【編者按】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》突出了數(shù)學(xué)本身的系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)，強(qiáng)調(diào)“整體把握課程”。因此，比課時教學(xué)更突出整體性的“單元教學(xué)”“主題教學(xué)”等“中觀教學(xué)設(shè)計”研究成為熱點(diǎn)。2018年第9期，我們刊發(fā)了華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)任念兵老師的文章《高中數(shù)學(xué)中觀教學(xué)設(shè)計：現(xiàn)狀、問題與對策》。本期，我們繼續(xù)呈現(xiàn)任念兵老師對“高中數(shù)學(xué)中觀教學(xué)設(shè)計”的后續(xù)研究成果——一個章節(jié)型單元的整體規(guī)劃和起始課設(shè)計。

摘 要：以“函數(shù)的基本性質(zhì)”單元為例，闡述如何對章節(jié)型單元進(jìn)行中觀教學(xué)設(shè)計：通過單元整體教學(xué)規(guī)劃，明確邏輯主線；通過單元起始課教學(xué)設(shè)計，呈現(xiàn)研究“圖景”。該單元中觀教學(xué)設(shè)計的基本原則是：數(shù)形結(jié)合，抓住關(guān)鍵詞“關(guān)系”“規(guī)律”。該單元起始課應(yīng)始終圍繞函數(shù)的對應(yīng)法則f這個核心，通過從特殊到一般、從一般到特殊、數(shù)形結(jié)合等手段，多角度地闡釋函數(shù)概念的本質(zhì)和形式，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)表達(dá)能力。

關(guān)鍵詞：中觀設(shè)計 章節(jié)型單元 整體規(guī)劃 起始課 函數(shù)的性質(zhì)

在《高中數(shù)學(xué)中觀教學(xué)設(shè)計：現(xiàn)狀、問題與對策》一文中，筆者根據(jù)內(nèi)容在教材中所處的位置及其內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，將教學(xué)單元分為章節(jié)型單元和整合型單元兩類。對于章節(jié)型單元，中觀教學(xué)設(shè)計的主要任務(wù)是尋找體現(xiàn)單元內(nèi)容內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)的主線（暗線），勾勒出學(xué)習(xí)該單元的“思維導(dǎo)圖”，從而引導(dǎo)學(xué)生掌握研究該單元的基本“套路”。單元起始課對于整個單元教學(xué)具有開宗明義、提綱挈領(lǐng)的作用，是中觀教學(xué)設(shè)計研究的重要課例類型。本文先具體規(guī)劃“函數(shù)的基本性質(zhì)”單元的整體教學(xué)，明確該單元的邏輯主線；再具體設(shè)計“函

數(shù)的基本性質(zhì)”單元的起始課教學(xué)，大致呈現(xiàn)該單元的研究“圖景”。

一、“函數(shù)的基本性質(zhì)”單元的整體規(guī)劃

（一）教學(xué)內(nèi)容分析

對于“函數(shù)”這一概念（數(shù)學(xué)對象），滬教版高中數(shù)學(xué)教材的研究脈絡(luò)如下——（1）界定研究對象：定義函數(shù)概念，指出函數(shù)的三要素（定義域、值域、對應(yīng)法則）；（2）表示研究對象：函數(shù)的三種表示方法（列表法、解析法、圖像法）；（3）研究基本性質(zhì)：奇偶性（對稱性）、單調(diào)性、最值（有界性）、零點(diǎn)；（4）研究特殊模型：常用基本初等函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)）?？傮w來說，函數(shù)部分的研究遵循數(shù)學(xué)對象的一般研究思路，即“定義、表示—分類—性質(zhì)—特例—聯(lián)系與應(yīng)用”，只是在細(xì)節(jié)上略有差異。

滬教版高中數(shù)學(xué)高一第一學(xué)期第3章“函數(shù)的基本性質(zhì)”（章節(jié)型單元）在初中學(xué)習(xí)函數(shù)“變量說”的基礎(chǔ)上，先用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)（“對應(yīng)說”），再從直觀到解析、從具體到抽象研究函數(shù)的性質(zhì)，并從解析的角度理解相關(guān)性質(zhì)；在沒有引入冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)的情況下，以正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)以及它們的線性組合為載體，研究函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值、零點(diǎn)等基本性質(zhì)和圖像特征，體現(xiàn)了函數(shù)研究的基本思路和基本方法。

“函數(shù)的基本性質(zhì)”單元討論的函數(shù)基本性質(zhì)包括：奇偶性、單調(diào)性、最值、零點(diǎn)——周期性不在本單元。要講清楚這些性質(zhì)，需要弄清楚這些性質(zhì)的重要意義：函數(shù)奇偶性的重要性在于，只需要研究自變量大于零的情形，就可以根據(jù)對稱性得到自變量小于零的情形；函數(shù)單調(diào)性的重要性在于，不需要知道函數(shù)的具體性態(tài)，就可以直接依據(jù)單調(diào)性知道函數(shù)值的變化特征，并由此得到函數(shù)的最值等其他性質(zhì)；函數(shù)最值問題是數(shù)學(xué)研究的重要對象，在實(shí)際應(yīng)用中有極其重要的價值；而函數(shù)的零點(diǎn)其實(shí)是利用函數(shù)的性質(zhì)研究方程問題而產(chǎn)生的概念。

要理解這些性質(zhì)的研究順序（奇偶性—單調(diào)性—最值—零點(diǎn)），需要認(rèn)識這些性質(zhì)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)：函數(shù)的奇偶性可以讓研究的工作量減少一半，需要最先研究；函數(shù)的單調(diào)性是研究函數(shù)最值的重要工具，需要在函數(shù)的最值之前研究；而函數(shù)的零點(diǎn)作為函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，應(yīng)該放在最后研究。由此不難發(fā)現(xiàn)，在這些函數(shù)性質(zhì)中，單調(diào)性是重點(diǎn)，同時也是難點(diǎn)。

事實(shí)上，學(xué)生在初中已經(jīng)結(jié)合具體函數(shù)定性地研究過函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值等性質(zhì)；到高中研究函數(shù)的性質(zhì)，一方面是“從定性到定量”，另一方面是豐富內(nèi)容，即用精確量化的符號語言進(jìn)行刻畫，并用于研究各類基本初等函數(shù)及解決問題。

（二）教學(xué)原則規(guī)劃

根據(jù)對“函數(shù)的基本性質(zhì)”單元的內(nèi)容分析，筆者規(guī)劃了該單元的中觀教學(xué)設(shè)計的基本原則：

（1）數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生整體把握函數(shù)研究的基本方法。既要根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)準(zhǔn)確地掌握函數(shù)的圖像特征，又要借助函數(shù)的圖像特征直觀地揭示函數(shù)的基本性質(zhì)。

（2）抓住關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生自然地探索函數(shù)的性質(zhì)，整體把握函數(shù)性質(zhì)研究的基本思路。函數(shù)是刻畫事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，是變量之間相互依賴關(guān)系的反映。那么，函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)該是“事物的關(guān)系和規(guī)律”的反映，函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)應(yīng)該以“關(guān)系”“規(guī)律”為關(guān)鍵詞，把自變量“增大”看成一種“規(guī)律”，把自變量“取相反數(shù)”看成一種“關(guān)系”，然后考察相應(yīng)的函數(shù)值出現(xiàn)怎樣的變化規(guī)律（單調(diào)性）或有什么確定不變的關(guān)系（奇偶性）。

下面以函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)為例加以說明。函數(shù)單調(diào)性所研究的問題是：當(dāng)自變量在某個范圍內(nèi)按照“增大”的規(guī)律變化時，函數(shù)值有什么變化規(guī)律？是隨著増大，還是隨著減??？由初中的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合函數(shù)圖像，學(xué)生很容易理解函數(shù)單調(diào)性的定性刻畫。這里的任務(wù)是要把它提升為定量刻畫，做法是從具體到抽象，先以簡單的二次函數(shù)為載體給出示范，再讓學(xué)生通過模仿性練習(xí)進(jìn)行體會，最后給出精確的符號語言。因?yàn)椤霸龃蟆薄皽p小”涉及大小關(guān)系，所以自然要采用不等式語言。在這個過程中，要通過圖像直觀，而且涉及“任意”，所以可以培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)；要把定性刻畫提升為定量刻畫，所以可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；在解決單調(diào)性的具體問題中，需要大量的推理、運(yùn)算，所以可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)。

二、“函數(shù)的基本性質(zhì)”單元的起始課設(shè)計

（一）教學(xué)內(nèi)容解析

《函數(shù)的概念》是“函數(shù)的基本性質(zhì)”單元的起始課，揭示了這一單元的研究對象和研究方法，為函數(shù)關(guān)系的建立和函數(shù)性質(zhì)的研究做好知識和方法的準(zhǔn)備。

首先，用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，將“自變量的取值范圍”明確為“非空實(shí)數(shù)集D ”，將“依賴關(guān)系”明確為“對應(yīng)法則f ”，將依賴關(guān)系的特征“變量y隨著x的變化而變化”明確為對應(yīng)法則f的特征“對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的實(shí)數(shù)值與它對應(yīng)”，更準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟沂竞瘮?shù)的本質(zhì)特征。這是函數(shù)關(guān)系的建立和函數(shù)性質(zhì)研究的基礎(chǔ)。

其次，用抽象的符號y=f（x），x∈D高度概括函數(shù)的一般結(jié)構(gòu)，反映兩個數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在關(guān)系和變化規(guī)律，表明函數(shù)的核心要素，從而便于函數(shù)性質(zhì)的研究：f表示一種對應(yīng)法則，可以是一個數(shù)學(xué)運(yùn)算的符號，作用到x就得到一個結(jié)果y；也可以是一個圖像、一個表格，從圖、表中可以比較直觀地看出x與y之間的對應(yīng)關(guān)系。

最后，給出函數(shù)的三種表示方法（尤其是圖像法和解析法），為函數(shù)性質(zhì)的研究提供重要的工具和方法：函數(shù)的圖像從幾何直觀上反映了函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的解析式可以從代數(shù)上嚴(yán)格推導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合、相得益彰。

因此，本節(jié)課的主要教學(xué)目標(biāo)是：從實(shí)例中抽象概括出函數(shù)的定義并用符號y=f（x），x∈D表示函數(shù)；理解函數(shù)的概念和符號y=f（x），x∈D的意義；熟悉函數(shù)的表示方法（列表法、圖像法和解析法）；會求一些具體的函數(shù)值和簡單函數(shù)的定義域；能判斷兩個函數(shù)是否為相同的函數(shù)。

（二）教學(xué)過程設(shè)計

1.復(fù)習(xí)回顧，提出問題。

師 日常生活中處處存在著量與量之間的依賴關(guān)系。函數(shù)是刻畫從一個變量的信息推知另一個與之有相互依賴關(guān)系的變量的信息的數(shù)學(xué)模型。同學(xué)們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過“函數(shù)”，請舉幾個函數(shù)的例子。

（師生一起回顧初中的函數(shù)定義。）

[設(shè)計意圖：通過舉例，回顧初中函數(shù)定義的“變量說”，聯(lián)系學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，實(shí)現(xiàn)與初中內(nèi)容的銜接與過渡，并作為引進(jìn)新概念的切入口。]

問題1：判斷下列各情境中的兩個變量之間的關(guān)系是不是函數(shù)關(guān)系。

（1）中國體育代表團(tuán)參加近幾屆亞運(yùn)會獲得的金牌數(shù)y（枚）隨參賽年份x變化的情況。如表1所示。

（2）上海市今年8月上半月每天的最高氣溫T（℃）隨日期t變化的情況。如圖1所示。

（3）出租車車費(fèi)y（元）與行車?yán)锍蘹（千米）之間的關(guān)系。上海的出租車價格規(guī)定：起步價14元，可行3千米；以后再行12千米，按每千米2.5元計價；再以后都按每千米3.75元計價（假設(shè)每一次乘車的車費(fèi)由行車?yán)锍涛ㄒ淮_定）。

[設(shè)計意圖：針對具體的實(shí)例，通過分析“自變量”“因變量”和“確定的依賴關(guān)系”，歸納提煉出“對應(yīng)關(guān)系”（對應(yīng)法則）。]

2.歸納抽象，建構(gòu)概念。

師 “確定的依賴關(guān)系”其實(shí)是指由自變量x可以“確定”因變量y，或者說有“確定”的y值與x——

（預(yù)設(shè)學(xué)生回答：對應(yīng)。）

師 很好，“依賴關(guān)系”可以改為更精確的語言（預(yù)設(shè)學(xué)生回答：對應(yīng)關(guān)系），需要按照一定的規(guī)則（預(yù)設(shè)學(xué)生回答：對應(yīng)法則）來體現(xiàn)?！按_定”二字反映了這種“對應(yīng)關(guān)系”的特點(diǎn)，什么量確定？如何確定？

問題2：函數(shù)的對應(yīng)法則具有怎樣的特點(diǎn)？

[設(shè)計意圖：明確對應(yīng)法則的特征（“對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)”）和對應(yīng)法則的適用范圍（定義域），分散難點(diǎn)，為歸納抽象出函數(shù)的“對應(yīng)說”定義做鋪墊。]

師 對比初中的函數(shù)定義，“依賴關(guān)系”明確為“對應(yīng)法則”，“確定”揭示的是對應(yīng)法則的上述特點(diǎn)，x的“取值范圍”用實(shí)數(shù)集D表示。

問題3：你能用更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言來定義函數(shù)嗎？

[設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生在歸納問題1情境中函數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)上，用集合和對應(yīng)的語言來解釋函數(shù)的“變量說”定義，總結(jié)出函數(shù)的“對應(yīng)說”定義，順勢給出定義域、值域的定義，點(diǎn)明“對應(yīng)說”觀點(diǎn)下函數(shù)概念的本質(zhì)：“由實(shí)數(shù)集（定義域）到實(shí)數(shù)集（值域）的一個唯一確定的對應(yīng)關(guān)系?！盷

師 f是英文function（原始的意思是“作用”）的縮寫，y就是對應(yīng)法則作用于x產(chǎn)生的結(jié)果，記為y=f（x），x∈D。

問題4：函數(shù)的表示方法主要有哪些？

師 請同學(xué)們分組討論情境3中函數(shù)的解析式，并作出該函數(shù)的大致圖像。

（請兩位學(xué)生板演。）

[設(shè)計意圖：從抽象的符號到具體的表示方法——列表法、圖像法和解析法，與問題1中三種情境相呼應(yīng)。比較三種表示方法的各自特點(diǎn)，深化對函數(shù)對應(yīng)法則的認(rèn)識。]