摘要：張景中院士提出教育數(shù)學(xué)理念，講究重構(gòu)課程，把知識(shí)“一線串通”，從而促進(jìn)學(xué)生的理解。要讓學(xué)生真正地掌握“矩陣與變換”的內(nèi)容，接受線性代數(shù)的思想并領(lǐng)悟線性代數(shù)的精神，應(yīng)該挖掘其內(nèi)容實(shí)質(zhì)，將其與中學(xué)數(shù)學(xué)的其他內(nèi)容“一線串通”，讓學(xué)生感到親切。對(duì)此，可以引導(dǎo)學(xué)生從向量角度理解矩陣方法，進(jìn)而用矩陣方法推導(dǎo)數(shù)列通項(xiàng)，由此發(fā)現(xiàn)矩陣與初等數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)聯(lián)系以及對(duì)解決傳統(tǒng)問(wèn)題的巨大作用。

關(guān)鍵詞：教育數(shù)學(xué)矩陣向量數(shù)列一線串通

和“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”一樣，“矩陣與變換”也是大學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一。將這樣的內(nèi)容下放到高中數(shù)學(xué)課程中，是課程改革進(jìn)步的體現(xiàn)，有利于學(xué)生體會(huì)高等（現(xiàn)代）數(shù)學(xué)的思想和精神，能促進(jìn)學(xué)生銜接高中與大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。不過(guò)，這樣的內(nèi)容應(yīng)該如何編排、如何教學(xué)，是需要認(rèn)真考慮的問(wèn)題。

弗萊登塔爾提出“再創(chuàng)造”原則，主張數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是“再創(chuàng)造”的過(guò)程。與之相通的，張景中院士提出教育數(shù)學(xué)理念，講究重構(gòu)課程，把知識(shí)“一線串通”，從而促進(jìn)學(xué)生的理解。

基于教育數(shù)學(xué)的理念，張景中院士從瞬時(shí)速度與平均速度之間的關(guān)系入手，重構(gòu)了微積分課程，將其與不等式知識(shí)體系“一線串通”，貼近學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)體會(huì)，從而把微積分的精神實(shí)質(zhì)初等化，使其可以真正進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)課程體系。

可見(jiàn)，要讓學(xué)生真正地掌握“矩陣與變換”的內(nèi)容，接受線性代數(shù)的思想并領(lǐng)悟線性代數(shù)的精神（不一定要用形式化的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)），從而進(jìn)入線性代數(shù)的大門，應(yīng)該挖掘其內(nèi)容實(shí)質(zhì)，將其與中學(xué)數(shù)學(xué)的其他內(nèi)容“一線串通”，讓學(xué)生感到親切。對(duì)此，我們可以引導(dǎo)學(xué)生從向量角度理解矩陣方法，進(jìn)而用矩陣方法推導(dǎo)數(shù)列通項(xiàng)，由此發(fā)現(xiàn)矩陣與初等數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)聯(lián)系以及對(duì)解決傳統(tǒng)問(wèn)題的巨大作用。

一、從向量角度理解矩陣方法

矩陣是什么？線性代數(shù)中給出了兩種定義：一是數(shù)表；二是行向量或列向量的集合。在“矩陣與變換”中，矩陣被認(rèn)為是一種線性變換，這是從矩陣作用的角度而言的。如今，“向量”已經(jīng)進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課程。從向量角度理解矩陣方法，可以縮短學(xué)生的認(rèn)知“距離”，使學(xué)生看到前后知識(shí)的關(guān)聯(lián)性。

平面向量基本定理、空間向量基本定理分別刻畫了平面、空間的基本性質(zhì)。使兩個(gè)二維向量在每個(gè)維度上的作用凸顯出來(lái)，即寫成（1，0）、（0，1）的

形式，然后把它們并在一起，寫成1001的形式，這樣就得到了二階單位矩陣。對(duì)三維空間中的向量也如此處理，就能得到三階單位矩陣100010001。

對(duì)n維空間中的向量也如此處理，就能得到n階單位矩陣。其實(shí)，只要明白二維空間的一些道理，學(xué)習(xí)n維空間

的相關(guān)內(nèi)容就不是難事。數(shù)學(xué)講究以簡(jiǎn)馭繁。因?yàn)閱挝痪仃嚨慕Y(jié)構(gòu)一目了然，所以如果任何一個(gè)矩陣的結(jié)構(gòu)與單位矩陣的結(jié)構(gòu)是

相似的，那么可以通過(guò)把握單位矩陣，把握任意矩陣。

向量的數(shù)量積就是投影，從投影的角度可以理解如何把握任意矩陣。向量的數(shù)量積從幾何上講就是把一個(gè)向量往另外一個(gè)向量所在的方向上投影。這種處理方法借用了人們認(rèn)識(shí)空間幾何體的方法：射影是往一維直線上投影，二視圖是往兩個(gè)相互正交的方向上投影，三視圖是往三個(gè)相互正交的方向上投影。這些正交方向可以用向量來(lái)表示。因?yàn)榫仃囀且环N變換，所以如果某些向量在

這種變換的作用下具有“不變性”，那么可以把這些向量找出來(lái)，構(gòu)成一個(gè)空間，由此出發(fā)，認(rèn)識(shí)原來(lái)的矩陣。

這就是特征向量和特征值概念的意義所在。

矩陣對(duì)角化是線性代數(shù)的高潮和精華。把任意矩陣進(jìn)行化簡(jiǎn)，并能進(jìn)行計(jì)算，是其主要任務(wù)之一。以二維空間為例，通過(guò)

Aξ=λξ，找到兩個(gè)特征值λ1、λ2及其對(duì)應(yīng)的特征向量

ξ1、ξ2。這樣，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量α就可以表示為α=t1ξ1+t2

ξ2，則Anα=t1λn1ξ1+t2λn2

ξ2。證明思路如下（人教版教材中是用數(shù)學(xué)歸納法證明的）：

把Aξ1=λ1ξ1，Aξ2=λ2ξ2寫成矩陣的形式，凸顯每一維的重要性，有A（ξ1，ξ2）=

（Aξ1，Aξ2）=（λ1ξ1，λ2ξ2）=（ξ1，ξ2）λ100λ2。

記（ξ1，ξ2）=P，則A=Pλ100λ2P-1。這樣，An=Pλ100λ2nP-1=Pλn100λn2P-1，得到An（ξ1，ξ2）=（ξ1，ξ2）λn100λn2，得到Anξ1=λn1ξ1，A

nξ2=λn2ξ2。再疊加一下，得到結(jié)論。

這里，矩陣A和對(duì)角陣λ100λ2相似，通過(guò)簡(jiǎn)單的對(duì)角陣，就能認(rèn)識(shí)相對(duì)復(fù)雜的矩陣A了。這就是數(shù)學(xué)的以簡(jiǎn)馭繁的思想。

二、用矩陣方法推導(dǎo)數(shù)列通項(xiàng)

等差數(shù)列表達(dá)的是一種線性關(guān)系。等比數(shù)列表達(dá)的雖然是一種非線性關(guān)系，但是可以轉(zhuǎn)化成線性關(guān)系。矩陣表達(dá)的是線性關(guān)系之間的一種變換，故可以用來(lái)推導(dǎo)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。等差數(shù)列由首項(xiàng)和公差決定，等比數(shù)列由首項(xiàng)和公比決定，故它們可以用二維向量來(lái)描述。具體如下：

把a(bǔ)n+1=an+d寫成矩陣的形式，有an+11=1d01an1=1d01na11，化簡(jiǎn)得an+11=1nd01a11，寫成代數(shù)等式即an+1=a1+nd。

把bn+1=qbn寫成矩陣的形式，有bn+11=q001bn1=q001nb11，化簡(jiǎn)得bn+11=qn001b11，寫成代數(shù)等式即bn+1=qbn。

由于等差、等比數(shù)列具有基礎(chǔ)性，凡是可以化歸為等差、等比數(shù)列的其他數(shù)列的通項(xiàng)理論上都可以用矩陣的方法推導(dǎo)出來(lái)。通過(guò)這樣的挖掘，初等數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的生機(jī)就會(huì)被激發(fā)出來(lái)。這也是當(dāng)下學(xué)生要學(xué)習(xí)幾百年之前的知識(shí)的理?yè)?jù)之一。

例1

（2014年高考全國(guó)Ⅱ卷）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1。

（1）證明：an+12是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）證明：

1a1+1a2+…+1an<32

。

解：（1）把a(bǔ)n+1=3an+1寫成矩陣的形式，有an+11=3101an1= 3101na11。求得其特征根為3、1，相應(yīng)的特征向量分別為（1，0）、（-1，2），用它們組成矩陣1-102。求得其逆矩陣為112012。

這樣，3101n=1-1023001n112012，

化簡(jiǎn)得3101n=

3n3n-1201，因此an+11=3n3n-120111=3n+1-121，

即得an=3n-12。

（2）略。

一些常見(jiàn)的遞推關(guān)系類型，如an+1=pan+q（或an+1=pan+qbn），an+1=pan+qan-1+r，an+1=can+dbn+e，bn+1=fan+gbn+h等，都是線性表達(dá)式，都很容易寫成矩陣表達(dá)式，從而用矩陣來(lái)求解通項(xiàng)公式。

對(duì)于分式型的遞推關(guān)系，即an+1=ban+cdan+e，只要令分母為t=dan+e，分子為tan+1=ban+c，就能變換成線性表達(dá)式的形式，從而用矩陣tan+1t=bcdean1表達(dá)出來(lái)，由此用矩陣來(lái)求解通項(xiàng)公式。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張景中.直來(lái)直去的微積分[M].北京：科學(xué)出版社，2010.