2017年4月，“2017年高中數(shù)學(xué)教師工作室協(xié)作體論壇暨‘高中數(shù)學(xué)名師工作室叢書’啟動儀式”在江蘇省無錫市召開，南京師范大學(xué)博士生導(dǎo)師喻平教授受邀做了學(xué)術(shù)報(bào)告《數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評價(jià)與教學(xué)》。在論壇間隙，筆者訪談了喻平教授，訪談圍繞數(shù)學(xué)教育實(shí)證研究及教師專業(yè)發(fā)展等話題展開（以下訪談過程中，筆者簡稱“張”，喻平教授簡稱“喻”）。

一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論

張：喻教授，非常感謝您能接受我的訪談。對于很多數(shù)學(xué)教育工作者而言，提起您必然會說到CPFS結(jié)構(gòu)，所以我想我們的交流還是從CPFS結(jié)構(gòu)開始吧。

喻：概念域、概念系、命題域、命題系合在一起就是CPFS（由概念、命題、域、系四個英文單詞的第一個字母組成），用以描述數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生特有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。自從2002年提出CPFS結(jié)構(gòu)的理論框架以來，很長一段時間內(nèi)，我的主要精力就是進(jìn)行相關(guān)的實(shí)證和推廣應(yīng)用工作。關(guān)于此項(xiàng)工作的主要研究成果都收錄在《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論與實(shí)踐》那本書中。

張：您提出的CPFS結(jié)構(gòu)可以說是填補(bǔ)了我國數(shù)學(xué)知識表征研究的空白，對數(shù)學(xué)知識的教與學(xué)具有廣泛的指導(dǎo)意義，在我們新青年數(shù)學(xué)教師工作室編著的《當(dāng)代中國數(shù)學(xué)教育名言解讀》中也特別做了收錄。您當(dāng)初是怎么想到這個結(jié)構(gòu)的，能否做一個簡要介紹？

喻：這個怎么說呢，其實(shí)是教學(xué)反思的結(jié)果。我曾經(jīng)在中學(xué)教過很多年書，教的過程中就發(fā)現(xiàn)很多問題。比方說，你講一個概念，你覺得你講清楚了、學(xué)生也聽明白了，但學(xué)生拿到題目卻經(jīng)常一做就錯。原因是什么？原因是他們對概念的理解往往是片面的。因?yàn)闀系亩x只是一個，而且只是從一個側(cè)面揭示概念的內(nèi)涵，一旦換一個角度描述同一個概念（實(shí)際上這兩個定義是等價(jià)意義的不同形式），他們就會不知所云。所以我一直主張，學(xué)一個概念一定要多學(xué)幾個等價(jià)定義，形成一個概念域，這樣才能真正理解這個概念，包括命題也是。這些其實(shí)是在中學(xué)教書時就有的想法，不是后來搞研究時的靈機(jī)一動，那些沒有教過書的人可能是想不到的，他們不知道學(xué)生問題到底出在哪個地方。

張：前幾天在中國知網(wǎng)上檢索了一下您的博士論文，很是驚訝，居然有近8000的下載量?，F(xiàn)在聽您這么一介紹，終于理解了，基于實(shí)踐反思生長出來的理論建構(gòu)當(dāng)然有說服力，更有生命力。

喻：剛才我們說到，對同一個數(shù)學(xué)概念，可以從不同的側(cè)面或不同的角度去刻畫，于是一個數(shù)學(xué)概念的所有等價(jià)定義的圖式就稱為概念域；而數(shù)學(xué)概念之間往往存在弱抽象、強(qiáng)抽象或廣義抽象關(guān)系，一組具有數(shù)學(xué)抽象關(guān)系的概念網(wǎng)絡(luò)的圖式就叫作概念系。當(dāng)然，CPFS是個體對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題的一種心理表征，或者說是個體頭腦中的內(nèi)化形式；個體的CPFS結(jié)構(gòu)存在個別差異，是解決數(shù)學(xué)問題的知識基礎(chǔ)，對解題效果有直接的影響。

張：那么如何優(yōu)化CPFS結(jié)構(gòu)，以改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呢？

喻：現(xiàn)在很多學(xué)生完全按“套路”來學(xué)習(xí)，見過的題還能做，沒見過的題就不會做，很難舉一反三。就解題而言，CPFS結(jié)構(gòu)很有用，按這個方式訓(xùn)練學(xué)生，成績提高會很快，更重要的是，這樣學(xué)習(xí)的知識易理解、能遷移、可創(chuàng)新。我們曾經(jīng)做過一系列的實(shí)證研究，發(fā)現(xiàn)個體的CPFS結(jié)構(gòu)與問題表征、自我監(jiān)控、知識遷移、提出問題等都有內(nèi)在聯(lián)系，良好的CPFS結(jié)構(gòu)有助于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

如何優(yōu)化學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)？

可以運(yùn)用生長教學(xué)策略進(jìn)行教學(xué)：從數(shù)學(xué)知識的生長點(diǎn)出發(fā)，按數(shù)學(xué)知識的自然生長機(jī)理設(shè)計(jì)教學(xué)，讓學(xué)生在頭腦中生長出有序的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；提供變式，鞏固學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)中起固定作用的觀念；引導(dǎo)學(xué)生反思建立暢通各個結(jié)點(diǎn)間的脈絡(luò)聯(lián)系，促使學(xué)生習(xí)得的數(shù)學(xué)知識在其頭腦中呈現(xiàn)合理布局，形成層次分明的、有活性的、靈動的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

也可以采用自由回憶、結(jié)點(diǎn)連線、辨認(rèn)推理、命題應(yīng)用等教學(xué)策略，其做法是：給出一組概念或命題，要求學(xué)生依據(jù)概念之間的抽象關(guān)系或命題之間的推出關(guān)系在概念或命題之間連線；或者給出某個問題的條件，讓學(xué)生去推測可能產(chǎn)生的結(jié)論；或者給出某個概念或命題，要求學(xué)生自編該概念或命題應(yīng)用的問題。如，在高一學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)概念“對應(yīng)說”后，可以讓他們自由回憶：請你盡量多地歸納出求函數(shù)定義域的原則。如果學(xué)生給出的結(jié)論越多，那么說明他們形成相應(yīng)的新概念與其CPFS結(jié)構(gòu)的聯(lián)系越緊密。又如，在學(xué)生遇到了具體條件“已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像的對稱軸方程為x=13”時，可以讓他們自由回憶：由此可以得到系數(shù)a、b、c的一些什么結(jié)論？學(xué)生對命題應(yīng)用問題和自由回憶問題的回答可反映出其對函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及思想方法的理解：如果回答得越發(fā)散、開放，那么說明關(guān)于函數(shù)知識的新CPFS結(jié)構(gòu)越完善。

二、數(shù)學(xué)教育研究中的實(shí)證研究

張：您剛才提到對CPFS結(jié)構(gòu)理論做了很多實(shí)證研究。能不能說一說為什么要進(jìn)行實(shí)證研究？

喻：在我當(dāng)初提出CPFS結(jié)構(gòu)時，它其實(shí)只是一種構(gòu)想中的理論。這就至少需要證明兩個問題：一是它到底存在不存在，如果不存在，就根本沒價(jià)值，別人會說它是虛無的、縹緲的；二是它到底對學(xué)生的學(xué)習(xí)有沒有影響，如果跟學(xué)生的學(xué)習(xí)沒有關(guān)系，那么別人就不需要關(guān)心它。

要證明存在性很簡單，只要用量表測試一下學(xué)生有沒有這個結(jié)構(gòu)，以及彼此之間有沒有差異。比如，“證明兩條線段相等，你可以回憶出多少種方法證明？”一個學(xué)生想出了很多，就說明他的命題系結(jié)構(gòu)良好。再如，檢測學(xué)生二次函數(shù)知識體系掌握得怎么樣，可以給學(xué)生一個圖像（拋物線），讓他們看圖后寫出觀察到的結(jié)果，可以寫判別式，也可以寫根與系數(shù)的關(guān)系。通過這個，就可以看出他們的知識體系。只要有差異，這個結(jié)構(gòu)就存在。

第二個問題就比較復(fù)雜了，比如，CPFS結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)知遷移、問題提出、問題解決等有沒有關(guān)系， CPFS結(jié)構(gòu)很好是不是說明遷移能力很強(qiáng)等等。我們做了一系列實(shí)證研究，在《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論與實(shí)踐》一書里寫了很多：第二章就是采用實(shí)證方法驗(yàn)證CPFS結(jié)構(gòu)的存在性和對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的影響；第三章則是將CPFS結(jié)構(gòu)理論用于教學(xué)實(shí)踐，主要回答“應(yīng)該怎么做”和“這樣做的效果如何”。

教育研究與評論中學(xué)教育教學(xué)/2018年第7期熱點(diǎn)透視張：在多數(shù)中小學(xué)教師眼里，開展實(shí)證研究是非常困難的事。

喻：中學(xué)教師做研究有想法、有實(shí)踐，但缺少方法；他們多數(shù)不會實(shí)證，憑經(jīng)驗(yàn)做事，憑經(jīng)驗(yàn)做一些思辨。而只有從單一的思辨走向思辨與實(shí)證的結(jié)合，才能將我們的研究從表層分析轉(zhuǎn)移到深層透視。這其中離不開多樣化研究方法的應(yīng)用，如調(diào)查、案例研究、測量、實(shí)驗(yàn)等。我們的關(guān)于認(rèn)知負(fù)荷、數(shù)學(xué)建模認(rèn)知差異的一些文章得到心理學(xué)界認(rèn)可，在《心理科學(xué)》等專業(yè)雜志上發(fā)表，就是因?yàn)橛性鷮?shí)的實(shí)證研究的緣故。

真正的實(shí)證研究離不開統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，SPSS（Statistical Product and Service Solutions）是做研究必不可少的軟件。為什么統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)很重要，很多教師搞不明白。比如，你開展一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)果實(shí)驗(yàn)班的成績比對比班高出5分，但是這能說明什么呢？畢竟是小樣本。這個實(shí)驗(yàn)?zāi)芊裢茝V？如果擴(kuò)大到5個班、50個班，你還能開展實(shí)驗(yàn)研究嗎？顯然純粹做實(shí)驗(yàn)是有困難的。于是我們需要用樣本的數(shù)據(jù)來估計(jì)總體的數(shù)據(jù)，但是估計(jì)可能會犯錯誤的。在多大程度上會犯錯誤需要用概率來描述。我把概率定義成0.05，如果計(jì)算出來的結(jié)果小于0.05，那么我就敢說我這個實(shí)驗(yàn)是可以推廣的：放在一個大范圍內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，犯錯誤的可能性只有5%。這就是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。一做統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，就有了普遍意義，否則你的實(shí)驗(yàn)就沒有推廣價(jià)值。

張：上午您的報(bào)告中，就提及對當(dāng)下熱門的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)做了一個實(shí)證研究。能否再做一個介紹？

喻：高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組的專家提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的6個方面：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。但這樣的確定，多是基于思辨的研究、基于專家的理論見識，可能會出現(xiàn)以偏概全的缺陷。于是我提出應(yīng)當(dāng)采用思辨提出框架、實(shí)證加以驗(yàn)證的方法析取數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要素。

研究的基本思路為：（1）通過理論分析，采用專家討論的方法，初步提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本成分；（2）根據(jù)初步提出的基本成分，編制數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)問卷，選取小樣本進(jìn)行預(yù)測，修訂問卷；（3）以中小學(xué)骨干教師為對象，采用大樣本測試收集數(shù)據(jù)；（4）用統(tǒng)計(jì)方法作因子分析和聚類分析，析取數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本成分。事實(shí)上，我們通過因子分析和聚類分析得到的結(jié)果與課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組專家的研究基本上是吻合的。

上午我的報(bào)告重點(diǎn)是為學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的評價(jià)提供一個理論框架。既然數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)產(chǎn)生于知識，那么評價(jià)的水平劃分就應(yīng)當(dāng)從知識的角度切入。參照布盧姆模型、PISA（Program for International Student Assessment）模型和SOLO（Structure of observed Learning Outcome）模型，給出一種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)劃分的理論構(gòu)想：將知識學(xué)習(xí)分為3種形態(tài)，依次為知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新。這3種形態(tài)本質(zhì)上也反映了數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的3種水平。

三、中學(xué)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展

張：喻老師，您剛才提到曾經(jīng)在中學(xué)教了很多年書。能不能跟我們說說那段經(jīng)歷，特別是那段經(jīng)歷對您后來的學(xué)術(shù)研究有著怎樣的影響？

喻：我在西昌第四中學(xué)做過八年一線教師，從初一一直教到高三，然后在高三留了兩年。我在那個時候就開始寫文章，發(fā)了好幾篇（當(dāng)時很少有中學(xué)教師寫文章）。寫文章其實(shí)主要是覺得很有興趣，對教學(xué)也很有促進(jìn)作用（那時中小學(xué)評職稱并沒有發(fā)表文章的要求）。后來，覺得一直在中學(xué)待下去體現(xiàn)不出自己的價(jià)值，總覺得有點(diǎn)乏味，于是就想到考研究生。當(dāng)然，也是從實(shí)際出發(fā)，覺得自己年齡偏大了，搞基礎(chǔ)數(shù)學(xué)已經(jīng)過了黃金期，于是就考了數(shù)學(xué)教育方向的研究生。

后來我提出的很多想法或者說理論框架，比如前面說的CPFS結(jié)構(gòu)，其實(shí)里面都有著中學(xué)教學(xué)時期的積淀。那段時間經(jīng)歷了很多，積累了一些教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)然也會發(fā)現(xiàn)很多問題，經(jīng)歷理論學(xué)習(xí)和思考后就會有一些想法；這些想法提出來后，發(fā)現(xiàn)它可以解釋很多現(xiàn)象和困惑，這樣一上升就成了一種理論。做學(xué)問是要有靈感的，而靈感的產(chǎn)生需要有足夠的積淀。我寫的很多東西都是原創(chuàng)的，比如后來做的“信念”，現(xiàn)在出了一本書《教學(xué)認(rèn)識信念研究》，拿了江蘇省的教育研究成果一等獎。

有實(shí)踐再有理論支撐，我覺得是研究者必須經(jīng)過的一條路。如果沒有這些經(jīng)歷，我后來恐怕不會出現(xiàn)這些想法。搞教育研究的人，如果沒有教過書，其實(shí)是一個短板（國外搞一般教育學(xué)研究的人，其實(shí)都是有學(xué)科背景的）。他們往往不知道學(xué)生問題出在哪個地方，而空泛思辨出來的理論不足以闡釋數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)象及規(guī)律。這也就是說，數(shù)學(xué)教育研究要尋求理論概括與實(shí)證研究并行。

張：實(shí)踐出真知，但對于很多中學(xué)教師而言，卻難以發(fā)揮實(shí)踐方面的優(yōu)勢，他們寫不出高質(zhì)量的文章。

喻：可以寫寫經(jīng)驗(yàn)總結(jié)類的文章，主題可以適當(dāng)小一些，比如對某個教學(xué)設(shè)計(jì)或者某堂課教學(xué)的總結(jié)。現(xiàn)在許多中小學(xué)教師寫的論文多屬于經(jīng)驗(yàn)總結(jié)類的文章。這類文章一般要考慮“是怎樣做的”“做的效果如何”“為什么要這樣做”：“是怎么做的”可以介紹具體的做法，用案例作為論據(jù)，輔助說明論題；“做的效果如何”可以從認(rèn)知或非認(rèn)知的角度考查學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并且用適當(dāng)?shù)膶?shí)證數(shù)據(jù)說明結(jié)論；“為什么要這樣做”是將具體做法中的思想提煉出來，或用已有的理論對具體的做法給予解釋。將這三部分組合，就構(gòu)成了論文的基本框架，也就明確了寫作的思路。很多一線教師在寫作的時候，往往只論述“是怎么做的”，而忽視后面兩個問題的討論，這樣，文章的學(xué)術(shù)性很難提升。

張：現(xiàn)在中學(xué)教師教學(xué)任務(wù)都比較重。如何平衡教學(xué)與研究的關(guān)系，您能否提供一些建議？

喻：你說的是實(shí)情，對于中學(xué)教師而言，教學(xué)才是主業(yè)。人的精力畢竟有限，尤其是高中教師太苦了，整天都泡在解題里了，很難有時間。我覺得不宜也無須對普通教師都提搞研究的要求。當(dāng)然，其中也有一部分教師非常優(yōu)秀，他們是可以搞研究的，只不過還是要與高校研究者的研究方式相區(qū)分，因?yàn)榇髮W(xué)教師更多的任務(wù)是思考問題。當(dāng)然，就我個人而言，其實(shí)很大一部分精力還是放在教學(xué)中的，每年給研究生上課我都要重新備課、重寫教案，因?yàn)榻逃陌l(fā)展太快，你必須將最新的（包括國外的）成果加載進(jìn)去。

我的研究走了這樣一條路：數(shù)學(xué)教育碩士研究生畢業(yè)后，認(rèn)真搞了兩年純數(shù)學(xué)的研究（圖論方向），發(fā)了十篇文章。后來就沒有繼續(xù)了，因?yàn)楦杏X做不出什么大的成果，畢竟過了數(shù)學(xué)研究的黃金期了，當(dāng)時只是想體驗(yàn)一下做數(shù)學(xué)的感覺（現(xiàn)在做教育的很多數(shù)學(xué)功底都不太好）。有了感悟，接下來就搞教育。搞教育一開始是全身心撲在實(shí)證上的（因?yàn)楫?dāng)時國內(nèi)數(shù)學(xué)教育實(shí)證方面的研究文章真的很少，多是一些經(jīng)驗(yàn)總結(jié)），當(dāng)時做的都是一些偏心理方面的研究，包括我的博士論文。最近幾年思辨研究做得比較多，思辨其實(shí)比實(shí)證層次要高，當(dāng)然經(jīng)驗(yàn)總結(jié)其實(shí)談不上思辨。

現(xiàn)在回頭想想，如果沒有搞數(shù)學(xué)研究、做實(shí)證研究的基礎(chǔ)（當(dāng)時在心理學(xué)刊物上發(fā)了多篇實(shí)證類的文章，現(xiàn)在國內(nèi)很多實(shí)證類的文章都是送到我這兒來審稿的），那么現(xiàn)在也達(dá)不到思辨層面。主要還是哲學(xué)功底不夠，學(xué)哲學(xué)其實(shí)不是學(xué)知識而是學(xué)思維，學(xué)了思維后才能出思想。

張：您曾在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》上連載了好幾篇關(guān)于如何評課、數(shù)學(xué)教育研究方法及案例分析的文章，對中學(xué)數(shù)學(xué)教師開展教學(xué)研究有很好的引領(lǐng)作用。剛才您也提到了夯實(shí)教學(xué)、開展數(shù)學(xué)研究，這些對于中學(xué)教師都很有借鑒意義。對于開展課題研究、拓寬研究視野，您還能提供一些建議嗎？

喻：我在《數(shù)學(xué)通報(bào)》上發(fā)表過一篇文章——《我國數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)研究的若干問題》，對數(shù)學(xué)教育研究的基本情況做了比較系統(tǒng)的梳理和分析，從數(shù)學(xué)教育哲學(xué)、數(shù)學(xué)課程、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)心理、數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展等方面，提出了應(yīng)當(dāng)研究的35個問題。其中的每一個問題都值得好好研究，也就是所謂的課題研究的方向。據(jù)我所知，就有中學(xué)教師結(jié)合其中一個問題，成功申報(bào)了省重點(diǎn)資助課題。

四、結(jié)束語

在近兩個小時的訪談過程中，喻平教授就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論、數(shù)學(xué)教育研究中的實(shí)證研究、中學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展方向三個方面給我們做了詳細(xì)解讀。雖然時間匆忙，很多問題并未得到充分展開，尤其是如何進(jìn)行理論概括、如何開展實(shí)證研究等方面，但是他的學(xué)術(shù)研究發(fā)展之路——從教學(xué)實(shí)踐到理論構(gòu)建，從實(shí)證研究到哲學(xué)思辨，以及他言談舉止中顯現(xiàn)出的嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度和追求，于我們而言，是一種啟迪，更是一種鞭策。

*本訪談?wù)沓晌暮蠼?jīng)過了喻平教授的審核確認(rèn)。

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