòu)造目標(biāo)的著陸。

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