摘要：數(shù)學復習課要注意站在更高的層面溝通知識之間的聯(lián)系，突出知識的綜合應用，還要注意運用新穎的手段激發(fā)學生學習的好奇與興趣，促進學生的深度探究。在一節(jié)初中數(shù)學復習課中，教師用一片落葉串聯(lián)起圖形面積、變換以及統(tǒng)計與概率等內容的綜合應用，把學生饒有興致地卷入一系列課堂探究中。由此，認識到：數(shù)學教育中，形式不是最重要的，內容才是核心；知識和結論不是最重要的，方法和過程才是根本；成績和分數(shù)不是最重要的，趣味和專注才是追求。

關鍵詞：數(shù)學復習課教學設計綜合應用深度探究

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出了“學生能……體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力；了解數(shù)學的價值，提高學習數(shù)學的興趣，增強學習數(shù)學的信心，養(yǎng)成良好的學習習慣，具有初步的創(chuàng)新意識和科學態(tài)度”的課程總目標。

數(shù)學復習課難上是很多數(shù)學教師的共識。為了避免簡單機械地“炒冷飯”，基于上述教學目標，我們要注意站在更高的層面溝通知識之間的聯(lián)系，突出知識的綜合應用，還要注意運用新穎的手段激發(fā)學生學習的好奇與興趣，促進學生的深度探究。

一次，教學到中考總復習階段時，筆者偶然注意到校園中遍地都是金黃色的銀杏樹葉，于是撿起一片，

仔細觀察；突然聯(lián)想到最近教學的圖形面積、變換以及統(tǒng)計與概率等內容，于是醞釀出一些教學思考，展開了一次教學嘗試。

一、教學嘗試

（一）創(chuàng)設情境，引出課題

師生活中處處是數(shù)學；數(shù)學是從生活中抽象出來的，反過來又能服務于生活。我們要善于發(fā)現(xiàn)身邊的生活現(xiàn)象，從中提出數(shù)學問題，并運用已學知識分析、解決問題。現(xiàn)在，（同步操作，并投影圖1、圖2）老師用剪刀把一片葉子剪開，得到兩片不完整的葉片。根據剪開前后的葉片，你能從數(shù)學的角度提出什么問題嗎？又如何解決這些問題呢？

[設計意圖：這是一個完全開放的以“問題解決”為特征的現(xiàn)實情境。學生可以回顧已經學過的數(shù)學知識，從中找出與現(xiàn)實情境相關的內容，并在觀察、思考的基礎上，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題。當然，需要給足時間，供學生觀察、思考。]

（二）自主發(fā)現(xiàn)，挖掘內涵

（學生陸續(xù)提出問題。）

生剪開后兩片不完整葉片的周長之和l1+l2比剪開前整片葉子的周長l增加還是減少了？增加或減少了多少？

師誰來解答這個問題？

生顯然有l(wèi)1+l2>l，且l1+l2-l=2A1B1=2A2B2。測量出A1B1或A2B2的長度，即可知道增加的具體數(shù)量。

師表達得很清楚！誰還有與之類似的問題？

生剪開后兩片不完整葉片的周長l1、l2比剪開前整片葉子的周長l大還是小？

生通過對比分析，可以知道l1

師為什么呢？

生因為兩點之間的所有連線中，線段最短。

師說得很準確！前一個問題考查了定量分析，比較了剪開后兩個圖形周長之和與剪開前圖形周長的增加量；后一個問題進行了定性比較，運用了數(shù)學中關于線段的一個基本事實。可見，剪開一片葉子，還是蘊藏了不少數(shù)學現(xiàn)象的。

[設計意圖：以上兩個問題涉及直觀想象、簡單的數(shù)學推理與計算以及數(shù)學測量，是有效的數(shù)學問題；雖然思維含量一般，但卻涉及普遍存在于各種?？贾械闹匾獢?shù)學知識。以上兩個問題是教師課前能預料到的，但是，由學生主動發(fā)現(xiàn)并提出，不僅能夠提升學生的數(shù)學學習動力，而且能夠加深學生的數(shù)學理解程度，同時能夠發(fā)展學生的數(shù)學交流能力。]

（學生紛紛舉手，想要提問。教師選擇一位平時數(shù)學成績很一般的學生發(fā)言。）

生（吞吞吐吐）剪開后兩片不完整葉片的面積之和S1+S2與剪開前整片葉子的面積S有什么關系？

生（輕蔑地插嘴）這也算個問題！

師（不理，追問）那你說呢，是什么關系？

生S=S1+S2。

師很好呀，這就是經典的“算兩次”策略的體現(xiàn)！“算兩次”是指把同一個量用兩種不同的方法表示出來，從而得到相等關系。它的基本表達形式是“一方面……另一方面……綜合起來……”。一方面，剪開前整片葉子的面積是S；另一方面，剪開前整片葉子的面積又可以看作剪開后兩片不完整葉片的面積之和S1+S2；綜合起來，可知S=S1+S2。這個發(fā)現(xiàn)可是有大用處的哦！

（該生似懂非懂，卻深受鼓舞。剛才插嘴的幾位學生則不以為然，面露不屑。教師立即出示例1，要求學生解答。大約10分鐘后，多數(shù)學生完成解答，方法基本同下面的“解答”；教師投影展示兩位學生的解答過程，然后做點評與修正。）

例1

在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA，交BA的延長線于點G。一等腰直角三角尺按圖3所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與邊AC在一條直線上，另一條直角邊恰好經過點B。

（1）在圖3中，請你通過觀察、測量BF與CG的長度，猜想BF與CG滿足的數(shù)量關系，然后證明你的猜想；

（2）當三角尺沿AC方向平移到圖4所示的位置時，一條直角邊仍與邊AC在一直線上，另一條直角邊交邊BC于點D，過點D作DE⊥BA于點E。此時，請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想DE+DF與CG之間滿足的數(shù)量關系，然后證明你的猜想；

（3）當三角尺在（2）的基礎上沿AC方向繼續(xù)平移到圖5所示的位置（點F在線段AC上，且不與點C重合）時，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由）

解答（1）BF=CG。證明：因為∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，所以△ABF≌△ACG（AAS），所以BF=CG。

（2）DE+DF=CG。證明：如圖6，過點D作DH⊥CG于點H。又因為DE⊥BA于點E，∠G=90°，所以四邊形EDHG為矩形，所以DE=HG，DH∥BG，所以∠GBC=∠HDC。又因為AB=AC，所以∠FCD=∠GBC=∠HDC。又因為∠F=∠DHC=90°，CD=DC，所以△FDC≌△HCD（AAS），所以DF=CH。綜上，DE+DF=HG+CH=CG。

（3）仍然成立。

生（嘟囔）老師突然出這個題是什么意思？

師（不理，追問）第二小題還有其他的方法嗎？

（學生沒有回應，低頭思考。）

師能不能試一試剛才那位同學引出的把面積“算兩次”的方法？

（很快就有幾位學生舉手。教師指名之前插嘴的一位學生。）

生（有點不好意思）本題還可以利用面積，通過“算兩次”的策略進行證明。連接AD，設AB=AC=m。一方面，有S△ABC=AB·CG=m·CG；另一方面，有S△ABC= S△ADB+S△ADC=AB·DE+AC·DF=m·DE+m·DF；綜合起來，可得m·CG=m·DE+m·DF，即DE+DF=CG。生（補充）其實，第三小題也可以類比解答，沒有多少變化。另外，第一小題是第二小題的特殊情形，此時BE=DE=0，BF=DF，自然會有BF=CG。

（教室內掌聲雷動。）

師漂亮！不僅方法簡捷，而且思路清晰，表達流暢。之所以能夠如此證明，是因為題目中有眾多的線段垂直關系，可以有效地和面積結合起來，從而借助“算兩次”策略巧妙地證明。這也是面積法的巨大優(yōu)勢：由于圖形分割前后“面積守恒”，于是，通過把面積“算兩次”的方法，可以巧妙地解決一些經典的幾何問題。課后，請同學們運用這種方法，完成以下兩個結論的證明，并與一般方法進行對比，體會方法的優(yōu)劣。

（教師出示練習1和練習2。）

練習1

證明：邊長確定的正三角形內部一點到三條邊的距離之和為定值。（如圖7，點P為正△ABC內部任意一點，則PD+PE+PF為定值。）

練習2

證明：三角形內（外）角平分線定理。（如圖8或圖9，△ABC的內角∠BAC或其相鄰外角的平分線AD交直線BC于點D，則有BDCD=ABAC。）

師其實，不光是圖形的面積，只要一個數(shù)學研究對象具有“雙重身份”，就可以考慮使用這種方法。

[設計意圖：學生提出關于剪開前后葉片面積關系的問題以及對這個問題中蘊含的把面積“算兩次”的方法認識比較膚淺（知道，但是在要用時卻想不到或不會用）也是教師事先能預料到的。因此，通過一道例題、兩道練習題，幫助學生深化認識并且強化訓練。這里，練習 1只要先取特例（令點P與點A重合），鎖定目標（PD+PE+PF=AH），再把△ABC的面積“算兩次”，利用正三角形三邊相等，即可證明；練習 2只要想到角平分線上的點到角的兩邊距離相等，把△ABD與△ACD變?yōu)椤暗雀撸―M=DN）三角形”，從而把面積比（S△ABD∶S△ACD）轉變?yōu)榫€段比（BD∶CD），再結合△ABD與△ACD是“同高（AH）三角形”，從而把面積比（S△ABD∶S△ACD）轉變?yōu)榫€段比（AB∶AC），這樣把面積比“算兩次”，即可證明。]

（三）引導發(fā)現(xiàn)，聯(lián)想運用

師回到“落葉”上，誰還能提出其他與面積相關的問題？

生能否求出剪開前整片葉子的面積S？能否知道剪開后兩片不完整葉片的面積之比S1∶S2？

師哪位同學能解答這個問題？

（學生提出割補轉化、數(shù)方格等數(shù)學方法，甚至提出“先用石蠟做一個適當厚度的模型，再用排水法測出模型的體積，然后除以厚度，從而求出面積”的物理方法。這些方法在討論中都因“操作不便”而被否定。教師趁機出示例2，要求學生解答。很快，多數(shù)學生完成解答，方法是求出陰影部分面積與正方形面積之比。接著，一些學生頓悟。）

例2

（2017年中考內蒙古赤峰卷）小明向如圖10所示的正方形ABCD區(qū)域內投擲飛鏢。點E是以AB為直徑的半圓與對角線AC的交點。如果小明投擲一次，則飛鏢落在陰影部分的概率為（）

A. 12

B. 14

C. 13

D. 15

生（出示圖11）用一塊面積為S正的正方形玻璃片蓋住整片葉子，然后取大小均勻的米粒若干，多次重復投擲到玻璃片上。統(tǒng)計落在葉片區(qū)的次數(shù)m和落在非葉片區(qū)的次數(shù)n，則可用mS正m+n來估計整片葉子的面積S。投擲次數(shù)越多，估計越準確。（出示圖12）用一塊玻璃片蓋住兩片不完整的葉片，然后取大小均勻的米粒若干，多次重復投擲到玻璃片上，統(tǒng)計落在兩個葉片區(qū)的次數(shù)m1和m2，則可用m1∶m2來估計兩片不完整葉片的面積之比S1∶S2。

師很好，你真聰明！統(tǒng)計與概率本是一家人。借助統(tǒng)計的方法來估計事件發(fā)生的概率是一種科學的方法。設事件A是試驗E中的一個事件，若將E重復進行n次，其中A發(fā)生了m次，則稱mn為這n次試驗中事件A發(fā)生的頻率。在一定的條件下，當試驗次數(shù)越來越多時，事件A出現(xiàn)的頻率逐步穩(wěn)定于某一個固定的常數(shù)P，稱P為事件A出現(xiàn)的概率。

[設計意圖：在面積（及周長）關系問題的基礎上，引導學生自然提出面積大小的問題。顯然，這是一個非常不規(guī)則的圖形，求其面積大小不能采用常規(guī)的辦法（如面積公式、割補轉化等）。于是，通過一道例題，引導學生聯(lián)想運用統(tǒng)計與概率知識解決問題。這對于學生深入、靈活地理解統(tǒng)計與概率的關系及其應用價值，具有重要意義。]

師從圖形變換的角度，還能不能提出其他問題？

生將剪開后兩片不完整的葉片隨手置于桌上，如何移動一片葉片，使之與另一片葉片拼成剪開前整片葉子的形狀？

師這個問題好！看誰能解答？請先在小組內充分討論，再舉手回答。

（學生討論，大約3分鐘。）

生分成兩種情形：（出示圖13）這種情況下，把葉片②作平移或旋轉變換，即可完成與①的拼合；（出示圖14）這種情況下，先把葉片②作軸對稱變換，再把它作平移或旋轉變換，才可完成與①的拼合。

師很好！其實，這個問題中暗藏了一個很有價值的數(shù)學知識。為了說清楚，不妨定義一個新的概念：假設△ABC≌△A1B1C1，點A與點A1對應，點B與點B1對應，點C與點C1對應，當點沿著周界A→B→C→A及A1→B1→ C1 →A1環(huán)繞時，（出示圖15）若運動方向相同，則稱兩個三角形是完全全等三角形；（出示圖16）若運動方向相反，則稱兩個三角形是鏡面全等三角形。顯然，兩個完全全等的三角形一定可以通過平移或旋轉實現(xiàn)重合，兩個鏡面全等的三角形必須通過一次翻折（軸對稱），才能通過平移或旋轉實現(xiàn)重合。反之，平移或旋轉變換前后的兩個圖形是完全全等圖形，軸對稱變換前后的兩個圖形是鏡面全等圖形。在此基礎上理解剛才的回答為什么要分成兩種情形，就容易多了。

[設計意圖：換個角度，引導學生提出圖形變換（運動）方面的問題。學生對于三種常見的圖形變換，更多接觸到的是變換前后圖形位置和數(shù)量關系的研究，因此對于圖形變換本身，往往認識不夠到位。這里，挖掘了日常教學所不及的“完全全等”和“鏡面全等”概念。它們在解決一些相關問題時，具有重要的意義。其實，這里還可以繼續(xù)引入更深層次的內容。比如：軸對稱能做出平移和旋轉的效果，而平移和旋轉做不出軸對稱的效果；平移和旋轉是限制在二維平面內的運動，而軸對稱是突破到三維空間中的運動。]

（四）課堂小結，串點成線

師本節(jié)課我們從一片落葉開始探究，提出了幾個有價值的數(shù)學問題。這些問題看似風馬牛不相及，卻又實實在在關聯(lián)在剪開前后的葉子周圍。前兩個問題涉及對圖形結構的觀察和周長的運算，第三個問題引出了把面積“算兩次”的方法，第四個問題讓我們認識了統(tǒng)計與概率的關系及其應用價值，最后一個問題則讓我們從更深的層次上認識了三種圖形變換之間的聯(lián)系和區(qū)別。由此可見，善于發(fā)現(xiàn)身邊的生活現(xiàn)象，從中提出數(shù)學問題，并運用已學知識分析、解決問題，不僅可以感受數(shù)學學習的樂趣，體會數(shù)學應用的價值，而且可以拓寬視野，提升認識。

二、教學思考

對圖形結構的觀察和思考、對圖形構成要素（主要指線段與角）的靈活運算、對圖形變換規(guī)律及變換方法之間關系的充分理解、對圖形面積工具性的深刻認識是初中數(shù)學的重要內容，在很大程度上影響著平面幾何知識的綜合運用。而統(tǒng)計與概率也是初中數(shù)學的重要知識，理解其相互關系、認識其應用價值是發(fā)展數(shù)據分析觀念的核心。本節(jié)課用一片落葉串聯(lián)起這些內容的綜合應用，把學生饒有興致地卷入一系列課堂探究中，收到了良好的教學效果。

在傳統(tǒng)教學觀看來，這似乎是一節(jié)毫無教學邏輯的課堂設計，幾個教學內容（問題）之間風馬牛不相及，但教師和學生卻充分享受到了課堂的生成和探究的快樂。在此回顧整個課堂實施過程，以求尋數(shù)學教育的規(guī)律。

（一）形式不是最重要的，內容才是核心

本節(jié)課最初源于筆者對一片落葉的關注，本著“數(shù)學地思考”的出發(fā)點，想讓學生完成一節(jié)自主探究課，享受“做數(shù)學”的樂趣：起始于觀察和發(fā)現(xiàn)，落地于教學和育人。當然，在課堂實施之前，筆者是做了充分的教學預設的。對于前兩個問題，學生一定會提出來，從而深化對圖形結構的觀察和線段公理的認識；對于第三個問題，學生可能會在心里一想而過，感覺過于簡單而不去深究，因此筆者設計了一例（課上）、兩練（課下），加深學生對“把面積‘算兩次’”的認識（應用環(huán)境、基本思路和表達格式）；對于第四個問題，筆者在引導時特意強調了“與面積相關”，讓學生大膽地提出了一個求不規(guī)則圖形的問題，這在日常教學中是很少涉及的，由此在豐富學生求解不規(guī)則圖形面積方法的同時，也讓學生深刻體會到了統(tǒng)計與概率的關系及其學習價值；第五個問題，則是為了讓學生感悟幾個常用圖形變換方法之間的異同和聯(lián)系，為將來站在圖形與變換的角度分析和解決平面幾何問題打下基礎。五個問題之間沒有明顯的內在聯(lián)系，卻被一片落葉給串聯(lián)了起來。“散亂”的教學形式，卻有實在的教學內容，指向明確的教學目的。

（二）知識和結論不是最重要的，方法和過程才是根本

數(shù)學學習不能單靠記憶和模仿。如果只是機械記憶那些數(shù)學條文式的陳述性知識（如概念和命題等），簡單模仿那些有固定步驟的程序性知識，則只能獲得扎實卻無用的“雙基”；只有指向思想、方法、意識、觀念的數(shù)學活動，才能幫助學生體會數(shù)學思想方法，積累數(shù)學活動經驗，從而獲得策略性知識，提高元認知能力。死的知識和結論不是教學的唯一出發(fā)點，活的方法和過程才是教學的最終歸宿。本節(jié)課中的幾個問題都是學生觀（“看”）察（“思”），從而發(fā)現(xiàn)和提出的。在這個過程中，學生聯(lián)想知識，運用方法，從“問題解決”的角度去審視研究對象，不知不覺中提升了數(shù)學能力。課堂研究中得到的知識和結論可能不是最重要的“應試內容”（如第四個和第五個問題），但是，方法和過程對學生數(shù)學素養(yǎng)的形成影響非常大。

（三）成績和分數(shù)不是最重要的，趣味和專注才是追求

讓學生喜歡上數(shù)學，從此能主動地去學習、去思考、去研究，比一時的“高分”意義要大得多。本節(jié)課沒有指向“應試教育”，其效果也有延遲效應。但學生享受而不是忍受著課堂，快樂、積極地參與其中，這是因為落葉這個探究的對象是“有意思”的，是平時很少研究的，是容易引起學生的興趣和專注的。教師只有善于發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學現(xiàn)象，才能引導學生開展主動、高效的數(shù)學研究。一片落葉竟能探究出如此多的數(shù)學問題，值得深思。雖然有些問題偏離正在復習的內容較遠，但是落葉的時效性和生成性十足，容易激發(fā)學生的探究興趣，更有助于提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，所以“浪費”一些教學時間是值得的。

參考文獻：

[1] 陳明華，林益生.數(shù)學教學實施指南·初中卷[M].武漢：華中師范大學出版社，2003.