摘 要：對(duì)高中生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的策略偏向（思辨與算法）和表征偏向（視覺(jué)化和非視覺(jué)化）進(jìn)行調(diào)查分析，結(jié)果表明：學(xué)生在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)明顯傾向于采用算法策略，而較少采用思辨策略；視覺(jué)化表征（圖表）有助于難度較大的問(wèn)題的解決，而對(duì)難度較小的問(wèn)題并未顯示出明顯的作用；學(xué)生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的能力普遍不強(qiáng)。由此，提出相關(guān)教學(xué)建議：思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)并重；重視圖表在應(yīng)用題解決中的作用；重視數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)應(yīng)用題 思辨 算法 視覺(jué)化表征 建模能力

最近20年來(lái)，重視數(shù)學(xué)應(yīng)用（建模）教育在我國(guó)已達(dá)成廣泛共識(shí)，無(wú)論數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、數(shù)學(xué)教材，抑或數(shù)學(xué)課堂教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就評(píng)價(jià)等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，都予以了滲透與實(shí)施，并取得了一定成效。那么，學(xué)生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用（建模）的能力如何呢？

學(xué)生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的能力與學(xué)生解題時(shí)所用的數(shù)學(xué)策略、表征方式等因素有關(guān)。荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾在著作《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中提出了“算法數(shù)學(xué)”與“思辨數(shù)學(xué)”的概念，并舉例詮釋了它們的區(qū)別。“算法”是指為了實(shí)現(xiàn)一個(gè)計(jì)算或解決一個(gè)問(wèn)題的精確指令的有限集合，即計(jì)算方法或計(jì)算訣竅。此外，算法還被廣泛理解為解決問(wèn)題的所有確定步驟。思辨數(shù)學(xué)被稱為概念數(shù)學(xué)，就是動(dòng)態(tài)、辯證地把握概念和體味思辨推理的理論依據(jù)，憑借對(duì)概念的直覺(jué)和數(shù)學(xué)美的啟迪，產(chǎn)生直觀的解題思路方法或做出合情推理決策。澳大利亞學(xué)者Tom Lowrie和Russell Kay研究認(rèn)為，小學(xué)生解決有一定難度或新穎的數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，通常傾向于采用視覺(jué)化的表征方式（主要是圖表），對(duì)于難度較低的題目，則更傾向于采用非視覺(jué)化方式的表征。

依據(jù)上述觀點(diǎn)，本文對(duì)高中生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的策略偏向（思辨與算法）和表征偏向（視覺(jué)化和非視覺(jué)化）進(jìn)行調(diào)查分析，并提出相關(guān)教學(xué)建議。

一、研究方法

（一）調(diào)查對(duì)象

本次調(diào)查研究隨機(jī)選取了廣東省佛山市、廣州市等珠三角地區(qū)普通高中高一、高二、大學(xué)（數(shù)學(xué)教育師范班）階段的學(xué)生作為施測(cè)對(duì)象。其中，高一230人，平均年齡為17歲；高二559人，平均年齡為18歲；大學(xué)130人。

（二）測(cè)試材料

我們選擇了三道背景不同但本質(zhì)相通、可用算法和思辨兩種策略求解同時(shí)解法比較多樣的應(yīng)用題（如下）。問(wèn)題1（測(cè)試對(duì)象：高一230人、高二559人）曾在1999年的一次測(cè)試中使用過(guò)，是一道相對(duì)比較簡(jiǎn)單的“投資問(wèn)題”，學(xué)過(guò)一元一次方程的初中生就能解答，但此題考查的側(cè)重點(diǎn)不在于解題，而在于對(duì)解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題結(jié)果的解釋，即檢驗(yàn)結(jié)果是否符合實(shí)際；問(wèn)題2（測(cè)試對(duì)象：高一230人、高二559人）出自弗賴登塔爾的《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》，問(wèn)題3（測(cè)試對(duì)象：高一230人、高二559人、大學(xué)130人）為張景中院士的《迭代方程與嵌入流》中初等迭代的應(yīng)用題。

問(wèn)題1 今有甲、乙、丙三個(gè)小型投資項(xiàng)目共需投資50萬(wàn)元，原定甲項(xiàng)目的投資數(shù)比乙項(xiàng)目多10萬(wàn)元。現(xiàn)因形勢(shì)變化，要從原定甲項(xiàng)目的投資數(shù)中抽出26萬(wàn)元投入丙項(xiàng)目，使此時(shí)丙項(xiàng)目與原定乙項(xiàng)目的投資數(shù)相同。問(wèn)原定甲項(xiàng)目的投資數(shù)應(yīng)如何確定？

問(wèn)題2 設(shè)有白酒與紅酒各一杯，兩者分量相同。現(xiàn)從白酒杯中舀一匙羹白酒放入紅酒杯中，調(diào)勻后舀回一匙羹酒放入白酒杯中。問(wèn)白酒杯中所含紅酒是否少于紅酒杯中所含的白酒？

問(wèn)題3 一個(gè)容積是0.5升的杯子盛滿剛沏好的茶，通常“喝完”的習(xí)慣是喝掉23后再加滿開(kāi)水。加10次水后認(rèn)為是喝淡了。如果能測(cè)定此時(shí)茶質(zhì)和水的比例為a，簡(jiǎn)稱茶水比，問(wèn)最初的茶水比是多少？

此外，我們?cè)O(shè)置了以下三種信息格式，以便研究表征方式對(duì)解題能力的影響：（1）無(wú)圖式量表（測(cè)試對(duì)象：高一230人、高二176人、大學(xué)130人）；（2）全圖式量表（測(cè)試對(duì)象：高二191人）；（3）單圖式量表（測(cè)試對(duì)象：高二192人）。

（三）研究程序

測(cè)試以書面方式呈現(xiàn)給被試，采用統(tǒng)一的測(cè)試指導(dǎo)語(yǔ)并控制測(cè)試時(shí)間。測(cè)試卷（量表）回收后，對(duì)其進(jìn)行整理，編碼有效問(wèn)題和剔除無(wú)效問(wèn)題：發(fā)放789份完整量表，收回668份有效量表（121份無(wú)效量表集中于高一學(xué)生）；發(fā)放130份只有問(wèn)題3的量表，收回130份有效量表。然后，對(duì)有效量表進(jìn)行評(píng)分。

問(wèn)題1的評(píng)分規(guī)則為：答案正確且說(shuō)理充分得4分；答案正確但說(shuō)理不充分得3分；只列出答案32萬(wàn)元得2分；列方程（組）正確而計(jì)算錯(cuò)誤得1分；完全錯(cuò)誤或空白得0分。

問(wèn)題2的評(píng)分規(guī)則為：答案正確且說(shuō)理充分得4分；答案正確且說(shuō)理時(shí)正確使用特例得3分；答案正確但說(shuō)理不充分得2分；答案正確但無(wú)說(shuō)理得1分；完全錯(cuò)誤或空白得0分。

問(wèn)題3的評(píng)分規(guī)則為：列方程與計(jì)算正確得4分；列方程正確而計(jì)算錯(cuò)誤得3分；只列出正確的茶水比、方程（式）而無(wú)計(jì)算過(guò)程得2分；解題思想正確而列方程（式）錯(cuò)誤（如x1+x×1310÷0.5-x1+x×1310=a，x是最初的茶水比等）得1分；完全錯(cuò)誤或空白得0分。

二、結(jié)果分析

（一）總體水平

對(duì)被試的答題情況進(jìn)行評(píng)分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

可見(jiàn)，每種信息格式中，同年級(jí)學(xué)生問(wèn)題1、2、3的成績(jī)依次遞減，這也說(shuō)明三道題的難度系數(shù)依次遞減（分別為0.54、0.37、0.19）。此外統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，三種信息格式中，高一、高二年級(jí)滿分人數(shù)最多的題目為問(wèn)題2。

在總體水平上，問(wèn)題1的測(cè)試結(jié)果表明，高中生解決應(yīng)用問(wèn)題的能力比1999年并無(wú)顯著進(jìn)步，甚至還有一定退步；問(wèn)題3的測(cè)試結(jié)果表明，大學(xué)生解決應(yīng)用問(wèn)題的能力比高中生強(qiáng)，但仍有待進(jìn)一步提高。

（二）策略偏向

我們基于三道測(cè)試題的共同特點(diǎn)，對(duì)于所有被試解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題所使用的策略做了分類（剔除了解法不明確或沒(méi)有列出具體解法的），并且對(duì)每種策略的使用人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表2。

從p值可知，不同年級(jí)學(xué)生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的策略選擇有顯著差別，大學(xué)生解題策略分布更均勻些。但是，從具體人數(shù)可知，無(wú)論高中生還是大學(xué)生，解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，都偏向于使用有著明確步驟和法則的算法策略，很少會(huì)根據(jù)一般的邏輯法則，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系及特點(diǎn)，進(jìn)行具體分析。

下面，對(duì)被試解決三道測(cè)試題所采用的具體策略（思辨與算法）進(jìn)行分析。

1.問(wèn)題1的解答分析。

對(duì)于問(wèn)題1，被試所采用的主要解法如下：

算法1 設(shè)原定甲項(xiàng)目投資x萬(wàn)元，乙項(xiàng)目投資y萬(wàn)元，丙項(xiàng)目投資z萬(wàn)元，可得x+y+z=50（x≥0），x=y+10（y≥0），z+26=y（z≥0），解得該方程組無(wú)解，則甲項(xiàng)目的投資數(shù)不能確定。

算法2 設(shè)原定甲、乙、丙項(xiàng)目的投資比例分別為x、y、z（x、y、z∈Z*），可得50（x+y+z）=50，50x=50y+10，50z+26=50y，即x+y+z=1，x-15=y， z+1325=y，得x=1625，y=1125，z=-225，由于z<0，則此題無(wú)解。

算法3 設(shè)原定甲項(xiàng)目投資x萬(wàn)元，則原定乙項(xiàng)目投資（x-10）萬(wàn)元，丙項(xiàng)目投資50-（x-10）-x萬(wàn)元，由題意得x-10=50-（x-10）-x+26，得x=32。又因?yàn)榇藭r(shí)原定甲、乙項(xiàng)目共投資32+22=54（萬(wàn)元）>50（萬(wàn)元），不符合題意，故甲項(xiàng)目的投資數(shù)無(wú)法確定。

算法4 設(shè)現(xiàn)在甲、乙、丙項(xiàng)目的投資數(shù)分別為x、y、z萬(wàn)元，則原定甲、乙、丙項(xiàng)目的投資數(shù)分別為x+26、y、z-26萬(wàn)元，可得x+y+z=50， x+26-y=10，y=z，解得x=6，y=22，z=22，因此原定甲、乙、丙項(xiàng)目的投資數(shù)分別為32、22、-4萬(wàn)元，不符合題意，則此題無(wú)解。

思辨 因?yàn)閺募醉?xiàng)目抽出26萬(wàn)元到丙項(xiàng)目，所以此時(shí)丙項(xiàng)目至少有26萬(wàn)元。又因?yàn)楸?xiàng)目與乙項(xiàng)目投資數(shù)相同，所以此時(shí)乙項(xiàng)目至少有26萬(wàn)元。則此時(shí)乙、丙項(xiàng)目至少共有26+26=52（萬(wàn)元）>50（萬(wàn)元），故此題無(wú)解。

在解題過(guò)程中，大部分學(xué)生能夠在理解題意后，根據(jù)甲、乙、丙三個(gè)項(xiàng)目投資金額改變前后的數(shù)量關(guān)系，建立相應(yīng)的方程（組）模型并求解。

超過(guò)半數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)果是因?yàn)闆](méi)有理清數(shù)量關(guān)系，錯(cuò)誤建立方程（組）模型，而不是因?yàn)榍蠼夥匠蹋ńM）的運(yùn)算能力欠缺。

在正確建模的565個(gè)學(xué)生中，有132人對(duì)所求結(jié)果進(jìn)行了檢驗(yàn)；3人注意到項(xiàng)目投資金額為非負(fù)數(shù)，先行求解了三個(gè)項(xiàng)目的原定投資金額的取值范圍； 80人對(duì)“丙項(xiàng)目的原定投資數(shù)為-4萬(wàn)元”有所疑惑，但是并未能夠從已學(xué)知識(shí)中找到相應(yīng)的解答；約有23的學(xué)生并未進(jìn)行檢驗(yàn)。

2.問(wèn)題2的解答分析。

對(duì)于問(wèn)題2，被試所采用的主要解法如下：

算法1 設(shè)原白酒與紅酒的容量均為V L，一匙羹的容量為x L。從白酒杯中舀一匙羹白酒放入紅酒杯后，白酒杯中沒(méi)有紅酒，含有白酒（V-x） L；紅酒杯中含有白酒x L，含有紅酒V L。再?gòu)募t酒杯中舀一匙羹酒放入白酒杯后，白酒杯中含有紅酒xVx+V L，含有白酒V-x+x2x+V=V2x+V（L）；紅酒杯中含有白酒x-x2x+V=xVx+V（L），含有紅酒V-xVx+V=V2x+V（L）。所以，此時(shí)白酒杯中所含紅酒等于紅酒杯中所含白酒。

算法2 設(shè)原白酒與紅酒的容量均為10 mL，一匙羹的容量為2 mL。從白酒杯中舀一匙羹白酒放入紅酒杯后，白酒杯中沒(méi)有紅酒，含有白酒8 mL；紅酒杯中含有白酒2 mL占16，含有紅酒10 mL占56。再?gòu)募t酒杯中舀一匙羹酒放入白酒杯后，白酒杯中含有紅酒2×56=53（mL），含有白酒8+2×16=253（mL）；紅酒杯中含有白酒2-2×16=53（mL），含有紅酒10-2×56=253（mL）。所以，此時(shí)白酒杯中所含紅酒和紅酒杯所含白酒一樣多。

思辨1 設(shè)將兩杯白酒和紅酒分離，則白酒杯中的紅酒是紅酒杯中的紅酒所失去的部分，紅酒杯中的白酒是白酒杯中的白酒所失去的部分。因?yàn)閮删票跏己妥罱K體積相同，所以紅酒杯中紅酒所失去的部分等于白酒杯中的白酒所失去的部分，所以白酒杯中所含紅酒等于紅酒杯中所含的白酒。

思辨2 （雖不嚴(yán)謹(jǐn)，但是巧妙的方法）假設(shè)一匙羹為一杯酒，則將一杯白酒完全倒入紅酒杯中，調(diào)勻后再把紅酒杯中液體的一半倒入白酒杯中，此時(shí)兩杯中的紅、白酒含量相等。

在解題過(guò)程中，大部分學(xué)生認(rèn)為最終白酒杯中所含的紅酒等于紅酒杯中所含的白酒，但是并未給出證明或解釋，可知他們有直觀感知，但是無(wú)法用已學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答。

部分學(xué)生將“舀一匙羹酒”理解成“舀固定比例的酒”，如誤認(rèn)為從紅酒杯中舀一匙羹酒即為舀110的酒，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，可知他們提取題目條件的能力尚有欠缺。

部分學(xué)生沒(méi)有注意兩次舀酒過(guò)程中兩杯酒的總量和其中紅、白酒的分量在變化，如誤認(rèn)為第二次舀酒后白酒杯中酒的總量為（x+V）mL，可知他們不能很好地把握變量的變化。

3.問(wèn)題3的解答分析。

對(duì)于問(wèn)題3，被試所采用的主要解法如下：

算法1 每次“喝完”，茶質(zhì)的量是恒變的，即后一次都是前一次的13，所以加10次水后茶質(zhì)的量是最初的1310。設(shè)最初茶質(zhì)的量是x，則

x×1310

0.5-x×1310=a

，解得x=310×0.5a1+a，于是最初的茶水比

x0.5-x=310a1+a-310a。

算法2 設(shè)最初的茶水比是x，則最初茶質(zhì)的量是0.5×x1+x，所以

0.5×x1+x×1310÷

0.5-0.5×x1+x×1310=a或0.5×x1+x×1310=0.5×a1+a，解得x=310a1+a-310a。

算法3 設(shè)初始茶質(zhì)的量為x，水的量為y，則第一次加水后茶質(zhì)的量為13x，水的量為y+23x；第二次加水后茶質(zhì)的量為132x，水的量為y+23x+23×13x；以此類推，第n次加水后茶質(zhì)的量為13nx，水的量為y+1-13nx。所以第10次加水后茶質(zhì)的量為1310x，水的量為y+1-1310x，故有1310xy+1-1310x=a，化簡(jiǎn)得最初的茶水比xy=310a1+a-310a。

算法4 設(shè)最初的茶水比為x∶y，即最初茶

質(zhì)的量為0.5xx+y L，水的量為0.5yx+y L，則第一次加水后茶質(zhì)的量為0.5xx+y·13L，第二次加水后茶質(zhì)的量為0.5xx+y·13×13L，以此類推，加10次水后茶質(zhì)的量為0.5xx+y·1310 L，則此時(shí)水的量為

0.5-0.5xx+y·1310L，因此0.5x·1310x+y∶

0.5-0.5x·1310x+y=a，求出y=x（1+a）310·a-x，所以x∶y=310a1+a-310a。

思辨 設(shè)最初的茶水比為x，第一次加水后的茶水比為f（x），則有

f（x）=xx+1×0.530.53-xx+1×0.53+23×0.5=x2x+3，故得f2（x）=f（f（x））=f（x）2f（x）+3 =x（32-1）x+32，以此類推，有

fn（x）=f（fn-1（x））=x（3n-1）x+3n

，從而有

f10（x）=x（310-1）x+310=a，可求得x=310a1+a-310a。

在解題過(guò)程中，大部分學(xué)生通過(guò)已學(xué)的知識(shí)，逐步求解每次喝茶時(shí)相應(yīng)的數(shù)值，采用機(jī)械的、模式的方法，可知他們雖然能夠“理解”并“解決”問(wèn)題，但是并未深入思考情境中數(shù)量間的關(guān)系。

無(wú)論是大學(xué)生還是高中生，都有不少被試對(duì)題目中的概念理解不到位，認(rèn)為茶質(zhì)和水的比例中水為12，可知他們閱讀理解能力不強(qiáng)，影響了對(duì)問(wèn)題的分析，導(dǎo)致了解題的困難。

此外，大學(xué)生多數(shù)能夠找到每次喝茶時(shí)茶質(zhì)的量的變化規(guī)律，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，但是不能比較準(zhǔn)確地解決這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題；高中生多數(shù)能夠?qū)︻}目中給出的情況進(jìn)行簡(jiǎn)化，發(fā)現(xiàn)喝茶問(wèn)題的變化規(guī)律，但是不能將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。可知大學(xué)生和高中生解題認(rèn)知水平存在一定的差異。

（三）表征偏向

我們對(duì)高二年級(jí)被試三種信息格式測(cè)試題的成績(jī)進(jìn)行了方差分析，結(jié)果如表3?？梢钥闯?，問(wèn)題1三種信息格式的測(cè)試成績(jī)沒(méi)有顯著差異，問(wèn)題2、3三種信息格式的測(cè)試成績(jī)有顯著差異。

我們又對(duì)問(wèn)題2、3三種信息格式的測(cè)試成績(jī)進(jìn)行了多重分析，結(jié)果如表4（其中的類型0、1、3分別代表無(wú)圖式、單圖式、全圖式三種量表）?？梢钥闯觯辉噯螆D、無(wú)圖、全圖測(cè)試題的成績(jī)依次遞增；問(wèn)題2無(wú)圖和單圖的測(cè)試成績(jī)存在顯著差異，問(wèn)題3無(wú)圖和單圖的測(cè)試成績(jī)不存在顯著差異；問(wèn)題2無(wú)圖和全圖的測(cè)試成績(jī)不存在顯著差異，問(wèn)題3無(wú)圖和全圖的測(cè)試成績(jī)存在顯著差異；問(wèn)題2、3單圖和全圖的測(cè)試成績(jī)存在顯著差異。

三、教學(xué)建議

（一）思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)并重

從表2可以看出，在解決三道測(cè)試題的過(guò)程中，使用算法策略的人數(shù)遠(yuǎn)多于使用思

辨策略的人數(shù)。這反映了學(xué)生在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)明顯傾向于采用算法策略，而較少采用思辨策略。這可能與高考應(yīng)用題的命制和教師應(yīng)用題的教學(xué)有關(guān)。自1993年高考恢復(fù)應(yīng)用題至今，此類題的命制通常不夠靈活，主要考查算法策略。而高中階段應(yīng)試壓力較大，此類題的教學(xué)常常比較僵化，一味重視算法策略：因?yàn)樗惴ú呗杂斜容^明確的步驟和法則，側(cè)重于運(yùn)算，技巧性較低，較容易想到。實(shí)際上，在應(yīng)試的大背景下，教師往往會(huì)通過(guò)反復(fù)訓(xùn)練，要求學(xué)生快速想到規(guī)定的解題方法（一題多解往往成了一種奢侈）。

但是，一味重視算法策略會(huì)限制學(xué)生思維的發(fā)展和創(chuàng)新。數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解法往往具有多樣性。思辨策略雖然和算法策略本質(zhì)相通，但往往更為靈活，注重?cái)?shù)形結(jié)合、動(dòng)靜聯(lián)想、整體把握、辯證思考等，可以帶來(lái)更為簡(jiǎn)捷、創(chuàng)新的解題方法，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，激發(fā)學(xué)生思維的創(chuàng)新。因此，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該注意培養(yǎng)學(xué)生的思辨意識(shí)和能力。弗賴登塔爾指出：“把算法數(shù)學(xué)與思辨數(shù)學(xué)對(duì)立起來(lái)，好像其中之一是巍巍高塔，可以從它的頂峰藐視著另一方，這是不公正的；我們也不能把它們看作是新與舊的對(duì)立?！笨梢?jiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，算法數(shù)學(xué)與思辨數(shù)學(xué)應(yīng)該得到同等的重視。

（二）重視圖表在應(yīng)用題解決中的作用

被試在不同信息格式下的成績(jī)差異表明，視覺(jué)化表征（圖表）有助于難度較大的問(wèn)題3的解決，而對(duì)難度較小和中等的問(wèn)題1、2并未顯示出明顯的作用；單圖式量表的測(cè)試成績(jī)最低，反映了學(xué)生沒(méi)有理解所給圖表的作用，不能根據(jù)有圖表的題目得到啟發(fā)，知識(shí)遷移能力尚待加強(qiáng)。測(cè)試結(jié)果與Tom Lowrie和Russell Kay的研究不完全一致，與普遍的認(rèn)知有一定出入。

隨著多媒體技術(shù)的發(fā)展，知識(shí)（問(wèn)題）呈現(xiàn)方式變得多樣化，視覺(jué)化表征不斷豐富（如思維導(dǎo)圖、概念圖等）。視覺(jué)化表征作為學(xué)習(xí)工具，可以改變認(rèn)知方式，轉(zhuǎn)變認(rèn)知習(xí)慣，促進(jìn)有意義學(xué)習(xí)，以及更好地表達(dá)自身觀點(diǎn)和意見(jiàn)。視覺(jué)化表征作為教學(xué)手段，可以用于仿真化、模擬化的教學(xué)設(shè)計(jì)，將教學(xué)內(nèi)容及其形成的過(guò)程直觀地展示出來(lái)，從而優(yōu)化教學(xué)過(guò)程，豐富教學(xué)可能。在應(yīng)用題解決中，圖表能夠幫助學(xué)生把復(fù)雜的文字信息轉(zhuǎn)換為易于理解的圖形圖像，使其更容易獲取信息，理解題意，找到等量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，從而能夠提高學(xué)生的閱讀能力，而且能讓學(xué)生感受到更多的樂(lè)趣。因此，我們應(yīng)該重視圖表在應(yīng)用題解決中的作用。

（三）重視數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)

上述測(cè)試結(jié)果表明，大學(xué)生與高中生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的能力普遍不強(qiáng)。解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題離不開(kāi)數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模沒(méi)有統(tǒng)一、萬(wàn)靈的方法與模式，但存在一些較為基本的觀念性、總括性內(nèi)容，如一般步驟、思想方法、思維策略和表征方式等。對(duì)此，教師需要進(jìn)行系統(tǒng)講授。特別是對(duì)數(shù)學(xué)建模的初學(xué)者，教師需要對(duì)建模案例的每一個(gè)步驟進(jìn)行詳細(xì)的講解和分析，使其領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程與方法。在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中，教師尤其應(yīng)該有意識(shí)地揭示建?；顒?dòng)中所蘊(yùn)含的思維策略，引導(dǎo)學(xué)生形成和完善建模思維；還要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)同一建模問(wèn)題提出不同的表征方式，并通過(guò)交流和討論，評(píng)價(jià)和調(diào)節(jié)各種建模方式的有效性和可行性。此外，如今國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者都研究了建模能力的水平劃分。教師應(yīng)參考這些水平劃分，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的難易、學(xué)生認(rèn)知的深淺，展開(kāi)分層次、分階段的建模教學(xué)活動(dòng)。這樣，才能更好地提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力。

上述測(cè)試的結(jié)果還表明，學(xué)生建模、求解（解模）后檢驗(yàn)（驗(yàn)?zāi)＃┑囊庾R(shí)相對(duì)比較薄弱。這可能與現(xiàn)今中小學(xué)教材的設(shè)計(jì)處理偏向于理想化有關(guān)：一般采用有相應(yīng)等價(jià)模型的應(yīng)用問(wèn)題，而等價(jià)模型不需要檢驗(yàn)。教材的內(nèi)容安排和習(xí)題設(shè)置有可能使學(xué)生傾向于計(jì)算求得結(jié)果，而對(duì)于結(jié)果是否符合實(shí)際生活的關(guān)注度較低。為了改變此現(xiàn)狀，教學(xué)中的習(xí)題設(shè)計(jì)不應(yīng)該局限于等價(jià)模型的考查，還可以考查一些開(kāi)放性的實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)驗(yàn)?zāi)５闹匾浴?/p>

最后需要指出的是，目前對(duì)于如何設(shè)置測(cè)試題可以更加客觀和充分地測(cè)試被試建模能力水平的研究還很少，希望本文的研究能為建模能力水平的測(cè)試題設(shè)置提供參考。

參考文獻(xiàn)：

[1] 【荷】弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬譯.上海：上海教育出版社，1995.

[2] 張奠宙等.數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引[M].南京：江蘇教育出版社，1994.

[3] 張景中.迭代方程與嵌入流[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?998.

[4] Tom Lowrie，Russell Kay.Relationship between visual and nonvisual solution methods and difficulty in elementary mathematics[J].Journal of Educational Research，2001（4）.

[5] 廖運(yùn)章.數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題解決認(rèn)知心理的實(shí)證研究[D].廣西師范大學(xué)，2000.

[6] 廖運(yùn)章.數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題解決心理機(jī)制的調(diào)查與認(rèn)知分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001（1）.