摘 要：編寫(xiě)高三數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)學(xué)案，在具體設(shè)置例題或習(xí)題時(shí)，教師應(yīng)該充分考慮學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，秉承“跳一下，夠得著”的原則，設(shè)置好變式題，在同類(lèi)型題目之間構(gòu)筑臺(tái)階，在不同類(lèi)型題目之間架設(shè)橋梁，控制好題目之間的梯度，讓思維的“天塹”變“通途”，讓學(xué)生一步一個(gè)腳印地走穩(wěn)了。

關(guān)鍵詞：專(zhuān)題復(fù)習(xí) 學(xué)案編寫(xiě) 變式題 梯度

目前，高三數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)流行的做法是圍繞主題（某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或問(wèn)題類(lèi)）編寫(xiě)學(xué)案，基于學(xué)案展開(kāi)教學(xué)。

在總體編寫(xiě)學(xué)案時(shí)，教師往往會(huì)注意

循序漸進(jìn)的要求，設(shè)置“課前熱身”“課中精析”“課后鞏固”三部分例題或習(xí)題，引領(lǐng)學(xué)生強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)，構(gòu)建內(nèi)容體系，掌握思維方法，提升綜合能力，逐漸與高考要求接軌。但是在具體設(shè)置例題或習(xí)題時(shí)，教師往往會(huì)忽視螺旋上升的規(guī)律，使題目本身難度過(guò)高或題目之間跨度過(guò)大，從而讓學(xué)生的思維遭遇難以逾越的“天塹”，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)效率降低、信心不足。對(duì)此，教師應(yīng)該充分考慮學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，秉承“跳一下，夠得著”的原則，設(shè)置好變式題，控制好題目之間的梯度，讓思維的“天塹”變“通途”，讓學(xué)生一步一個(gè)腳印地穩(wěn)步前進(jìn)。

一、在同類(lèi)型題目之間構(gòu)筑臺(tái)階

編寫(xiě)學(xué)案時(shí)，很多教師往往會(huì)將同類(lèi)型題目放在一起，設(shè)計(jì)為包含多個(gè)小題的一道大題。這時(shí)，教師很容易忽視小題之間的難度變化，讓學(xué)生的思維出現(xiàn)“大跨越”。對(duì)此，我們應(yīng)該從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，通過(guò)變式題串聯(lián)，精心構(gòu)筑臺(tái)階，幫助學(xué)生輕松自然地承接、前進(jìn)。

例如，某一“函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題”學(xué)案設(shè)置的例1的第1小題是：函數(shù)f（x）=（x-1）·sin πx-1（-1率比較高的一道題目，原因在于學(xué)生對(duì)y=1x-1和y=sin πx圖像的關(guān)系

認(rèn)識(shí)不深，從而無(wú)從下手。因此，該學(xué)案設(shè)置了“錯(cuò)誤還原”內(nèi)容，提醒學(xué)生：考察圖像的交點(diǎn)，除了個(gè)數(shù)，還要關(guān)注對(duì)稱(chēng)性。該學(xué)案緊接著設(shè)置的第2小題是：已知函數(shù)f（x）=x2+2x，

f（x-1）+1，

x≤0，

x>0，則當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，方程f（x）=x-15的所有解之和為 。這道分段函數(shù)題目是建立在上述第1小題的基礎(chǔ)上的，本意在于讓學(xué)生通過(guò)思考，將題目轉(zhuǎn)化為“f（x）-x=-15的所有解之和”，進(jìn)而借助圖像發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性，得出結(jié)論。但是，此題與第1小題相比，具有很大的跨越性。首先，理解f（x-1）+1是一個(gè)難點(diǎn)，要將區(qū)間（-1，0]上的圖像向右、向上各平移1個(gè)單位，得到區(qū)間（0，1]上的圖像，再重復(fù)這個(gè)過(guò)程，得到區(qū)間（1，2]上的圖像，從而求得區(qū)間[0，2]上的解析式。事實(shí)上，很多學(xué)生并不能發(fā)現(xiàn)其中的隱含關(guān)系，或注意不到函數(shù)在該區(qū)間上的分段性，思路也就戛然而止了。其次，把f（x）=x-15轉(zhuǎn)化為f（x）-x=-15，從而借助圖像發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性，也是一個(gè)難點(diǎn)。事實(shí)上，不少學(xué)生直接考慮f（x）的圖像與直線y=x-15的交點(diǎn)，這樣就把題目復(fù)雜化了。

對(duì)此，筆者在這兩個(gè)小題之間插入了一個(gè)變式題：已知f（x）是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=x2+2x，則當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，方程f（x）=-15的所有解之和為 。通過(guò)此題，幫助學(xué)生逐步形成利用周期性拓展函數(shù)圖像的意識(shí)，并且養(yǎng)成構(gòu)造結(jié)構(gòu)“f（x）=c（c為常數(shù)）”的習(xí)慣。完成這一變式題后，大多數(shù)學(xué)生都能比較順利地進(jìn)入上述第2小題的思維模式了。

二、在不同類(lèi)型題目之間架設(shè)橋梁

編寫(xiě)學(xué)案時(shí)，很多教師往往會(huì)將不同類(lèi)型題目放在一起，設(shè)計(jì)為連續(xù)出現(xiàn)的多個(gè)大題。這時(shí)，教師很容易忽視

大題之間的內(nèi)容切換，讓學(xué)生的思維出現(xiàn)“急轉(zhuǎn)彎”。對(duì)此，我們應(yīng)該從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，通過(guò)變式題串聯(lián)，巧妙架設(shè)橋梁，幫助學(xué)生輕松自然地銜接、過(guò)渡。

例如，某一“直線與圓的位置關(guān)系”學(xué)案設(shè)置的例3是“以點(diǎn)（1，0）為圓心且與直線mx-y-2m-1=0（m∈R）相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ”，例4是“已知直線4x-3y+a=0上總存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M引圓C：（x-1）2+（y+2）2=4的兩條切線MA和MB，使得∠AMB=60°，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ”。這兩道題目之間思維轉(zhuǎn)折較大。例3考查過(guò)定點(diǎn)的直線與切線的性質(zhì)，例4除了涉及平行直線系與切線的性質(zhì)，還關(guān)聯(lián)點(diǎn)到直線的距離和軌跡思想。學(xué)生完成例3后，轉(zhuǎn)而思考例4，會(huì)感到思維無(wú)法轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生很大的不適應(yīng)。

對(duì)此，筆者在這兩道題目之間插入了一道變式題：已知直線mx-y-2m-1=0（m∈R）與圓C：（x-1）2+y2=14相離，在該直線上任取一點(diǎn)P，過(guò)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，若四邊形PACB面積的最小值為74，則m的值為 。同時(shí)，在教學(xué)中借助以下幾個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）從圖形的幾何性質(zhì)來(lái)分析，四邊形PACB能分解嗎？（2）

Rt△PAC的面積取決于哪條邊？（3）PC何時(shí)最小？你能根據(jù)面積的最小值求出PC的最小值嗎？第一個(gè)問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生將四邊形PACB一分為二，考慮其中Rt△PAC的面積；第二個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注PC，明白只要PC最小，Rt△PAC的面積就最??；第三個(gè)問(wèn)題點(diǎn)出關(guān)鍵，即當(dāng)PC與已知直線垂直時(shí)PC最小，這個(gè)最小值可以由面積求得，進(jìn)而提醒學(xué)生關(guān)注已知直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)與圓心的關(guān)系。由此可以讓學(xué)生意識(shí)到直線與圓相切的問(wèn)題往往要借助于由半徑和切線構(gòu)成的直角三角形來(lái)分析。帶著這樣的意識(shí)去思考例4，學(xué)生就能比較順利地聯(lián)想到將四邊形分割成兩個(gè)含30°角的直角三角形，進(jìn)而得出CM=2rC=4，于是將題目轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)線距”或軌跡問(wèn)題。

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