【編者按】 我刊于2017年第8期、第10期、第11期分別刊發(fā)了南京師范大學(xué)附屬中學(xué)劉明老師等的文章《促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)探究的課程資源庫建設(shè)概述》《融入課堂的數(shù)學(xué)探究資源庫建設(shè)研究》《源于教材的數(shù)學(xué)探究資源庫建設(shè)研究》。本期繼續(xù)呈現(xiàn)劉明老師、童正卿老師對“促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)探究的課程資源庫建設(shè)”的后續(xù)研究成果。

摘 要：依托研究性學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)探究活動的實(shí)施策略有：在問題提出中培養(yǎng)學(xué)生的研究意識，在試題命制中提高學(xué)生的研究能力，在課題研究中形成學(xué)生的研究規(guī)范。依托研究性學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)探究資源的選材途徑有：重視學(xué)生研究成果，精選教材相關(guān)資源，關(guān)注社會現(xiàn)實(shí)問題。由此，可以分“研究案例”“教材資源”和“選題建議”三個(gè)部分架構(gòu)“依托研究性學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)探究資源庫”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)探究 課程資源 研究性學(xué)習(xí) 實(shí)施策略 選材途徑

建設(shè)促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)探究的課程資源庫，能夠積累更多的探究素材，讓學(xué)生有更多的機(jī)會開展數(shù)學(xué)探究活動。為此，我們從融入課堂的數(shù)學(xué)探究資源庫建設(shè)、源于教材的數(shù)學(xué)探究資源庫建設(shè)、依托研究性學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)探究資源庫建設(shè)三個(gè)方面展開研究。

為了研究依托研究性學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)探究資源庫建設(shè)，我們以課題研究的方式讓學(xué)生經(jīng)歷選題、開題、做題、結(jié)題四個(gè)基本環(huán)節(jié)，指導(dǎo)學(xué)生從自然、社會和生活中選擇和確定研究專題，以類似于科學(xué)研究的方式主動地獲取知識、應(yīng)用知識、解決問題，培養(yǎng)收集、分析和利用信息的能力及邏輯思維與數(shù)據(jù)處理的能力，增強(qiáng)獨(dú)立思考能力與合作交流的能力，從而促進(jìn)實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神的形成。

依托研究性學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)探究資源庫建設(shè)的研究，經(jīng)歷了實(shí)踐操作、反思調(diào)整與總結(jié)提煉的過程，形成了“依托研究性學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)探究活動的實(shí)施策略”“依托研究性學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)探究資源的選材途徑”，架構(gòu)了“依托研究性學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)探究資源庫”。

一、依托研究性學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)探究活動的實(shí)施策略

（一）在問題提出中培養(yǎng)學(xué)生的研究意識

利用類似于研究性學(xué)習(xí)的方式開展課堂教學(xué)，尤其注意引導(dǎo)學(xué)生提出問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的研究意識。

【案例1】“指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計(jì)

“指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用”是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修1“3.1.2指數(shù)函數(shù)”最后一課時(shí)的內(nèi)容。在學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)后，教材給出了3道例題（例4、例5、例6），旨在培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)知識解決實(shí)際問題的能力。

例4 某放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過1年，這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來的84%。寫出這種物質(zhì)的剩留量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式。

例5 某種儲蓄按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，每期利率為r，設(shè)存期是x（x∈N*），本利和（本金加上利息）為y元。

（1）寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果存入本金1 000元，每期利率為2.25%，試計(jì)算5期后的本利和。

（注：復(fù)利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再計(jì)算下一期利息的一種計(jì)算利息方法。）

思考題 在例5中，請借助計(jì)算器解答下列問題：

（1）第幾期后本利和超過本金的1.5倍？

（2）要使10期后的本利和翻一番，利率應(yīng)為多少（精確到0.001）？

例6 2000～2002年，我國國內(nèi)生產(chǎn)總值年平均增長7.8%。按照這個(gè)增長速度，畫出從2000年開始我國年國內(nèi)生產(chǎn)總值隨時(shí)間變化的圖像，并通過圖像觀察到2010年我國年國內(nèi)生產(chǎn)總值約為2000年的多少倍（結(jié)果取整數(shù)）。

如果按部就班地完成這3道例題的教學(xué)，至多也就實(shí)現(xiàn)“知識的重現(xiàn)和簡單的應(yīng)用”的教學(xué)目標(biāo)，對學(xué)生問題意識和研究意識的形成難以起到促進(jìn)作用。為此，我們嘗試“用教材教”而不是“教教材”，通過以下5個(gè)問題讓學(xué)生充分利用已有的數(shù)學(xué)知識和活動經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，并進(jìn)一步分析問題，解決問題，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，促進(jìn)學(xué)生問題意識和研究意識的形成。

問題1 某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過1年，這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來的84%。設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量為1。請你從上面的問題背景出發(fā)提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并加以解決。

學(xué)生經(jīng)過自己的獨(dú)立思考，分別提出了下列問題，并給出了解答：（1）求出這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量（y）隨時(shí)間（x）變化的函數(shù)關(guān)系式；（2）兩年后，這種物質(zhì)的剩留量是原來的多少？（3）多少年后，這種物質(zhì)的剩留量是原來的一半？

問題2 某種儲蓄按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，每期利率為r。請你從上面的問題背景出發(fā)提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并加以解決。

學(xué)生經(jīng)過自己的獨(dú)立思考，分別提出了下列問題，并給出了解答：（1）求出本利和隨期數(shù)變化的函數(shù)關(guān)系式；（2）若a=1000，r=2.25% ，求5期后的本利和；（3）若r=2.25%，幾期后本利和超過本金的1.5倍；（4）經(jīng)過10期后本利和翻了一番，利率應(yīng)為多少？

問題3 上述兩個(gè)問題有什么共同點(diǎn)？從中你能得到什么啟發(fā)？

學(xué)生回答如下：“都是指數(shù)函數(shù)模型。指數(shù)函數(shù)不僅是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型，而且在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用?！?/p>

問題4 統(tǒng)計(jì)資料顯示，2000年～2004年，我國國內(nèi)生產(chǎn)總值的年增長率如表1所示。從這份統(tǒng)計(jì)資料中，你能得到多少關(guān)于我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展的信息？你還能提出哪些相關(guān)的問題呢？

（三）在課題研究中形成學(xué)生的研究規(guī)范

在開題、結(jié)題環(huán)節(jié)，我們會組織開題論證會、結(jié)題論證會，由3～5名教師組成評委會。學(xué)生先匯報(bào)開題報(bào)告或結(jié)題報(bào)告，然后由評委會對其進(jìn)行論證、質(zhì)疑；學(xué)生再對課題進(jìn)行答辯，最終由評委會對課題給出評價(jià)結(jié)果。在選題、做題環(huán)節(jié)，指導(dǎo)教師（一般為學(xué)生的任課教師）對學(xué)生的選題、課題研究的過程進(jìn)行指導(dǎo)。通過這種規(guī)范的課題研究，讓學(xué)生形成研究規(guī)范。

考慮到中學(xué)生缺少真實(shí)的研究經(jīng)驗(yàn)，為了更好地指導(dǎo)他們，我們細(xì)化了整個(gè)流程。比如，在確定研究課題前，讓學(xué)生經(jīng)歷“開題動員會→往屆優(yōu)秀成果展示→初選課題→自由組隊(duì)→選聘導(dǎo)師→制定方案→論證可行性→收集資料→撰寫開題報(bào)告→開題論證會”的研究過程。再如，針對學(xué)生常常會犯選題過大、缺乏可操作性等錯(cuò)誤的情況，為學(xué)生確立“明確性、適切性、數(shù)學(xué)性、可行性”的選題原則。

【案例3】“教室照明的合理化分布”開題過程

首先，課題小組匯報(bào)課題選題和研究方案。具體內(nèi)容如下：

1.課題的提出過程。

（二）精選教材相關(guān)資源

各版本的高中數(shù)學(xué)教材都給出了一些數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)建模的課程資源，這些是讓學(xué)生開展微型研究性學(xué)習(xí)的重要資源。在教學(xué)中，可以利用它們，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有知識開展探究活動。

【案例5】“教育儲蓄的收益與比較”探究活動

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5《等差數(shù)列》一節(jié)結(jié)束后設(shè)置了一個(gè)探究活動。具體內(nèi)容如下：

到附近銀行收集本地區(qū)有關(guān)教育儲蓄的信息，并嘗試解決下面的問題：

（1）依教育儲蓄的方式，每月存50元，連續(xù)存3年，到期時(shí)一次可支取本息共多少元？

（2）依教育儲蓄方式，每月存a元，連續(xù)存3年，到期時(shí)一次可支取本息共多少元？

（3）依教育儲蓄的方式，每月存50元，連續(xù)存3年，到期時(shí)一次可支取本息比同檔次的“零存整取”多收益多少元？

（4）欲在3年后一次支取教育儲蓄本息合計(jì)a萬元，每月應(yīng)存入多少元？

（5）依教育儲蓄的方式，原打算每月存100元，連續(xù)存6年，可是到4年時(shí)，學(xué)生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？

（6）不用教育儲蓄的方式，而用其他的儲蓄形式，以每月可存入100元，6年后使用為例，探討以現(xiàn)行的利率標(biāo)準(zhǔn)可能的最大收益，將得到的結(jié)果與教育儲蓄比較。

（三）關(guān)注社會現(xiàn)實(shí)問題

通過對社會現(xiàn)實(shí)問題的研究性學(xué)習(xí)，運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識和方法以及相關(guān)的信息技術(shù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，來分析問題、解決問題，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的探究意識、探究習(xí)慣等，更重要的是能讓學(xué)生真正地“會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”，從而促進(jìn)其核心素養(yǎng)的形成。這些問題可以是一些熱點(diǎn)問題，如車流量問題、網(wǎng)上購物、網(wǎng)絡(luò)支付、共享單車等；也可以是和學(xué)生生活息息相關(guān)的問題，如教學(xué)樓人員快速疏散、校園內(nèi)草坪澆水方案等。

【案例6】“市內(nèi)路口紅綠燈時(shí)間設(shè)置”問題的研究

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，城市中機(jī)動車的數(shù)量迅速增長，但是道路數(shù)量的增長相對緩慢并且是有限的，交通擁堵成了城市發(fā)展中的一個(gè)重要問題。因此，如何緩解交通堵塞成為一個(gè)值得研究的問題。

為了避免需要考慮的情況過于復(fù)雜，應(yīng)該選擇一個(gè)相對孤立的系統(tǒng)。我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生每天上學(xué)、放學(xué)的路口處是一個(gè)很容易擁堵的地方。不難發(fā)現(xiàn)，路口擁堵的原因之一是沒有根據(jù)車流量合理設(shè)置紅綠燈時(shí)間，造成了車輛的積壓。我們引導(dǎo)學(xué)生對路口紅綠燈時(shí)間設(shè)置問題展開研究性學(xué)習(xí)。

為了便于研究，我們選取學(xué)校附近的南京市察哈爾路與虎踞北路交界口（如圖2）為實(shí)地考察點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生通過有關(guān)數(shù)據(jù)采集和分析，建立一定的數(shù)學(xué)模型，分析造成擁堵的主要原因，進(jìn)而提出解決方案。

②模型應(yīng)用。

我們將在路口采集到的數(shù)據(jù)代入“擁堵指數(shù)”模型，得到路口現(xiàn)實(shí)的通行狀況（如表3所示）和路口現(xiàn)實(shí)的變化周期（如表4所示）。

③路口車流的擁堵情況。

根據(jù)模型預(yù)測，我們所取的例子中，存在如下幾項(xiàng)問題：

方向4（從丁山賓館方向）的右行車流量很大，但是該方向只有單向三車道，右行車道至多只能分到一股車道，導(dǎo)致通過量受到阻礙。不僅如此，雖然該方向的綠燈時(shí)長一個(gè)周期內(nèi)長達(dá)到57秒，但是仍然會造成大量車輛積壓。據(jù)觀察，每天早高峰時(shí)段該方向車流量巨大，車輛排隊(duì)可長達(dá)1km，最多時(shí)需要約16個(gè)信號燈周期才能夠通過該路口。

方向1（從古平崗方向）的右行車流量同樣很大，早高峰時(shí)段由于家長開車送學(xué)生上學(xué)等原因，容易造成擁堵，但是在四股車道中僅有一股分配給該方向，導(dǎo)致每天早高峰時(shí)期該方向車輛排隊(duì)嚴(yán)重，成為附近路段堵點(diǎn)之一。

方向3（從長江大橋方向）的右行車流量極低，但是卻有長達(dá)78秒的綠燈，該方向車道常年處于空置狀態(tài)。

因此，交通路口的信號燈存在時(shí)間分配、車道分配的不合理問題，需要采取一定的方法進(jìn)行改善。

④路口信號燈時(shí)長設(shè)置的優(yōu)化方案。

在假設(shè)進(jìn)入流量、車道數(shù)恒定的情況下，“擁堵指數(shù)”可以用如下方式來表述：η=G（t1，t2，t3，t4）。我們利用LINGO程序求出“擁堵指數(shù)”的最小值為0.5402，算出此時(shí)的紅綠燈每個(gè)階段的最優(yōu)時(shí)間分別為43s、36s、45s、26s（根據(jù)建立的模型，一個(gè)信號燈周期設(shè)置成100s、200s的結(jié)果基本相同，所以我們固定每個(gè)周期為150s）。

由上表可見，經(jīng)過科學(xué)計(jì)算重新規(guī)劃后的紅綠燈時(shí)間長度可以使得擁堵指數(shù)下降，通行效率更高。時(shí)間調(diào)整后，模型預(yù)測，方向4的右行綠燈時(shí)長增加到71s，大大改善了該方向車輛積壓的速度（減少了約8%），同時(shí)方向1的右行綠燈時(shí)長增加到79 s。

因此，如果在容易造成擁堵的路口設(shè)置適當(dāng)?shù)膫鞲衅?，每隔一定的時(shí)間間隔動態(tài)更新對應(yīng)的信號燈時(shí)分配，那么路口的通行效率將大大提高。

（4）模型四：一種方案——停車線后延。

我們觀察到，在一個(gè)信號燈周期內(nèi)，往往存在一些時(shí)間段，前一部分車已經(jīng)開走，而在剛剛亮起綠燈的方向上的車輛才開始起步。這就導(dǎo)致路口出現(xiàn)幾秒鐘的空白區(qū)，在這一段時(shí)間中幾乎沒有車輛在移動，時(shí)間被浪費(fèi)了。

如果將紅綠燈位置后延，并且提前亮起綠燈，那么汽車在到達(dá)路口時(shí)就可以達(dá)到最大速度，通行時(shí)間就會縮短。因此，我們可以將停車線向后移動，移動的距離就是一般汽車從靜止加速到過紅綠燈的最大速度的距離。為了使得所有路口的車都能加速到最大速度，我們代入百米加速的最小值（即大貨車的加速度）

a1=1.38 m/s2進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)用勻加速運(yùn)動方程s0=v22a1得出后延距離s=14.49 m；同時(shí)，算出綠燈提前亮起的時(shí)間t=2.40 s。

在這種方案下，我們再次通過模型三計(jì)算最優(yōu)紅綠燈時(shí)間設(shè)定與“擁堵指數(shù)”，得到紅綠燈四個(gè)階段的最優(yōu)時(shí)間分別為55s、10s、46s、39s，此時(shí)的“擁堵指數(shù)”為0.2945。

從數(shù)據(jù)上來看，這種方式最大限度地利用了紅綠燈變換交界處的那段時(shí)間來讓汽車預(yù)加速，能夠大大降低交通要道的擁堵程度，既可以縮短車輛等待的時(shí)間，也可以降低油耗，具有十分明顯的優(yōu)勢。當(dāng)然，在實(shí)際生活中，由于汽車的性能各不相同，并且每一名駕駛員對于安全距離的把控也不盡相同，所以后延距離s、提前時(shí)間t對于每一輛車都不相同。在這種情況下，難以用一個(gè)統(tǒng)一的量來實(shí)施這種緩解交通擁堵的方案；如果在現(xiàn)行的交通體制下強(qiáng)行實(shí)施，可能會直接導(dǎo)致大量不必要的交通事故的產(chǎn)生。

三、依托研究性學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)探究資源庫的基本架構(gòu)

依托研究性學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)探究資源庫主要由以下三個(gè)方面組成：（1）研究案例。將已有的數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)課題的研究成果進(jìn)行分類、匯總，從中選取一些有價(jià)值的。（2）教材資源。將教材上相關(guān)的數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)建模的材料加以匯總，形成資源。（3）選題建議。對學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)課題給出一些建議，以方便學(xué)生選題。

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)探究的課程資源庫建設(shè)研究”（編號：Cc/2015/025）和江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“促進(jìn)成員專業(yè)發(fā)展的名師工作室建設(shè)策略研究”（編號：D/2018/02/91）的階段性研究成果。本文中的案例1參考了我校著名特級教師仇炳生老師的教學(xué)課例，在此向仇老師致謝。本文引用了我校部分學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)成果，在此也向他們表示謝意。

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉明，丁菁.促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)探究的課程資源庫建設(shè)概述[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2017（8）.