摘 要：“5E”指的是激活、探究、解釋、闡述和評(píng)價(jià)。在銳角三角函數(shù)概念的教學(xué)中，運(yùn)用“5E”教學(xué)模式，以問題串引導(dǎo)學(xué)生從特殊直角三角形中的邊角關(guān)系出發(fā)，探究一般情況下的邊角關(guān)系，發(fā)現(xiàn)銳角確定的直角三角形的本質(zhì)屬性，整體認(rèn)識(shí)直角三角形三邊構(gòu)成的6個(gè)不同的比與對(duì)應(yīng)銳角的關(guān)系，建構(gòu)銳角三角函數(shù)的意義。由此，認(rèn)識(shí)到“5E”模式的5個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)了一節(jié)課中學(xué)習(xí)過程的5個(gè)層次，能讓學(xué)生不僅知道“是什么”，而且能通過做和探究去解釋和闡述“為什么”，達(dá)到知識(shí)的本質(zhì)理解，直至遷移和創(chuàng)新。

關(guān)鍵詞：“5E”教學(xué)模式 銳角三角函數(shù) 課例

“5E”教學(xué)模式作為發(fā)展學(xué)生科學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的有效模式已在美國(guó)中小學(xué)教學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用。“5E”指的是5個(gè)“E”開頭的英文單詞Engagement、Exploration、Explanation、Elaboration和Evaluation，對(duì)應(yīng)的中文為激活、探究、解釋、闡述和評(píng)價(jià)。為了探索“5E”教學(xué)模式在教學(xué)實(shí)踐中對(duì)落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的作用，我們選擇了初中的銳角三角函數(shù)概念內(nèi)容，依據(jù)“5E”教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐。

一、總體教學(xué)分析及設(shè)計(jì)

三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念之一。學(xué)生需要經(jīng)歷從初中的銳角三角函數(shù)到高中的任意角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)。初中銳角三角函數(shù)概念的一般教法是按照教材，先分散學(xué)習(xí)單個(gè)概念，再加以逐步鞏固的散點(diǎn)式學(xué)習(xí)。在多數(shù)課堂中，教師往往直接給出銳角三角函數(shù)的定義，不引導(dǎo)學(xué)生探索其背景和意義，導(dǎo)致學(xué)生不能理解知識(shí)的本質(zhì)。在課后調(diào)研中，學(xué)生大多反饋不明白為什么這么定義銳角三角函數(shù)，盡管可以機(jī)械地背下定義來做題。

史寧中教授指出：理想的數(shù)學(xué)教學(xué)過程應(yīng)把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，把握學(xué)生的認(rèn)識(shí)過程，通過創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境和提出合適的數(shù)學(xué)問題，在啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和相互交流的基礎(chǔ)上，達(dá)到幫助學(xué)生掌握知識(shí)技能，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)基本思想，最終發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的。由此，我們對(duì)銳角三角函數(shù)概念的內(nèi)涵和結(jié)構(gòu)以及學(xué)生已有的先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行分析，著眼于銳角三角函數(shù)概念的本質(zhì)探究和整體建構(gòu)，重組教材，“再分配”學(xué)習(xí)單個(gè)概念的課時(shí)；進(jìn)而，運(yùn)用“5E”教學(xué)模式，以問題串引導(dǎo)學(xué)生從特殊直角三角形中的邊角關(guān)系出發(fā)，探究一般情況下的邊角關(guān)系，發(fā)現(xiàn)銳角確定的直角三角形的本質(zhì)屬性，整體認(rèn)識(shí)直角三角形三邊構(gòu)成的6個(gè)不同的比與對(duì)應(yīng)銳角的關(guān)系，建構(gòu)銳角三角函數(shù)的意義。

具體的教學(xué)目標(biāo)如下：（1）理解銳角確定的直角三角形的本質(zhì)屬性；（2）整體認(rèn)識(shí)直角三角形三邊構(gòu)成的6個(gè)銳角三角比，理解銳角三角函數(shù)的意義，并掌握其直接運(yùn)用方法；（3）經(jīng)歷從直角三角形角角關(guān)系、邊邊關(guān)系到邊角關(guān)系的探究，領(lǐng)會(huì)知識(shí)內(nèi)在結(jié)構(gòu)的發(fā)展和函數(shù)概念的本質(zhì)；（4）經(jīng)歷從特殊到一般、從猜想到論證的探究直角三角形邊角關(guān)系的過程，積累數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)活動(dòng)的基本經(jīng)驗(yàn)；（5）在交流和思維碰撞中體會(huì)探究學(xué)習(xí)的意義，在自主評(píng)價(jià)和教師評(píng)價(jià)中提升評(píng)估自我學(xué)習(xí)的能力。教學(xué)重點(diǎn)放在概念形成的本質(zhì)探究和整體認(rèn)知以及基礎(chǔ)應(yīng)用上（銳角三角函數(shù)的靈活應(yīng)用則作為下節(jié)課的重點(diǎn)），教學(xué)難點(diǎn)是概念的本質(zhì)屬性的理解。

二、具體教學(xué)設(shè)計(jì)及解讀

（一）激活

“5E”教學(xué)模式中的“激活”是指，在了解學(xué)生的先驗(yàn)知識(shí)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)一個(gè)短小的活動(dòng)幫助學(xué)生進(jìn)入新概念的學(xué)習(xí)，激發(fā)好奇心和激活先驗(yàn)知識(shí)。具體設(shè)計(jì)如下：

1.激發(fā)好奇心。

引入設(shè)問 對(duì)于直角三角形，我們已經(jīng)知道它的兩個(gè)銳角關(guān)系“和為90°”，它的三邊關(guān)系“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”，那么它的邊和角之間是否存在關(guān)系？若存在，是怎樣的關(guān)系？

教學(xué)處理：這是本節(jié)課要解決的核心問題，并不要求學(xué)生立即回答。

解讀：從學(xué)生已有的知識(shí)“直角三角形中角的關(guān)系和邊的關(guān)系”出發(fā)，設(shè)計(jì)問題情境，引出研究對(duì)象，激發(fā)學(xué)生的好奇心，吸引學(xué)生進(jìn)入新知的探究學(xué)習(xí)。

2.激活先驗(yàn)知識(shí)。

問題1

在Rt△ABC（圖1）中，∠C=90°，∠A的對(duì)邊長(zhǎng)為a，∠A的鄰邊長(zhǎng)為b，斜邊長(zhǎng)為c。

（1）這三邊的長(zhǎng)可以構(gòu)成幾個(gè)不同的兩線段長(zhǎng)之比？

（2）依據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)，我們知道，當(dāng)∠A=30°時(shí)，它的三邊長(zhǎng)構(gòu)成的線段比分別是多少？當(dāng)∠A=45°呢？

（3）把一個(gè)銳角為30°或45°的三角形放大或縮小，這些比值變化嗎？為什么？當(dāng)一個(gè)銳角為30°變?yōu)?5°時(shí)，比值變化了嗎？

圖1

教學(xué)處理：學(xué)生獨(dú)立思考、動(dòng)手操作，教師組織學(xué)生依次匯報(bào)3個(gè)小問題。

解讀：通過3個(gè)小問題，引出學(xué)生的先驗(yàn)知識(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)操作（畫圖測(cè)量等）和表述（寫出所有的三邊構(gòu)成的兩線段長(zhǎng)之比等）以及簡(jiǎn)單的計(jì)算推理和分析論證得出：當(dāng)直角三角形的一個(gè)銳角為30°或45°時(shí)，無論放大還是縮小，所構(gòu)成的6個(gè)兩線段長(zhǎng)之比不變，從而為后面得出一般化結(jié)論做鋪墊。

（二）探究

“5E”教學(xué)模式中的“探究”是指，根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的概念認(rèn)知、過程認(rèn)知以及技能，創(chuàng)設(shè)一個(gè)共同的任務(wù)，讓學(xué)生通過操作或?qū)嶒?yàn)等活動(dòng)，運(yùn)用先驗(yàn)知識(shí)形成新的概念，產(chǎn)生新的方法，

探索新的問題和可能結(jié)果。具體設(shè)計(jì)如下：

1.探究活動(dòng)引言。

引入設(shè)問 在問題1中，∠A為30°或45°時(shí)觀察到的現(xiàn)象是否存在于一般的直角三角形？當(dāng)銳角A不是特殊角，而是任意某個(gè)確定的值時(shí)，這些邊長(zhǎng)的比是否也確定？怎樣說明？如果銳角A變化呢？

教學(xué)處理：這個(gè)問題是本節(jié)課核心問題的進(jìn)一步具體化，引發(fā)學(xué)生思考，但不要求學(xué)生立即回答。

解讀：通過引入設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般進(jìn)行大膽猜想，推動(dòng)學(xué)生深入思考，并導(dǎo)向以下兩個(gè)具體的探究活動(dòng)。

2.探究活動(dòng)一。

問題2 在Rt△ABC（圖1）中，∠C=90°，當(dāng)銳角A確定時(shí)，放大或縮小這個(gè)三角形，則在Rt△AB1C1或Rt△AB2C2（圖2）中，由三邊構(gòu)成的比的比值變化嗎？

圖2

教學(xué)處理：學(xué)生自主操作和分析。教學(xué)實(shí)踐中，有學(xué)生通過測(cè)量計(jì)算得出比值保持不變（在忽略誤差的情況下），教師在學(xué)生匯報(bào)分析時(shí)，輔以幾何畫板演示驗(yàn)證，加深學(xué)生的印象；有學(xué)生直接聯(lián)想到相似三角形原理，論證三邊關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)并用數(shù)學(xué)符號(hào)表述結(jié)果（如

B2C2AB2=B1C1AB1=BCAB）。

3.探究活動(dòng)二。

問題3 在Rt△ABC（圖1）中，∠C=90°，當(dāng)銳角A變大時(shí)，則在Rt△AB1C（圖3）中，對(duì)應(yīng)的三邊構(gòu)成的6個(gè)比值變化嗎？若銳角A縮小呢？

圖3

教學(xué)處理：學(xué)生通過觀察分析或測(cè)量計(jì)算，得出當(dāng)銳角A從∠BAC變化到∠B1AC后相應(yīng)比值的大小變化，教師輔以幾何畫板演示，讓學(xué)生觀察數(shù)據(jù)的變化，然后要求學(xué)生用簡(jiǎn)練的語言對(duì)結(jié)果進(jìn)行描述和概括。

解讀：探究環(huán)節(jié)始終在問題驅(qū)動(dòng)下，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證（測(cè)量和計(jì)算）或論證、歸納現(xiàn)象的過程。對(duì)特例的觀察思考往往能引發(fā)對(duì)一般規(guī)律的探究，有助于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和能力的發(fā)展。

（三）解釋

“5E”教學(xué)模式中的“解釋”是指，聚焦前兩個(gè)階段的某個(gè)具體方面，讓學(xué)生說明自己的概念性認(rèn)識(shí)、方法、技能或行為；或由教師介紹概念、方法或技能。在這個(gè)過程中，學(xué)生解釋自己對(duì)概念的理解，教師的解釋引導(dǎo)學(xué)生向更深層次的理解。具體設(shè)計(jì)如下：

1.解釋活動(dòng)一。

問題4 在上述探究中，我們發(fā)現(xiàn)：直角三角形的銳角確定，它的任意兩邊之比就確定，銳角變化，它的任意兩邊之比就跟著變化。這一現(xiàn)象表明了什么？

教學(xué)處理：組織學(xué)生先小組討論，再組際交流。

解讀：對(duì)探究環(huán)節(jié)中發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象（結(jié)論）的解釋指向?qū)︿J角三角函數(shù)概念本質(zhì)的理解：對(duì)于每一個(gè)確定的銳角，這6個(gè)比值都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)。因此，每一個(gè)比值都可看成是該銳角的某個(gè)函數(shù)。

2.解釋活動(dòng)二。

問題5 對(duì)于直角三角形中三邊所構(gòu)成的6個(gè)不同的比，如果依據(jù)它們的特點(diǎn)分組的話，你會(huì)怎樣分？

教學(xué)處理：學(xué)生先獨(dú)立思考并記錄結(jié)果，教師再組織全班交流。教學(xué)實(shí)踐中，有學(xué)生依據(jù)是否包含斜邊分成兩組（即“切”一組、“弦”和“割”一組），有學(xué)生依據(jù)包含哪兩個(gè)邊分成三組（即“切”“弦”“割”分別一組）。兩種生成的分類雖然標(biāo)準(zhǔn)不同，但是都有一定的合理性（至少區(qū)分了“切”和“弦”“割”），教師都要認(rèn)可。

解讀：這樣的分類活動(dòng)為后面明確定義時(shí)使用“切”“弦”“割”和“正”“余”的組合命名做了鋪墊，同時(shí)促進(jìn)了學(xué)生養(yǎng)成觀察和分類意識(shí)。

3.解釋活動(dòng)三。

教師給出直角三角形中銳角6種三角函數(shù)正切、余切、正弦、余弦、正割、余割的定義，并且指出余切、正割、余割暫不深入學(xué)習(xí)；然后介紹6種三角函數(shù)的符號(hào)，并且分析其意義；接著回到課始的引入設(shè)問，解釋銳角三角函數(shù)的定義揭示了直角三角形的邊角關(guān)系。

解讀：有了前面的結(jié)論（現(xiàn)象）解釋作為基礎(chǔ)，學(xué)生不難理解銳角和其所在直角三角形的任意兩邊的比值構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，銳角是自變量，比值是因變量。在此基礎(chǔ)上給出定義及符號(hào)，學(xué)生不會(huì)感到突兀。至此，學(xué)生基本完成了對(duì)銳角三角函數(shù)的本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)，并且對(duì)6個(gè)三角函數(shù)有了整體的認(rèn)識(shí)。這樣的學(xué)習(xí)過程讓學(xué)生不僅知道“是什么”和“為什么”，而且知道“怎么樣”，是學(xué)習(xí)的真正意義所在。

解釋環(huán)節(jié)給學(xué)生反思現(xiàn)象、思考本質(zhì)的機(jī)會(huì)，學(xué)生需要聯(lián)系函數(shù)的概念，做進(jìn)一步的抽象概括和推理分析，才能認(rèn)識(shí)到任意兩線段的比值和對(duì)應(yīng)的銳角構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。

（四）闡述

“5E”教學(xué)模式中的“闡述”要求更加詳盡，含有遷移之意，具體是指挑戰(zhàn)和拓展學(xué)生的概念理解和技能，通過新的體驗(yàn)讓學(xué)生開展深度和廣度的理解，獲得更多的信息和豐富的技能，從而能夠運(yùn)用對(duì)概念的理解進(jìn)行其他的實(shí)踐活動(dòng)，比如應(yīng)用和推廣。具體設(shè)計(jì)如下：

1.闡述活動(dòng)一。

問題6

在Rt△ABC（圖1）中，∠C=90°，AC=12，AB=13。

（1）求：①sin A、cos A、tan A，②sin B、cos B、tan B；

（2）比較兩組解，你能發(fā)現(xiàn)什么？這樣的關(guān)系存在于任意的直角三角形中嗎？為什么？

教學(xué)處理：學(xué)生獨(dú)立操作完成，教師組織有序組織匯報(bào)。

解讀：概念形成后，讓學(xué)生運(yùn)用概念進(jìn)行問題解決的闡述活動(dòng)；繼續(xù)探究∠B的3種三角比，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)互為余角的兩個(gè)銳角的正弦、余弦和正切的關(guān)系，深化學(xué)生的認(rèn)識(shí)。

2.闡述活動(dòng)二。

問題7

如圖4，給出角θ，你能找出它的正弦、余弦和正切值嗎？

圖4

教學(xué)處理：學(xué)生獨(dú)立思考，教師予以引導(dǎo)。教學(xué)實(shí)踐中，大部分學(xué)生一開始認(rèn)為因?yàn)檫@個(gè)角不在直角三角形中，所以不能找出這個(gè)角的正弦、余弦和正切值；

教師適當(dāng)引導(dǎo)后，學(xué)生意識(shí)到可以構(gòu)造一個(gè)直角三角形來解決問題。

解讀：這個(gè)問題的解決讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到銳角的三角函數(shù)值不依賴于具體的直角三角形，只要銳角給定，它的三角函數(shù)值就確定了，從而為后續(xù)高中理解任意角的三角函數(shù)做鋪墊。

（五）評(píng)價(jià)

“5E”教學(xué)模式中的“評(píng)價(jià)”是指，教師鼓勵(lì)學(xué)生評(píng)估自己的理解和能力，同時(shí)教師評(píng)價(jià)學(xué)生在達(dá)成教學(xué)目標(biāo)上所取得的進(jìn)步。具體設(shè)計(jì)如下：

1.評(píng)價(jià)活動(dòng)一。

課堂檢測(cè) 求出下列各直角三角形（圖5和圖6）中各銳角的正弦、余弦和正切值。

圖5

圖6

教學(xué)處理：學(xué)生獨(dú)立完成解答，教師巡視解答情況，然后組織學(xué)生相互批閱。對(duì)于變成含有字母的直角三角形，學(xué)生既可以先計(jì)算AC邊，用n來表示，再通過計(jì)算得出角A的三角函數(shù)值；也可以觀察發(fā)現(xiàn)已知直角邊是斜邊的一半，得出角A等于30°，再利用定理得出角A的三角函數(shù)值。

解讀：這個(gè)活動(dòng)意在檢測(cè)學(xué)生對(duì)概念的基礎(chǔ)運(yùn)用，是量化評(píng)價(jià)。

2.評(píng)價(jià)活動(dòng)二。

開放小結(jié) 在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，你經(jīng)歷了哪些學(xué)習(xí)過程？哪一個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中你遇到了困難？哪一個(gè)活動(dòng)的學(xué)習(xí)對(duì)你啟發(fā)最大？

教學(xué)處理：學(xué)生自由發(fā)表看法。

解讀：引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過程并交流，加深學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)體驗(yàn)和概念學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，屬于質(zhì)性評(píng)價(jià)。

三、實(shí)踐反饋與感悟

上述課例設(shè)計(jì)先后進(jìn)行過兩次教學(xué)實(shí)踐，我們都在課后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了非結(jié)構(gòu)化的采訪，讓學(xué)生談?wù)勛约旱膶W(xué)習(xí)體會(huì)。學(xué)生的反饋主要?dú)w納為四個(gè)方面：（1）從考察特殊直角三角形具有的邊角關(guān)系出發(fā)，猜想一般直角三角形是否存在這樣的關(guān)系，讓我學(xué)會(huì)了類比遷移，以后能發(fā)現(xiàn)更多的數(shù)學(xué)知識(shí)；（2）在探究直角三角形三邊所構(gòu)成的6個(gè)比值與角之間具有的函數(shù)關(guān)系的過程中，我明白了學(xué)習(xí)概念需要理解它的本質(zhì)，不僅要知道“是什么”，還應(yīng)明白“為什么”；（3）感覺自己不只是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，還在研究數(shù)學(xué)問題，有成就感；（4）整個(gè)學(xué)習(xí)過程是在問題驅(qū)動(dòng)下進(jìn)行的，老師沒有代替我們思考和解決問題，有自主體驗(yàn)和感悟的樂趣。可見，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)能夠較好地落實(shí)預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)。

通過上述課例設(shè)計(jì)的實(shí)踐，筆者認(rèn)識(shí)到，“5E”模式的5個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)了一節(jié)課中學(xué)習(xí)過程的5個(gè)層次：激活階段是具體感知，探究階段是初步抽象，解釋階段是尋求關(guān)系，闡述階段是關(guān)系比較，評(píng)價(jià)階段是反思提升。學(xué)生經(jīng)歷這5個(gè)層次的認(rèn)知發(fā)展，不僅知道“是什么”，也不是簡(jiǎn)單地被告知“為什么”，而是從做和探究中去解釋和闡述“為什么”，達(dá)到知識(shí)的本質(zhì)理解，直至遷移和創(chuàng)新。

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