摘 要：建模是求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的重中之重。建立數(shù)學(xué)模型的難點(diǎn)是變量的引入與變量關(guān)系的處理。在《應(yīng)用題求解策略》研討課中，采用稚化思維，讓學(xué)生通過動(dòng)手操作，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)、感悟影響目標(biāo)函數(shù)變化的動(dòng)因；通過引入不同變量的差異分析，進(jìn)行一題多解，讓學(xué)生體會(huì)設(shè)置不同變量、建立不同目標(biāo)函數(shù)對(duì)解題難易程度的影響，說明適當(dāng)引入變量的重要性。在應(yīng)用題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，應(yīng)該堅(jiān)持“思維教學(xué)”，促進(jìn)“深度學(xué)習(xí)”，把應(yīng)用題教學(xué)變成數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用題教學(xué) 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng) 變量設(shè)置 目標(biāo)函數(shù)

江蘇高考數(shù)學(xué)試卷一直堅(jiān)持將應(yīng)用問題以解答題的形式呈現(xiàn)，突出考查分析問題、解決問題的能力。但時(shí)至今日，應(yīng)用題的教學(xué)依然是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的軟肋，很多學(xué)生懼怕應(yīng)用題，很多教師對(duì)此也缺乏很好的對(duì)策。

針對(duì)這種情況，我市高中數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)軍人才團(tuán)隊(duì)在一所省四星級(jí)重點(diǎn)高中舉行“應(yīng)用題教學(xué)”專題研討活動(dòng)。筆者作為團(tuán)隊(duì)中的一員，開設(shè)了《應(yīng)用題求解策略》的研討課。本文結(jié)合這節(jié)課的教學(xué)過程，從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度，談?wù)劰P者對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)的構(gòu)想與反思，供同仁研討。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）課題內(nèi)容的選擇

求解常規(guī)數(shù)學(xué)應(yīng)用題，一般由審題、建模、解模與還原四大環(huán)節(jié)構(gòu)成。從已有的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)看，前三個(gè)環(huán)節(jié)都是教學(xué)的難點(diǎn)，但是一節(jié)課的時(shí)間很難破解三個(gè)難點(diǎn)問題。對(duì)于高三三輪復(fù)習(xí)，宜采用“微專題”的形式，緊緊圍繞復(fù)習(xí)的重難點(diǎn)設(shè)計(jì)問題，切實(shí)解決學(xué)生的實(shí)際困難，力求難點(diǎn)問題分散突破。建模是求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的重中之重，自然應(yīng)該成為本節(jié)課教學(xué)的核心內(nèi)容。

（二）典型例題的選擇

由于是借班上的高三三輪復(fù)習(xí)課，學(xué)生上課前已經(jīng)解決過大量的應(yīng)用問題。為了防止提出的問題與學(xué)生已經(jīng)解決的問題重復(fù)，無法使教學(xué)達(dá)到預(yù)期效果，筆者自編了一道操作應(yīng)用題，通過課堂上師生的合作探究，開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，來完成教學(xué)任務(wù)。

（三）教學(xué)方法的選擇

建立數(shù)學(xué)模型的難點(diǎn)是變量的引入與變量關(guān)系的處理。教學(xué)中，采用稚化思維的手段，讓學(xué)生通過動(dòng)手操作，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)、感悟影響目標(biāo)函數(shù)變化的動(dòng)因；通過引入不同變量的差異分析，進(jìn)行一題多解，讓學(xué)生體會(huì)設(shè)置不同變量、建立不同目標(biāo)函數(shù)對(duì)解題難易程度的影響，說明適當(dāng)引入變量的重要性。同時(shí)，通過使用不同模塊的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決同一數(shù)學(xué)問題，打破學(xué)生的思維定式，拓展學(xué)生的思維程式。

二、教學(xué)實(shí)錄

（一）情境引入

師 應(yīng)用題是高考數(shù)學(xué)的必考題型，很多同學(xué)都感覺應(yīng)用題難做。今天，我想讓同學(xué)們輕松一下，一起來回憶小學(xué)、初中解應(yīng)用題的經(jīng)歷，看看這些經(jīng)歷能給我們什么啟示。（稍停）在小學(xué)低年級(jí)的時(shí)候，有這樣的應(yīng)用題——二年級(jí)1班有54人，2班有48人，請(qǐng)問：（1）兩班一共有多少人？（2）1班比2班多多少人？這道題想讓我們弄清什么問題？

生 什么時(shí)候用加法，什么時(shí)候用減法。

師 對(duì)了，當(dāng)初的小小少年最大的困惑就是“何時(shí)用加”“何時(shí)用減”，而這正是我們解應(yīng)用題首先要解決的問題——（板書）“理清數(shù)量關(guān)系”。（稍停）在小學(xué)高年級(jí)的時(shí)候，還有這樣的問題：小紅購買2支鉛筆和3支圓珠筆花去8元錢，小明購買同樣的3支鉛筆和3支圓珠筆花去9元錢，問購買1支鉛筆和1支圓珠筆各需要多少元錢？作為小學(xué)生的你是如何解決的呢？

（三）總結(jié)提升

師 應(yīng)用題的求解，關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)模型的選擇，而模型選擇的關(guān)鍵又在于變量的選擇，以及數(shù)量關(guān)系的挖掘。對(duì)于這道題，通過努力，我們從不同的角度（選邊、選角、選點(diǎn)）設(shè)置了不同的變量，挖掘了不同的數(shù)量關(guān)系，得到了S△DEP的三種不同表示方式，同時(shí)體會(huì)到三種方式不同的難易程度。下面的任務(wù)就是利用導(dǎo)數(shù)工具，研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，檢驗(yàn)第一位學(xué)生答案的真?zhèn)?。由于時(shí)間關(guān)系，請(qǐng)同學(xué)們課后完成，同時(shí)也請(qǐng)同學(xué)們體會(huì)不同函數(shù)模型求解的不同難易程度。（稍停）通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們想一想：處理最優(yōu)化應(yīng)用題的一般步驟是什么呢？

生 首先要讀懂題目意思，分清條件和目標(biāo)，弄清數(shù)量關(guān)系；其次要根據(jù)題目的條件和目標(biāo)設(shè)置變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并且要注意變量的限制條件；再次就是利用單調(diào)性、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等工具求解數(shù)學(xué)結(jié)論；最后還要根據(jù)實(shí)際問題進(jìn)行回顧，看看有沒有需要舍去的解，并且不要忘記作答。

師 總結(jié)得很完整。我們可將其概括為：理順數(shù)量關(guān)系、識(shí)別知識(shí)模塊、尋找問題動(dòng)因、巧設(shè)動(dòng)因變量、建立目標(biāo)函數(shù)、規(guī)范求解作答。希望同學(xué)們能增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”。

三、教學(xué)反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)，包括高三復(fù)習(xí)應(yīng)用題教學(xué)，應(yīng)該注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為學(xué)生的終身發(fā)展奠基。那么，具體應(yīng)該如何落實(shí)呢？

（一）堅(jiān)持“思維教學(xué)”

一線教師每天面對(duì)學(xué)生的基本任務(wù)是幫助學(xué)生把一個(gè)個(gè)具體知識(shí)理解到位并能用于解決問題，這是實(shí)實(shí)在在的事情。章建躍博士認(rèn)為：在這種日常平凡的數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)中，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科“理性思維”的特色，堅(jiān)持“思維的教學(xué)”就是落實(shí)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根本途徑。鄭毓信教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本含義在于，我們應(yīng)當(dāng)通過數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，并使他們逐步學(xué)會(huì)思考得更清晰、更深入、更全面、更合理。

思維是在表象的基礎(chǔ)上，利用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行分析、綜合、聯(lián)系、比較、抽象和概括，形成概念、判斷和推理等認(rèn)識(shí)活動(dòng)的過程。本節(jié)課從一個(gè)折紙實(shí)驗(yàn)開始，通過“你能提出什么問題”，激活學(xué)生的參與欲望，讓學(xué)生觀察現(xiàn)象，提出問題，形成對(duì)問題的抽象與概括；再通過“嘗試在折疊的過程中尋找問題的答案”，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象力，并初步形成對(duì)目標(biāo)成因的分析與綜合，為問題的數(shù)學(xué)化鋪平道路；又通過“這些結(jié)論是否正確”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理與判斷，通過一題多解，把學(xué)生的思維活動(dòng)引向縱深，推向高潮，進(jìn)而提升思維層次，發(fā)展思維能力。

（二）促進(jìn)“深度學(xué)習(xí)”

培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的起點(diǎn)是問題解決，落點(diǎn)則是深度學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是教出來的，是在問題情境中通過解決實(shí)踐培育起來的。沒有問題，就難以激發(fā)學(xué)生的求知欲望，難以促進(jìn)學(xué)生的深入思考，這樣的學(xué)習(xí)就只能是表層和形式的。而促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，引領(lǐng)學(xué)生深度思考數(shù)學(xué)問題，反思思維過程，可以幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展思維品質(zhì)，從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。特別地，高三復(fù)習(xí)教學(xué)不應(yīng)該只是對(duì)知識(shí)的再回顧，技能的再鞏固，更應(yīng)該是系統(tǒng)知識(shí)的再建構(gòu)，學(xué)習(xí)能力的再提升，尤其需要通過具有一定思維含量的問題，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷深度學(xué)習(xí)和不斷完善的過程。

傳統(tǒng)的高三大專題復(fù)習(xí)教學(xué)往往只注重知識(shí)的綜合性、方法的靈活性，在復(fù)習(xí)的精細(xì)度、深刻度等方面都存在一定的問題。本節(jié)課不追求解決應(yīng)用題環(huán)節(jié)的面面俱到，而是從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的視角出發(fā)，確立以“數(shù)學(xué)建模”為主題的教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)而創(chuàng)設(shè)具有豐富思維含量的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生不斷深入地開展學(xué)習(xí)活動(dòng)，完善問題的解決。實(shí)踐證明，只有促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，才有利于學(xué)生獲得清晰的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)研究方法、深刻的數(shù)學(xué)理解，從而提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（三）把應(yīng)用題教學(xué)變成數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)

當(dāng)下的高三復(fù)習(xí)應(yīng)用題教學(xué)有很強(qiáng)的應(yīng)試傾向。具體表現(xiàn)為：所有應(yīng)用題的編擬都以高考題為范本，是經(jīng)過適度形式化的數(shù)學(xué)題，有完備、封閉的條件與結(jié)論系統(tǒng)，沒有開放性；課堂教學(xué)也僅以分析問題、

解決問題為目標(biāo)，局限于應(yīng)用意識(shí)的啟蒙，缺乏發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的創(chuàng)造性思維能力培養(yǎng)，與數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)相去甚遠(yuǎn)。

實(shí)際上，不同類型的數(shù)學(xué)問題有著不同的教育功能，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的著力點(diǎn)也有所不同，比如立體幾何題側(cè)重培養(yǎng)空間想象能力與推理論證能力，解析幾何題側(cè)重提高運(yùn)算求解能力，概率與統(tǒng)計(jì)題偏向發(fā)展數(shù)據(jù)分析能力。而應(yīng)用題作為數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中應(yīng)用的題型，其核心價(jià)值就是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力。因此本節(jié)課在教學(xué)設(shè)計(jì)之初，筆者就摒棄了那種“給出變量設(shè)置，只需建模求解”的應(yīng)試題型，通過折紙實(shí)驗(yàn)的開放性提問，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)提出問題、分析解決問題，感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，把應(yīng)用題的解題教學(xué)變成數(shù)學(xué)建模的思維活動(dòng)。

從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的層面來看，六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既相互獨(dú)立，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)的整體。數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)作為一項(xiàng)創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，在有效培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立、自覺運(yùn)用所學(xué)理論知識(shí)，探索解決實(shí)際問題的同時(shí)，也必然會(huì)使學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能等得到加強(qiáng)，運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間觀念等得到提高，數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)得到逐步提升?？梢哉f，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)全面指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

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