摘 要：歷史上數(shù)學(xué)家給出過的多種線面垂直判定定理的證明可以讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)、不斷創(chuàng)新的精神，對于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力有一定的價(jià)值。從HPM視角設(shè)計(jì)“線面垂直判定定理”一課的教學(xué)：通過身體與地面的位置關(guān)系，引出線面垂直的概念；激發(fā)需求后，利用實(shí)物操作驗(yàn)證（演示），引出線面垂直的判定定理；引導(dǎo)學(xué)生利用歷史上的勾股定理方法和等腰三角形三線合一方法證明線面垂直的判定定理，并播放微視頻，印證學(xué)生的方法，介紹其他的方法；在練習(xí)鞏固的過程中，介紹鱉臑這一中國古代數(shù)學(xué)中的線面垂直模型。課后反饋表明，這樣的教學(xué)取得了較好的效果。

關(guān)鍵詞：HPM 線面垂直判定定理 證明 模型

“線面垂直”是滬教版高中數(shù)學(xué)教材第14章第3節(jié)“空間直線與平面位置關(guān)系”第一課時(shí)的內(nèi)容。教材基于重視幾何直觀，適當(dāng)引入公理化思想體系以及合情推理與邏輯推理并重的考量，從現(xiàn)實(shí)情境中的旗桿與地面垂直引入線面垂直的概念，然后直接給出線面垂直的判定定理，沒有進(jìn)行嚴(yán)格證明（人教版教材和蘇教版教材也沒有進(jìn)行嚴(yán)格證明，只是給出了折紙的驗(yàn)證）。這種“直觀感知、操作確認(rèn)、歸納總結(jié)”的方式雖然能夠減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，但是會讓學(xué)生將信將疑，不利于培養(yǎng)的學(xué)生邏輯推理能力。

其實(shí)，歷史上數(shù)學(xué)家曾先后給出過多種線面垂直判定定理的證明。這些證明可以讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)、不斷創(chuàng)新的精神，對于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力有一定的價(jià)值。有鑒于此，我們嘗試從HPM視角設(shè)計(jì)本節(jié)課的教學(xué)，并且擬定如下教學(xué)目標(biāo)：（1）通過判斷命題掌握線面垂直的定義，通過探索證明理解線面垂直的判定定理；（2）培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理能力，體會化歸的數(shù)學(xué)思想；（3）感悟數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)習(xí)信心。

一、歷史材料梳理

（一）線面垂直的概念

《幾何原本》第11卷最早給出了線面垂直的定義：“一直線和一個(gè)平面內(nèi)所有與它相交的直線都成直角時(shí)，則稱此直線與平面成直角?！?8世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家克萊羅（A.A.Clairaut，1713～1765）在《幾何基礎(chǔ)》中首先給出線面垂直定義的直觀解釋，即“一條直線不向平面上的任何一面傾斜”，從而引出線面垂直的定義，即“直線與平面上任意直線垂直”。

（二）線面垂直判定定理的證明

歐幾里得通過構(gòu)造兩個(gè)三棱錐，證明五組三角形全等，從而證明線面垂直判定定理，過程嚴(yán)謹(jǐn)?shù)珶┈?。克萊羅給出了判定定理的直觀解釋，但是未給出其嚴(yán)格證明。18世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家勒讓德（A.M.Legendre，1752～1833）采用了勾股定理與中線定理相結(jié)合的方法來證明判定定理。19世紀(jì)，蘇格蘭數(shù)學(xué)家普雷菲爾（J.Playfair，1748～1819）在《幾何基礎(chǔ)》中采用了等腰三角形法來證明定理；塔潘（Tappan）在《平面與立體幾何》中采用了對稱法來證明定理；巴爾托爾（Bartol）在《立體幾何基礎(chǔ)》中采用了引理法。20世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪（J.S.Hadamard，1865～1963）采用了另一種引理法。

（三）中國古代數(shù)學(xué)中的線面垂直模型

《九章算術(shù)·商功》給出了塹堵、陽馬和鱉臑的體積計(jì)算公式。塹堵是底面為直角三角形的直棱柱，陽馬是底面為長方形、一條棱垂直于底面且過底面頂點(diǎn)的四棱錐體，鱉臑是四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐。若將一個(gè)正方體斜剖，就得兩個(gè)塹堵；若斜剖一個(gè)塹堵，就得一個(gè)陽馬和一個(gè)鱉臑。塹堵、陽馬和鱉臑都可以看作線面垂直的模型。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

（一）形象感悟，引出概念

教師先通過身體與地面的位置關(guān)系，讓學(xué)生直觀感受線面垂直，再通過身體的傾斜變化，讓學(xué)生初步認(rèn)識線面垂直就是直線不能向任何一個(gè)方向傾斜，從而啟發(fā)學(xué)生說出線面垂直的概念，并對學(xué)生的不同觀點(diǎn)引導(dǎo)分析，最后得出正確的概念——

師 同事都說我看起來比較高，但我的身高實(shí)際上沒那么高，大家知道原因嗎？（學(xué)生搖頭。）

師 這大概是因?yàn)槲业难Φ帽容^直。我現(xiàn)在站在教室里，如果把我的身體看成一條直線，把地面看作一個(gè)平面，那么直線與平面的位置關(guān)系是什么？

生 （齊）垂直。

師 為什么垂直呢？或者說，直線與平面垂直指的是什么？

（學(xué)生思考。）

師 如果我把身體前傾或后仰或左搖或右擺，那么身體還和地面垂直嗎？

生 不垂直。

師 所以換一種方式理解，線面垂直就是直線不能向平面的任何一個(gè)方向傾斜，也就是直線和平面的任何一個(gè)方向——

生 垂直。

師 下面請大家總結(jié)線面垂直的概念。

生 如果直線l與平面α上所有的直線都垂直，則稱直線l垂直于平面α。

生 如果直線l與平面α上任意一條直線都垂直，則稱直線l垂直于平面α。

生 如果直線l與平面α上無數(shù)條直線都垂直，則稱直線l垂直于平面α。

師 前兩位同學(xué)給出的概念等價(jià)嗎？

生 等價(jià)。平面上所有的直線與任意一條直線意義相同。

師 那么，第三位同學(xué)得出的概念與前兩位同學(xué)得出的概念等價(jià)嗎？

生 不同。

師 為什么不同？

生 無數(shù)條直線不一定包括所有的直線。

師 那么第三位同學(xué)給出的概念合理嗎？

生 不合理?？梢哉页鲆粭l直線和平面上無數(shù)條平行直線垂直，但是該直線并不與該平面垂直。

師 非常好！所以我們最終得出線面垂直的概念：如果直線l與平面α上所有的直線（或任意一條直線）都垂直，則稱直線l垂直于平面α。這個(gè)概念源自古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》。

（二）再次判斷，激發(fā)需求

教師讓學(xué)生重新判斷身體與地面的位置關(guān)系，進(jìn)而說明用定義很難證明線面垂直，從而激發(fā)尋找線面垂直判定定理的需求——

師 學(xué)習(xí)了線面垂直的概念。我想再問大家一個(gè)問題：我現(xiàn)在站在這里，和地面真的垂直嗎？

生 不一定。

師 對的，直觀的觀察并不能說明直線和平面垂直，所以要判斷直線和平面是否垂直，需要進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。那么如何證明呢？可以用定義證明嗎？

生 不可以。

師 為什么？

生 有無數(shù)多條直線，不可能一一驗(yàn)證。

師 對的，我們面臨的困難是要驗(yàn)證的直線有無數(shù)條。所以，要證明直線和平面垂直，我們需要尋找一個(gè)更為簡捷的判定定理：如果要驗(yàn)證的直線是有限條，那么就可以一一驗(yàn)證了。

（三）直觀驗(yàn)證，引出定理

教師從最簡單的情況出發(fā)，逐步引導(dǎo)學(xué)生利用實(shí)物操作驗(yàn)證（演示），直觀地得出線面垂直的判定定理——

師 我們從最簡單的情況開始：假如直線l與平面α上的一條直線l′垂直，那么直線l是否垂直于平面α？

生 直線l可以在平面α上與直線l′垂直，所以一條不可以。

師 兩條是否可以？

生 兩條平行的不可以，原因與一條相同。

師 兩條相交的呢？可以用鉛筆或書本演示看看。

（學(xué)生用三支鉛筆演示，如圖1。）

師 用鉛筆演示的結(jié)果好像可以，但還是有缺陷：不穩(wěn)定、不精確。（演示，如圖2）大家看，將翻開的課本直立于桌面上，將課本的底邊看作桌面上兩條相交的直線，將課本的棱看作與底邊兩條相交直線垂直的直線，很顯然，棱與桌面垂直。由此就形象地驗(yàn)證了，如果一條直線與平面上兩條相交的直線垂直，則該直線與平面垂直。這個(gè)直觀驗(yàn)證的辦法源自18世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家克萊羅的著作《幾何基礎(chǔ)》。

（四）基于歷史，證明定理

師 驗(yàn)證了線面垂直的判定定理，怎么證明它呢？

（學(xué)生思考。）

師 已知AB⊥AC，AB⊥AD，AE為平面ABC內(nèi)（加重語氣）任意一條直線，則根據(jù)線面垂直的概念，證明的目標(biāo)就是——

生 AB⊥AE。

師 這也可以說明立體幾何中的線面垂直與平面幾何中的線線垂直是相互轉(zhuǎn)化、相互依賴的。（

出示圖3）連接BC，連接BD，設(shè)CD與AE交于點(diǎn)E，下面該怎么證明呢？你有什么思路？

圖3

生 勾股定理。

生 等腰三角形三線合一。

生 向量。

師 沒錯，這些都是平面幾何中證明線線垂直的常見思路。歷史上數(shù)學(xué)家也用前兩種思路證明了線面垂直的判定定理——向量方法因?yàn)槌霈F(xiàn)得比較晚，所以早期沒被想到。我們先看勾股定理的證法，它是證明

AB2+AE2=BE2。我們總可以實(shí)現(xiàn)E為CD的中點(diǎn)，由此我們就可以利用三角形中線長或者平行四邊形對角線長的有關(guān)結(jié)論，你想到方法了嗎？

生

由平行四邊形定理可知：2AC2+2AD2=CD2+4AE2，2BC2+2BD2=CD2+4BE2，

兩式相減，得2（BC2-AC2）+2（BD2-AD2）=4（BE2-AE2）。因?yàn)锳B⊥AC，AB⊥AD，所以BC2-AC2=AB2，BD2-AD2=AB2。綜上，2AB2+2AB2= 4（BE2-AE2），即AB2=BE2-AE2，即AB2+AE2=BE2，所以

AB⊥AE。

師 在近代的數(shù)學(xué)教材中，利用等腰三角形三線合一的思路證明的方法流傳最為廣泛。下面我們嘗試用該方法證明，首先我們要構(gòu)造三角形使AB、AE所在直線一條為底邊，一條為中線，然后我們要證明所構(gòu)造的三角形為等腰三角形，從而根據(jù)等腰三角形三線合一即可證明AB⊥AE。那么，我們?nèi)绾螛?gòu)造符合要求的三角形呢？

生 （出示圖4）作點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)E′，連接BE′、AE′，得△BEE′，此時(shí)AB為中線，AE所在線段EE′為底邊。

圖4

師 非常好，你的想法和最早證明這個(gè)定理的歐幾里得的想法非常接近。但是，僅僅作點(diǎn)E的對稱點(diǎn)并不能證明BE=BE′，我們還需要作點(diǎn)C、D關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)C′、D′，構(gòu)造兩個(gè)對稱的三棱錐來證明定理。歐幾里得通過證明五組三角形全等最終證明了定理，方法比較復(fù)雜。我們能不能嘗試將歐幾里得的方法加以簡化？剛才構(gòu)造的是以AB為中線的三角形，還可以怎么構(gòu)造？

生 以AE為中線。

師 如何構(gòu)造？

生 作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)B′，連接AB′、B′E，則△BEB′以AE為中線。

師 （出示圖5）僅僅在△BEB′中不能證明BE=BE′，還需要連接B′C、B′D。由此可得的已知條件是什么？

圖5

生 B′C=BC，B′D=BD，B′

A=BA。

師 如何證明BE=B′E？

生 可以采用三角形全等。

師 好，請同學(xué)們嘗試書寫一下證明過程。

生 （板書）證明：已知B′C=BC，B′D=BD，CD=CD，可得△BCD≌△B′CD，所以

SymbolPC@ BCE=B′CE。又因?yàn)锽′C=BC，CE=CE，所以△BCE≌△B′CE，所以B′E=BE。又因?yàn)锳E為三角形的中線，所以AE⊥AB。

（教師帶領(lǐng)學(xué)生倒序分析上述證明過程，從而理清證明的邏輯思路。然后，教師播放關(guān)于線面垂直判定定理歷史的微視頻，將歐幾里得的證明、勒讓德的證明、等腰三角形法、對稱法、引理法以及一種錯誤的證明做進(jìn)一步展示，讓學(xué)生了解定理證明的各種方法由繁及簡的歷史進(jìn)程；又將其與學(xué)生的證明方法相對應(yīng)，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的親近感。）

師 同學(xué)們可以在課后探究向量方法的證明。

（五）練習(xí)鞏固，滲透文化

教師出示如下例題，引導(dǎo)學(xué)生完成，幫助學(xué)生鞏固線面垂直的概念以及判定定理，體會線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化、相互依賴的關(guān)系。

例題 如圖6，幾何體PABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，AM⊥PB，AN⊥PC。

（1）證明：BC⊥平面PAC；

（2）證明：PB⊥MN。

圖6

然后，教師揭示例題圖形所具有的文化內(nèi)涵，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的文化魅力：“同學(xué)們看，它的四個(gè)面全部是直角三角形，中國古代數(shù)學(xué)把這種類型的三棱錐稱為鱉臑。鱉臑是指甲魚的前肢骨，它的形狀可以抽象成三棱錐?！蓖瑫r(shí)，教師展示甲魚的前肢骨，讓學(xué)生真實(shí)感受鱉臑的原型，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)抽象與直觀想象。

三、學(xué)生反饋

課后，我們收集了全班46名學(xué)生對本節(jié)課的反饋信息。

關(guān)于線面垂直概念的理解，74%的學(xué)生理解了線面垂直是直線與平面上所有直線垂直，以及只要直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，就有直線垂直于平面。

看到“線面垂直”時(shí)，學(xué)生想到的內(nèi)容有：數(shù)學(xué)關(guān)系類（35%），如“線線垂直”“線垂直與面內(nèi)任意（所有）直線”；生活實(shí)際類（17%），如路燈、燈塔等；數(shù)學(xué)定理類（15%），如勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等；數(shù)學(xué)家；數(shù)學(xué)老師。

關(guān)于線面垂直判定定理的證明，67%的學(xué)生認(rèn)為有必要去了解線面垂直判定定理的證明方法；46%的學(xué)生認(rèn)為證明方法有點(diǎn)難，但大概能理解，37%的學(xué)生認(rèn)為證明方法難，不太能理解。

關(guān)于線面垂直判定定理的應(yīng)用，59%的學(xué)生能夠通過線面垂直判定定理利用兩把三角尺讓一根木棒垂直于桌面；61%的學(xué)生知道如何利用一根鉛垂線和一把三角尺檢驗(yàn)地板是否水平。

關(guān)于本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想，63%的學(xué)生體會到對稱思想和轉(zhuǎn)化構(gòu)造方法。

關(guān)于本節(jié)課印象最深的內(nèi)容，學(xué)生的高票回答有：講解方法（33%）和證明方法（33%）。

四、教學(xué)反思

本節(jié)課數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值體現(xiàn)如下：讓學(xué)生經(jīng)歷從線面垂直的概念到判定的生成過程，體現(xiàn)“知識之諧”；在證明判定定理的過程中，讓學(xué)生從不同的角度開拓證明的思路，體現(xiàn)“方法之美”；從得出線面垂直的定義到證明線面垂直的判定，學(xué)生都是在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下逐步完成的，

這可讓學(xué)生

體會探究的樂趣，鍛煉數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理能力，體現(xiàn)“探究之樂”和“能力之助”；線面垂直判定定理的證明經(jīng)歷了漫長的歷史以及不斷優(yōu)化的過程，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)、不斷創(chuàng)新的精神，而鱉臑?zāi)Ｐ偷拿Q來源于生活，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家細(xì)致、敏銳的觀察、發(fā)現(xiàn)能力，體現(xiàn)“文化之魅”；讓學(xué)生知道自己的證法與歷史上數(shù)學(xué)家的證明相似，增加學(xué)習(xí)興趣與信心，體現(xiàn)“德育之效”。

總之，在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)過程以及研討活動中，筆者覺得，數(shù)學(xué)史能加深學(xué)生對概念及定理的理解，大大開闊學(xué)生的視野，發(fā)展學(xué)生的思維；豐富的數(shù)學(xué)史料和多樣的呈現(xiàn)方式能讓課堂不再單調(diào)、枯燥，從而讓學(xué)生的頭腦始終處于比較興奮的狀態(tài)。

當(dāng)然，在本次教學(xué)實(shí)踐中還存在一些不足之處。首先，在討論線面垂直判定定理證明路徑的過程中，筆者始終堅(jiān)持讓學(xué)生動手操作并演示報(bào)告，這雖然讓學(xué)生對定理的認(rèn)識更加深刻，但是從課堂整體層面考慮卻降低了整堂課的效率，此處應(yīng)該適當(dāng)融入信息技術(shù)，提高課堂效率。其次，筆者選取的數(shù)學(xué)史料偏多，導(dǎo)致本節(jié)課的容量較大。

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