摘 要：分析滬教版高中數(shù)學(xué)教材設(shè)計(jì)的不足，梳理相關(guān)的歷史素材，對(duì)“等腰三角形的性質(zhì)”分兩個(gè)課時(shí)設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)：第一課時(shí)主要讓學(xué)生通過折紙操作、添加“三線之一”說理等活動(dòng)，歸納發(fā)現(xiàn)、演繹證明“等邊對(duì)等角”，進(jìn)而得到“等腰三角形三線合一”，并且運(yùn)用它們解決歷史現(xiàn)實(shí)（水準(zhǔn)儀）和教材邏輯（“SSS”的說理）的問題；第二課時(shí)主要讓學(xué)生運(yùn)用多種方法對(duì)“等邊對(duì)等角”進(jìn)行說理，并且反思各種方法的本質(zhì)以及之間的聯(lián)系。課后反饋表明，這樣的教學(xué)取得了較好的效果。

關(guān)鍵詞：HPM 等腰三角形的性質(zhì) 應(yīng)用 證明

等腰三角形“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)和“等角對(duì)等邊”的判定是邊與角互相聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的重要依據(jù)，是平面幾何知識(shí)體系中支柱性的定理之一。在滬教版初中數(shù)學(xué)教材中，“等腰三角形的性質(zhì)和判定”是七年級(jí)第二學(xué)期第十四章《三角形》第3節(jié)《等腰三角形》中的內(nèi)容，被安排在“三角形的有關(guān)線段、分類和內(nèi)角和”（第1節(jié)《三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)》中的內(nèi)容）“全等三角形的性質(zhì)和判定”（第2節(jié)《全等三角形》中的內(nèi)容）后。教材先用一個(gè)小節(jié)呈現(xiàn)“等腰三角形的性質(zhì)”：直接利用問題“等腰三角形的兩個(gè)底角具有怎樣的大小關(guān)系”來引入，然后通過畫頂角的平分線并沿著其翻折的實(shí)驗(yàn)操作以及線段重合的說理，得到“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)，接著運(yùn)用全等三角形的判定“SAS”和性質(zhì)“對(duì)應(yīng)角相等”，對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)格說理（論證），最后反思說理的過程，基于三角形全等，得到剩下的一組對(duì)應(yīng)邊相等和一組對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而得出“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)，揭示等腰三角形的軸對(duì)稱性。

這樣的設(shè)計(jì)一方面凸顯了直觀感知，能夠增進(jìn)學(xué)生的興趣、提升學(xué)生的認(rèn)識(shí)，另一方面加強(qiáng)了邏輯推理，能為學(xué)生后續(xù)逐漸進(jìn)入論證幾何的定理系統(tǒng)打下基礎(chǔ)。

不少教師在教學(xué)中也采用了類似的設(shè)計(jì)，只是側(cè)重點(diǎn)略有不同。但是，這樣的設(shè)計(jì)仍然存在一些不足。首先，雖然數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是抽象化的思想材料，但是過分脫離現(xiàn)實(shí)（生活）來源的教學(xué)不符合學(xué)生的心理特點(diǎn)，難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，會(huì)令學(xué)生感到枯燥和無用。其次，為了便于翻折后對(duì)線段重合進(jìn)行說理，也考慮到教材之前未給出（后續(xù)會(huì)給出）全等三角形的判定“SSS”的說理及特殊情況下全等三角形的判定“SSA”，運(yùn)用它們說理顯得不夠嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)該畫頂角的平分線，而不畫底邊上的中線或高；但是直接畫頂角的平分線，而不說明為什么不能畫底邊上的中線或高，則會(huì)限制學(xué)生的思維，顯得不夠自然、透徹。此外，吹毛求疵地看，教材之前是運(yùn)用全等三角形的判定“SSS”，對(duì)角平分線的尺規(guī)作圖方法進(jìn)行說理的，因此，“畫頂角的平分線”的說理方法也顯得不夠嚴(yán)謹(jǐn)。

對(duì)此，我們嘗試追尋“等腰三角形的性質(zhì)”的歷史蹤跡，看看其到底有什么實(shí)際的運(yùn)用，有哪些證明的方法，采用HPM視角改進(jìn)這一內(nèi)容的教學(xué)。

一、歷史素材梳理

（一）“等腰三角形三線合一”的實(shí)際運(yùn)用

1.古埃及、古巴比倫時(shí)期。

在古代埃及和巴比倫，新廟址的測量是按照嚴(yán)格的幾何和天文方法進(jìn)行的，且是法老和僧侶階級(jí)的特權(quán)——在埃及神話里，還有專門掌管測量的女神。一些測量工具和基本的幾何圖形往往成為神圣的符號(hào)而被人們用作護(hù)身符。古代的水準(zhǔn)儀是由一個(gè)等腰三角形及懸掛在頂點(diǎn)處的鉛垂線組成的，如圖1所示。水準(zhǔn)儀中三角形的底邊猜測是用繩子做成的，因?yàn)槔K子的中點(diǎn)非常容易確定。測量時(shí)，調(diào)整底邊的位置，如果鉛垂線經(jīng)過底邊中點(diǎn)，就表明底邊垂直于鉛垂線，即底邊是水平的。古代人通過生活經(jīng)驗(yàn)的積累，找到了這種判定水平的方法，實(shí)際上用到的就是“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)。

2.古羅馬時(shí)期。

古羅馬時(shí)期的一塊墓碑如圖2所示。也許，我們不認(rèn)識(shí)墓碑上刻著的名字，也不知道長眠于地下的人生前經(jīng)歷了怎樣跌宕起伏的人生。但是，從墓碑頂上的等腰三角形和中間的鉛垂線可以斷定，墓碑的主人生前是一位土地丈量員。也許，他并不精通數(shù)學(xué)，但是，他每天都在使用“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)。

3.文藝復(fù)興時(shí)期。

在文藝復(fù)興時(shí)期，水準(zhǔn)儀這種工具也被廣泛地應(yīng)用著。17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家博默多羅的《實(shí)用幾何》一書中的一幅插圖（如圖3）告訴我們，那個(gè)時(shí)代的測量員正是利用水準(zhǔn)儀來測量山的高度的。由于山的高度是豎直方向高度的累加，需要在斜坡上找到水平線作為每次測高的基準(zhǔn)，因此要用到水準(zhǔn)儀。

（二）“等邊對(duì)等角”的證明方法

1.歐幾里得的證明方法。

公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中給出了“等邊對(duì)等角”最早的證明方法?！稁缀卧尽返谝痪砻}5說的是：“在等腰三角形中，兩個(gè)底角彼此相等，并且若向下延長兩腰，則與底角相鄰的兩個(gè)角也彼此相等?！睔W幾里得的證明如下：如圖4，分別延長等腰三角形的兩腰AB和AC，在AB的延長線上任取一點(diǎn)E，在射線AC上截取AD，使得AE=AD，聯(lián)結(jié)CE、BD。先證明△ABD和△ACE全等（“SAS”），可得BD=CE，∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE；由AE=AD，AB=AC可得BE=CD，再證明△BDC和△CEB全等（“SAS”），可得∠CBD=∠BCE，∠DCB=∠EBC；由∠ABD=∠ACE，∠CBD=∠BCE，根據(jù)公理3（等量減等量，差相等），得∠ABC=∠ACB。

中世紀(jì)，歐洲數(shù)學(xué)教育水平低下，學(xué)生初讀《幾何原本》，學(xué)到命題5時(shí)，就覺得很難。因此，這個(gè)命題也被戲稱為“驢橋”，

意思為笨蛋的難關(guān)——也有人推測，歐幾里得作出的圖形很像一座簡單的桁架橋，因而有“驢橋”之名。

《幾何原本》的最大特色在于演繹體系的建立，即新命題證明的依據(jù)只能是之前的公理、公設(shè)或已經(jīng)證明的命題。由于命題5之前沒有出現(xiàn)“SAS”以外的全等三角形判定方法，所以這里不能用“SAS”以外的三角形全等判定方法證明“等邊對(duì)等角”。由于命題13才是“兩條直線相交所成的角中，相鄰兩個(gè)角或者是兩個(gè)直角，或者它們的和等于兩個(gè)直角”，因此這里不能由∠EBC=∠DCB直接得出∠ABC=∠ACB。

此外，有了“等邊對(duì)等角”，就可以把邊轉(zhuǎn)化為角，就可以對(duì)全等三角形的判定“SSS”進(jìn)行說理了。因此，從歷史的角度看，如果運(yùn)用全等三角形的判定“SSS”，對(duì)“等邊對(duì)等角”進(jìn)行說理，則有循環(huán)論證之嫌。

2.帕普斯的證明方法。

3世紀(jì)末，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯給出了“等邊對(duì)等角”巧妙的證明方法：將等腰△ABC想象成兩個(gè)三角形，由AB=AC，AC=AB，∠BAC=∠CAB，可得△ABC 與△ACB全等（“SAS”），從而得到∠ABC=∠ACB。

3.普羅克拉斯的證明方法。

5世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家普羅克拉斯（Proclus，410～485）也曾給出過“等邊對(duì)等角”的證明方法。與歐幾里得的方法類似，他的方法是直接在兩腰AB和AC上取點(diǎn)E和點(diǎn)D，使得AE=AD，然后聯(lián)結(jié)EC、DB（如圖5），兩次利用“SAS”得到三角形全等。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

分析歷史素材可知，“等腰三角形的性質(zhì)”重要的實(shí)際應(yīng)用是測量水平線，主要的證明方法本質(zhì)上是從頂點(diǎn)出發(fā)在兩腰所在的直線上截取相等的線段（歐幾里得是在腰的延長線上截取，帕普斯是直接截取腰，普羅克拉斯是在腰上截取，另外可以在腰的反向延長線上截取），構(gòu)造兩個(gè)三角形，多次（一般為兩次）運(yùn)用全等三角形的判定“SAS”。這些歷史素材可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，還可以讓學(xué)生感受證明方法的多樣性，體會(huì)歐氏幾何公理體系的嚴(yán)密性和“運(yùn)動(dòng)聯(lián)系”“變化統(tǒng)一”的思想，因此，應(yīng)該運(yùn)用、滲透到教學(xué)中。

此外，教材中的折紙操作活動(dòng)屬于實(shí)驗(yàn)幾何內(nèi)容，具有很強(qiáng)的體驗(yàn)性，符合學(xué)生的認(rèn)知水平，便于學(xué)生先猜想后證明，體會(huì)科學(xué)研究的基本過程。而且，由此引出添加頂角的平分線或底邊上的中線或底邊上的高，構(gòu)造全等三角形進(jìn)行說理，是自然的、易懂的。因此，教學(xué)中也應(yīng)該保留這些內(nèi)容，并結(jié)合歷史素材說清楚背后的道理，指出其是否嚴(yán)謹(jǐn)。

綜上，考慮到課堂容量的限制，我們對(duì)“等腰三角形的性質(zhì)”分兩

個(gè)課時(shí)設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)：第一課時(shí)主要讓學(xué)生通過折紙操作、添加“三線之一”說理等活動(dòng)，

歸納發(fā)現(xiàn)、演繹證明“等邊對(duì)等角”，進(jìn)而得到“等腰三角形三線合一”，并且運(yùn)用它們解決歷史現(xiàn)實(shí)（水準(zhǔn)儀）和教材邏輯（“SSS”的說理）的問題；第二課時(shí)主要讓學(xué)生運(yùn)用多種方法對(duì)“等邊對(duì)等角”進(jìn)行說理，并且反思各種方法的本質(zhì)以及之間的聯(lián)系。

（一）第一課時(shí)

1.引入史實(shí)，激發(fā)思考。

基于等腰三角形的性質(zhì)在古代用于測量的史實(shí)，利用古羅馬時(shí)期的墓碑設(shè)置問題引入，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲；利用學(xué)生熟悉的工具制作簡單的水準(zhǔn)儀，進(jìn)一步吸引學(xué)生的注意，引發(fā)學(xué)生的興趣。

師 （出示圖2）猜一猜圖中的是什么？有沒有和數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)的內(nèi)容？

生 等腰三角形、鉛垂線、直尺、梯形。

師 什么是等腰三角形？

生 有兩邊相等的三角形叫作等腰三角形。

師 等腰三角形作為特殊的三角形，其邊與角有特殊的名稱，分別是——

生 等腰三角形中，相等的兩條邊叫作腰，另一條邊叫作底邊，相等兩邊的夾角叫作頂角，另兩個(gè)角叫作底角。

師 非常好！這其實(shí)是一塊墓碑。圖中等腰三角形和鉛垂線的組合是一種測量、檢驗(yàn)水平線（即與水平面平行的直線）的工具。今天，老師也模仿古人，做了一個(gè)簡單的水準(zhǔn)儀。

（演示：取一把等腰三角尺，在其底邊的中點(diǎn)處做一個(gè)記號(hào)，在其頂點(diǎn)上系一條鉛垂線，利用這一教具展示水平線與非水平線的檢驗(yàn)。）

師 這個(gè)工具究竟具體能夠做些什么呢？老師先賣一個(gè)關(guān)子，請(qǐng)同學(xué)們帶著這個(gè)疑問來進(jìn)行今天的學(xué)習(xí)。本節(jié)課我們就來研究等腰三角形的性質(zhì)。

2.類比舊知，確定方向。

通過回憶三角形相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程，幫助學(xué)生利用類比的方式，得到研究等腰三角形性質(zhì)的方向，即從邊、角、特殊線段等角度研究等腰三角形特有的性質(zhì)。

3.動(dòng)手操作，歸納猜想。

借助三角形紙片，讓學(xué)生自由觀察、操作（直觀感受）得到等腰三角形特有的性質(zhì)，為后續(xù)邏輯推理提供經(jīng)驗(yàn)支撐和思考的基礎(chǔ)，初步感受實(shí)驗(yàn)感知與邏輯推理兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別。

師 請(qǐng)你利用課前準(zhǔn)備好的等腰三角形紙片，觀察、操作并猜想等腰三角形可能具有哪些性質(zhì)。

（學(xué)生活動(dòng)。）

師 等腰三角形的邊有哪些特有的性質(zhì)？

生 等腰三角形的兩腰相等。

師 是的，這是定義。你是如何驗(yàn)證這一性質(zhì)的？

生 看出來的。

生 用直尺量出來的。

生 對(duì)折等腰三角形紙片，兩邊重合。

師 等腰三角形的角有哪些特有的性質(zhì)？

生 等腰三角形的兩個(gè)底角相等。

師 你是如何得到這一性質(zhì)的？

生 目測、度量、疊合都能得出。

（教師通過幾何畫板演示：圖形在運(yùn)動(dòng)，等腰三角形的元素——底角和腰的大小在相應(yīng)變化，但是兩個(gè)底角之間、兩條腰之間的等量關(guān)系沒有變化。）

師 這種圖形中元素與元素之間不變的數(shù)量或位置關(guān)系就是圖形的性質(zhì)。

4.邏輯思考，說理證明。

通過符號(hào)語言，讓學(xué)生自由添加輔助線，表達(dá)“等邊對(duì)等角”的說理，體會(huì)化歸的數(shù)學(xué)思想，為后續(xù)“等腰三角形三線合一”的得出打下基礎(chǔ)，進(jìn)一步感受實(shí)驗(yàn)幾何與論證幾何的區(qū)別。當(dāng)學(xué)生添加的是底邊上的中線時(shí)，通過“小故事”，幫助學(xué)生初步感受循環(huán)論證的問題；當(dāng)學(xué)生添加的是底邊上的高時(shí)，通過幾何畫板演示，讓學(xué)生知道所用的全等判定方法只在一些特殊的情況下成立，為后續(xù)學(xué)習(xí)埋下伏筆。

師 剛才大家通過觀察、操作得到的結(jié)論可以用符號(hào)語言表達(dá)為：在△ABC中，已知AB=AC，則有∠B=∠C。但是，眼見（觀察）不一定為實(shí)，而且度量、疊合（操作實(shí)驗(yàn)）不可避免地會(huì)有誤差。即使沒有誤差，也只是驗(yàn)證了有限多個(gè)結(jié)果，并不能說明對(duì)所有的（無限個(gè)）等腰三角形都是成立的。因此，我們應(yīng)該用邏輯推理（理性認(rèn)識(shí)）的方法來證明這一性質(zhì)。那么，如何通過幾何說理的方式證明這個(gè)結(jié)論正確呢？

生 （出示圖6）取BC的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形全等說明。

師 你能想出這種方法，真棒！通過添加輔助線構(gòu)造出可說明全等的三角形，將等角的問題轉(zhuǎn)化為全等的問題。但是嚴(yán)格地說，我們用來證明其他命題的命題必須是已經(jīng)證明過的。請(qǐng)大家回憶一下：我們前面學(xué)習(xí)全等三角形的判定“SSS”時(shí)，對(duì)它進(jìn)行說理了嗎？

生 沒有。

師 因此，不能用“SSS”來說明等腰三角形的底角相等。其實(shí)，“SSS”的說理需要用到等腰三角形的底角相等，也即需要用等腰三角形的底角相等來說明“SSS”：這里，老師有一個(gè)故事——瘦子問胖子：“你為什么這么胖？”胖子回答：“因?yàn)槲页缘枚??！笔葑佑謫柵肿樱骸澳銥槭裁闯缘枚啵俊迸肿踊卮穑骸耙驗(yàn)槲遗职??！闭?qǐng)大家想一想：這里犯了一個(gè)怎樣的錯(cuò)誤？

生 形成了一個(gè)循環(huán)。

師 說理的前提就是說理的結(jié)論，成了一個(gè)循環(huán)，是無意義的，邏輯上有錯(cuò)誤。用“SSS”來說明等腰三角形的底角相等也有循環(huán)論證的嫌疑。

生 （出示圖7）那我們可以作∠BAC的平分線，構(gòu)造全等。

生 （出示圖8）作高也可以。

師 作高后，要說明△ABD和△ACD全等，可以找到的條件從邊和角的角度來看，其實(shí)是什么？

生 兩邊及其中一邊的對(duì)角。

師 也就是“SSA”。這可是我們沒有學(xué)過的全等三角形的判定方法哦！它正確嗎？

（通過幾何畫板演示：兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形ABC和DEF不一定全等，但是當(dāng)∠C與∠F由原來的鈍角、銳角變成相等的直角時(shí)，兩個(gè)三角形是可以全等的。）

師 這是后續(xù)要學(xué)習(xí)的一種特殊的判定兩個(gè)三角形全等的方法。

5.回顧反思，獲取新知。

引導(dǎo)學(xué)生回顧“等邊對(duì)等角”的說理過程，得出“等腰三角形三線合一”；結(jié)合前面的折疊操作，得到等腰三角形的軸對(duì)稱性，強(qiáng)化實(shí)驗(yàn)感知與邏輯推理。

師 回顧剛才的說理過程，等腰三角形中，哪幾條線段十分特殊，特殊在哪里？

生 高、中線、角平分線。

生 它們重合。

（教師通過幾何畫板演示從不等腰到等腰，三角形“三線”逐漸合一的過程，揭示特殊線段之間不變的位置關(guān)系。）

師 等腰三角形各有三條高、中線、角平分線，它們都重合嗎？

生 是底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線重合。

師 這樣，我們就得到了等腰三角形的第二條性質(zhì)：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，簡稱“等腰三角形的三線合一”。如何對(duì)這條性質(zhì)進(jìn)行說理？

生 在頂角平分線的條件下，可以利用全等三角形的性質(zhì)說明頂角的平分線平分底邊且垂直于底邊，即頂角的平分線就是底邊上的中線，也是底邊上的高。而等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高都只有一條，它們自然就都是頂角的平分線。

師 為什么底邊上的中線、底邊上的高都只有一條？

生 因?yàn)檫^兩點(diǎn)有且只有一條直線；過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線。

師 等腰三角形的邊、角、特殊線段的關(guān)系都是其局部的性質(zhì)。從圖形整體來看，它有怎樣的特有性質(zhì)？想想前面紙片的折疊。

生 等腰三角形是軸對(duì)稱圖形。

師 其對(duì)稱軸是什么？有幾條對(duì)稱軸？

生 對(duì)稱軸是頂角的平分線所在的直線，也就是底邊上的中線或高所在的直線。有一條對(duì)稱軸。

6.運(yùn)用新知，解決問題。

介紹歷史上水準(zhǔn)儀的用途，讓學(xué)生利用“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)解釋水準(zhǔn)儀的原理，呼應(yīng)課堂引入，并讓學(xué)生感受等腰三角形的性質(zhì)在現(xiàn)實(shí)生活中的用處，提升學(xué)習(xí)動(dòng)力。再讓學(xué)生利用“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)說明三角形全等的“SSS”判定方法，進(jìn)一步表明“教材之前沒有對(duì)‘SSS’判定方法進(jìn)行說理，是因?yàn)楫?dāng)時(shí)還未學(xué)習(xí)‘等邊對(duì)等角’，缺少說理的依據(jù)”。

師 大家還記得剛上課時(shí)看到的那個(gè)墓碑嗎？我們不認(rèn)識(shí)墓碑上刻著的名字，也不知道長眠于地下的人生前經(jīng)歷了怎樣跌宕起伏的人生。但是，從墓碑頂上的等腰三角形和中間的鉛垂線，我們可以猜測他生前是一位土地丈量員。在文藝復(fù)興時(shí)期，這種工具也被廣泛地應(yīng)用著。（出示圖3）17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家博默多羅的《實(shí)用幾何》一書中的一幅插圖告訴我們，那個(gè)時(shí)代的測量員正是利用水準(zhǔn)儀來測量山的高度的。你能用所學(xué)的知識(shí)，說明他們是如何測量山高的嗎？

生 另做一個(gè)有長度刻度的鉛垂線。先使鉛垂線指向山腳最低處；調(diào)整水準(zhǔn)儀，使其保持水平，且底邊的一個(gè)端點(diǎn)貼住山上的某個(gè)點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)貼住鉛垂線上的某個(gè)點(diǎn)；記錄此時(shí)底邊的一個(gè)端點(diǎn)貼住的山上的那個(gè)點(diǎn)以及底邊的另一個(gè)端點(diǎn)貼住的鉛垂線的刻度（長度）。再使鉛垂線指向剛才山上的那個(gè)點(diǎn)，重復(fù)之前的操作。不斷重復(fù)這樣的操作，直至底邊的一個(gè)端點(diǎn)貼住的山上的那個(gè)點(diǎn)為山頂。最后將記錄的鉛垂線的刻度（長度）加在一起，就可以得到山的高度。

師 如何調(diào)整水準(zhǔn)儀，使其保持水平？

生 當(dāng)水準(zhǔn)儀的鉛垂線指向底邊的中點(diǎn)時(shí)，底邊為水平線。

師 為什么這一工具能判斷是否為水平線呢？能否用所學(xué)的等腰三角形的性質(zhì)來解釋水準(zhǔn)儀測水平線的合理性？

生 當(dāng)鉛垂線指向底邊中點(diǎn)時(shí)，鉛垂線與底邊上的中線疊合，根據(jù)“等腰三角形三線合一”，底邊上的中線垂直與底邊。

生 （補(bǔ)充）因?yàn)殂U垂線與水平線是垂直的，這樣就保證了與水準(zhǔn)儀底部緊貼的線為水平線，從而保證了豎直方向的高度是準(zhǔn)確的。

師 為什么鉛垂線的長度加在一起，就可以得到山的高度？

生 鉛垂線的長度是豎直方向的高度。

師 回答得非常棒！由于山的高度是豎直方向高度的累加，需要在斜坡上找到水平線作為每次測高的基準(zhǔn)，因此我們要用到水準(zhǔn)儀。這里還運(yùn)用了圖形平移的知識(shí)，將求山高的問題轉(zhuǎn)化成了求若干豎直方向線段長的問題。

師 大家還記得前面說明“等邊對(duì)等角”時(shí)，老師說過“‘SSS’的說理需要用到等腰三角形的底角相等”嗎？

（出示例題：在△ABC與△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，AC=DF。試說明△ABC與△DEF全等的理由。）

師 本題是要說明“SSS”判定方法的合理性，因此不能使用“SSS”判定方法。而另外三種全等的判定方法（“SAS”“ASA”“AAS”）都與角有關(guān)，因此要找到一組對(duì)應(yīng)角相等。怎么找呢？

生 利用“等邊對(duì)等角”。

師 可是題目條件中相等的線段在分散的兩個(gè)三角形中，怎么辦呢？

生 通過圖形的運(yùn)動(dòng)，將它們組合到一起。（出示圖9）不妨設(shè)BC、EF分別是兩個(gè)三角形的最長邊，把兩個(gè)三角形拼在一起，使邊BC與EF重合，并使點(diǎn)A、D在公共邊兩側(cè)，再聯(lián)結(jié)AD；兩次運(yùn)用“等邊對(duì)等角”說明∠EDF=∠BAC，再由“SAS”可得結(jié)果。

（二）第二課時(shí)

1.另辟新徑。

為了引出“等邊對(duì)等角”的其他證明方法，從第一課時(shí)中“作頂角的平分線”出發(fā)，提示學(xué)生嘗試作底角的平分線，使學(xué)生想到作兩腰上的高和中線，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生想到截取相等線段。在此過程中，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)共同點(diǎn)，感悟“特殊到一般”“變中有不變”的思想。

師 上節(jié)課，為了說明等腰三角形的兩個(gè)底角相等，我們利用等腰三角形的特殊線段，構(gòu)造了兩個(gè)全等三角形，使兩個(gè)底角為它們的對(duì)應(yīng)角。那么，有沒有其他方法能對(duì)等腰三角形的兩個(gè)底角相等進(jìn)行說理呢？

（學(xué)生思考。）

師 上節(jié)課，我們通過添加頂角的平分線，構(gòu)造了兩個(gè)全等三角形。那么，添加兩個(gè)底角的平分線，能否構(gòu)造所需的全等三角形？

生 我按老師的提示作了圖，但是沒有證明出來，感覺無處下手。

師 其實(shí)通過作底角的平分線，的確可以對(duì)“等邊對(duì)等角”進(jìn)行說理，但還需要作其他輔助線，用到一些同學(xué)們目前還沒有學(xué)到的知識(shí)，暫時(shí)行不通。那么，能否考慮其他特殊線段呢？

生 （出示圖10）我嘗試了作兩腰上的高，證法如下。

師 很好，上節(jié)課我們說過，為了避免循環(huán)說理，證明“等邊對(duì)等角”時(shí)不能使用全等三角形的判定“SSS”，該同學(xué)在這里就沒有使用BC=CB這組公共邊，利用“SSS”進(jìn)行說理。此外，從結(jié)論出發(fā)，找需要的條件（分析法）受阻時(shí)，可以從條件出發(fā)，看能夠得到哪些結(jié)論（綜合法），對(duì)接已知與未知，這是解決數(shù)學(xué)問題的常用思考方式。（稍停）還有沒有同學(xué)添加了其他的輔助線？

生 （出示圖11）我嘗試了作兩腰上的中線，證法如下。

師 很好，為了避免循環(huán)說理，你也沒有使用BC=CB這組公共邊?，F(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們思考一下：從輔助線的結(jié)構(gòu)來看，這幾種方法有無共同點(diǎn)？

生 都通過添加輔助線，構(gòu)造了新的三角形；都無法通過一組全等，證得結(jié)果，需要借助另一組全等，得到等邊或等角。

師 很好，我們都先證明了△ABD全等于△ACE，一種是通過作腰上的高，利用“AAS”；一種是通過作腰上的中線，利用“SAS”。請(qǐng)大家思考一下：要想用“SAS”證明全等，除了作腰上的中線，還有其他作輔助線的方法嗎？

生 是不是可以直接在AB、AC上截取兩條相等的線段？

師 很好，大家可以嘗試一下，具體的證明方法跟前面的非常類似。

（學(xué)生嘗試。）

師 （出示普羅克拉斯的證明方法：在AB、AC上分別截取AE、AD，使得AE=AD，分別聯(lián)結(jié)BD、CE……）這種方法正是古希臘數(shù)學(xué)家普羅克拉斯采用的方法。

2.化靜為動(dòng)。

引導(dǎo)學(xué)生以運(yùn)動(dòng)的視角來看待以上點(diǎn)E、D的選擇，引出帕普斯和歐幾里得的證明方法。

師 如果以運(yùn)動(dòng)的視角來看待點(diǎn)E、D的選擇，上述情況只不過是點(diǎn)E、D在邊AB、AC上移動(dòng)時(shí)經(jīng)過的幾個(gè)特殊位置。當(dāng)點(diǎn)E、D在邊AB、AC上移動(dòng)時(shí)，△AEC始終全等于△ADB，因此∠AEC始終等于∠ADB。那么，試想一下：當(dāng)點(diǎn)E、D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B、C時(shí)，你能得出什么結(jié)論？

生 此時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，∠AEC仍然等于∠ADB，而且∠AEC就是∠ABC，∠ADB就是∠ACB。

師 很好！這種方法正是古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯的方法，即將等腰三角形看作兩個(gè)三角形，用“SAS”說理。（稍停）剛才的若干種方法中，點(diǎn)E、D在兩腰上移動(dòng)。那么，同學(xué)們大膽猜想一下：點(diǎn)E、D還可以移動(dòng)到哪兒？

生 能否讓點(diǎn)E、D在兩腰所在直線上運(yùn)動(dòng)呢？

師 好想法！那在AE=AD的前提下，當(dāng)點(diǎn)E、D運(yùn)動(dòng)到邊AB、AC的延長線上時(shí)，你能否對(duì)“等邊對(duì)等角”進(jìn)行說理？

（學(xué)生得到歐幾里得的證明方法。）

師 很好，這位同學(xué)的說理非常類似古希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里得對(duì)“等邊對(duì)等角”的說理。

（教師簡單介紹歐幾里得的生平和“驢橋定理”。）

3.課堂小結(jié)。

師 上節(jié)課，我們?cè)煤唵蔚姆椒?，?duì)“等邊對(duì)等角”進(jìn)行了說理，那么本節(jié)課，我們?yōu)槭裁催€要“舍近求遠(yuǎn)”，跟隨歷史上幾位著名數(shù)學(xué)家的腳步，對(duì)“等邊對(duì)等角”進(jìn)行多種不同方法的說理呢？

生 因?yàn)榭梢哉莆崭嗟摹暗冗厡?duì)等角”的說理方法。

生 可以體會(huì)幾何說理的嚴(yán)密性要求。

生 而且這些方法之間聯(lián)系密切。

師 很好，老師希望同學(xué)們能通過“等邊對(duì)等角”的其他證明方法，進(jìn)一步熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，提高對(duì)圖形的解讀能力，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，學(xué)著用運(yùn)動(dòng)聯(lián)系的眼光看待問題，感悟其中的變化統(tǒng)一，這在很多數(shù)學(xué)問題的解決過程中是非常重要的。此外，不知道同學(xué)們有沒有注意到，教材對(duì)角平分線的尺規(guī)作圖程序的說理用的是全等三角形的判定“SSS”？所以嚴(yán)格地說，對(duì)“等邊對(duì)等角”的說理也不能用角平分線的尺規(guī)作圖程序。

三、學(xué)生反饋

兩節(jié)課后，我們都從收獲、感受、疑惑、應(yīng)用等維度對(duì)學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查。

（一）第一課時(shí)后

91.3%的學(xué)生對(duì)等腰三角形的兩條性質(zhì)表示完全理解；65.2%的學(xué)生表示十分喜歡水準(zhǔn)儀測量山高的環(huán)節(jié)，覺得很有趣；26.1%學(xué)生表示欽佩古人的智慧，對(duì)很久以前就有現(xiàn)在所學(xué)的知識(shí)感到很驚奇；17.4%的學(xué)生仍不理解為什么不能用“SSS”來證明“等邊對(duì)等角”。

（二）第二課時(shí)后

絕大部分學(xué)生能理解用兩次全等來證明“等邊對(duì)等角”的若干種方法；34.8%的學(xué)生表示本節(jié)課的內(nèi)容雖然在開始時(shí)難以理解，但是隨著學(xué)習(xí)的深入，逐漸弄懂了；26.1%的學(xué)生表示本節(jié)課學(xué)習(xí)的過程雖然有些累，但是比較有趣，古代數(shù)學(xué)家們的故事很吸引人，自己要學(xué)習(xí)他們不斷進(jìn)取的精神；43.5%的學(xué)生提到原來“等邊對(duì)等角”的說理有這么多不同的方法，感受到了說理方式的多樣性；13%的學(xué)生提到思考的過程比結(jié)果更重要，能夠鍛煉自己的思維。

對(duì)于“類比歐幾里得證明‘等邊對(duì)等角’的方式，通過反向延長兩腰的方式來證明‘等邊對(duì)等角’”這一題目，61%的學(xué)生能完整地通過兩次全等正確地進(jìn)行說理；4位學(xué)生在說理過程中出現(xiàn)了循環(huán)論證的錯(cuò)誤；還有4位學(xué)生沒有使用題目要求的方法，而采用了上課時(shí)呈現(xiàn)過的方法；個(gè)別學(xué)生仍提及為什么不能作底邊上的中線（用“SSS”）來說理；1位學(xué)生時(shí)間不夠，沒有作答。

四、教學(xué)反思

第一課時(shí)中，數(shù)學(xué)史料選取適切：古羅馬墓碑中的數(shù)學(xué)元素體現(xiàn)了人文性，文藝復(fù)興時(shí)期的水準(zhǔn)儀測山高問題體現(xiàn)了趣味性，讓學(xué)生感受到了古人的智慧，激發(fā)了學(xué)習(xí)的興趣。數(shù)學(xué)史料應(yīng)用方式多元：水準(zhǔn)儀測山高問題采用了順應(yīng)式，即依據(jù)史料提出問題；“SSS”的說理問題采用了復(fù)制式，即直接采用歷史上的問題。數(shù)學(xué)史料融入自然：水準(zhǔn)儀測山高問題的解決是以圖形的平移為基礎(chǔ)的，符合學(xué)生的認(rèn)知順序。數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值深刻：類比“三角形性質(zhì)”的學(xué)習(xí)歷程，探究“等腰三角形性質(zhì)”的過程體現(xiàn)了“知識(shí)之諧”與“探究之樂”；通過添加輔助線將等角問題轉(zhuǎn)化為全等問題體現(xiàn)了“方法之美”與“能力之助”；古羅馬墓碑中的數(shù)學(xué)元素以及說理過程中不斷克服困難、打通思路的歷程體現(xiàn)了“文化之魅”與“德育之效”。

第二課時(shí)中，數(shù)學(xué)史素材的選取體現(xiàn)了“方法之美”：從第一課時(shí)中“添加頂角的平分線”出發(fā)，自然引入“添加不同的輔助線”，復(fù)制式及順應(yīng)式地融入了歷史中不同的“等邊對(duì)等角”的證明方法；用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)串聯(lián)這些證明方法，體現(xiàn)了“特殊到一般”“變中有不變”的思想方法。數(shù)學(xué)史素材的選取體現(xiàn)了“德育之效”：站在巨人的肩膀上，將古代數(shù)學(xué)家們零散、孤立的證明方法融會(huì)貫通，一方面可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家們不滿足于某一種方法，不斷追求的進(jìn)取精神，另一方面也揭示了“數(shù)學(xué)是一門動(dòng)態(tài)的、演進(jìn)性的學(xué)科，而非一潭死水；只要深入探索，都會(huì)有所創(chuàng)新”的本質(zhì)。

當(dāng)然，在上述教學(xué)過程和學(xué)生反饋中，我們也發(fā)現(xiàn)，對(duì)于還未明確認(rèn)識(shí)何為證明、何為幾何公理體系的七年級(jí)學(xué)生而言，理解說理的環(huán)環(huán)相扣以及循環(huán)論證尚存在困難，不能一蹴而就，需要在今后的幾何證明教學(xué)中不斷滲透，加深理解。因此，教材也是考慮到學(xué)生的認(rèn)知水平不足以理解公理化思想，才采用添加頂角平分線的方法來證明“等邊對(duì)等角”的。但是為了逐漸提升學(xué)生的邏輯推理能力，教師還是要把握好每一個(gè)合適的教學(xué)切入點(diǎn)，不斷強(qiáng)化學(xué)生的公理化意識(shí)。

*本文系本刊連載的汪曉勤教授團(tuán)隊(duì)開發(fā)的HPM案例之一，也系華東師范大學(xué)HPM工作室系列課例之一。

參考文獻(xiàn)：

[1] 佟勝海.“等腰三角形”教學(xué)設(shè)計(jì)及評(píng)析[J].教育實(shí)踐與研究（B），2010（6）.

[2] 卓敏亞.基于“過程教育”的教學(xué)探索及反思——以“等腰三角形的性質(zhì)定理（第1課時(shí)）”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2014（8）.

[3] 魏曉麗，王冰.“等腰三角形的性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計(jì)及點(diǎn)評(píng)[J].中國數(shù)學(xué)教育，2013（Z3）.

[4] 張維強(qiáng).“等腰三角形性質(zhì)”教學(xué)的再發(fā)現(xiàn)——“同課異構(gòu)”課題研究之反思[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（中學(xué)版），2011（10）.

[5] 林晴嵐，楊勤春.基于中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中例題“有效”設(shè)計(jì)的實(shí)踐研究——以人教版《等腰三角形性質(zhì)（第一課時(shí)）》為例[J].福建教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2014（2）.

[6] 【古希臘】歐幾里得.幾何原本[M].蘭紀(jì)正，朱恩寬譯.西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003.

[7] Heath，T.L.The Thirteen Books of Euclids elements[M].Cambridge：The University Press，1968.

[8] 吳文俊.世界著名科學(xué)家傳記·數(shù)學(xué)家II[M].北京：科學(xué)出版社，1992.

[9] 陳霄劍.學(xué)生為什么這么快就知道添加輔助線[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（中學(xué)版），2014（10）.

[10] 張奠宙，過伯祥，方均斌，龍開奮.數(shù)學(xué)方法論稿[M].上海：上海教育出版社，2012.

[11] Schreiber，P.Art and architecture[A].In：Grattan-Guinness，I.（Ed.）.Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of Mathematical Sciences.London： Routledge，1994.

[12] 汪曉勤.數(shù)學(xué)文化透視[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2013.