摘要：教學人教版初中數學教材“應用一般式求二次函數的解析式”時，不少教師將二次函數的一般式、頂點式和交點式一起作為教學內容。這樣的做法與教材的知識演變、學生的認知發(fā)展并不契合，是不自然的?！肮鲜斓俾洹笔亲匀唤鐟械暮椭C生態(tài)，讓知識、技能自然地“生長”在學生的認知網絡中才是數學教學應有的和諧生態(tài)。為此，教師應該在充分閱讀教材、剖析其編排意圖的基礎上，把握內容的演變關聯，明晰學習的發(fā)展歷程，從而獲得教學的基本線索，在適合的時間點上將不同的內容融入教學。

關鍵詞：二次函數解析式教學診斷教材解讀教學生態(tài)

人教版初中數學九年級上冊“22.1.4二次函數y=ax2+bx+c的圖像和性質”的第2課時安排了一則“探究”，作為二次函數一般式的應用，意在引導學生學習運用待定系數法求二次函數的解析式。不少教師認為，這一課時教學內容偏少，應該適當補充。而且，學生在學習這一課時前已經積累了運用待定系數法求一次函數的解析式的經驗。不少教師認為，學生能夠較快地將這些經驗遷移到這一課時的學習中來。因此，不少教師將初中階段較為常見的二次函數解析式的三種形式，即一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）、頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a≠0）、交點式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），一起作為這一課時的教學內容。筆者以為，這樣的做法與教材的知識演變、學生的認知發(fā)展并不契合，是不自然的。下面，就結合這一課時一次隨堂的教學片段及診斷、相關內容的教材編排及解讀，談談筆者的感悟。

一、一次隨堂的教學片段及診斷

（一）教學片段

教師投影出示下列題組，要求學生自主求解：

（1）一個二次函數的圖像經過（-1，10）、（1，4）、（2，7）三點，求這個二次函數的解析式；

（2）一條拋物線的頂點為（1，2），且經過點（-1，3），求這條拋物線的解析式；

（3）一個二次函數的圖像經過（-1，0）、（3，0）和（1，-5）三點，求這個二次函數的解析式。

學生自主求解時，教師巡視，發(fā)現很多學生遇到困難。8分鐘后，教師組織學生展開全班交流——

師我們利用什么方法來求這三個解析式？

生待定系數法。

師具體說說。

生根據二次函數的定義，可知其一般式為y=ax2+bx+c（a≠0）。題（1）和題（3）都可以列出關于a、b、c的三元一次方程組來求解。

師那就請你來展示一下解題過程吧。

生（邊投影展示邊說）

設這個二次函數的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

則a-b+c=10，

a+b+c=4，

4a+2b+c=7，

解得a=2，

b=-3，

c=5，

所以所求二次函數的解析式為y=2x2-3x+5。

（這位學生繼續(xù)投影展示題（3）的求解過程——與題（1）的求解過程基本相同，所求二次函數的解析式為y=54x2-52x-154。）

師對于題（3），還有更便捷的解法。大家知道嗎？

（學生沉默。）

師大家想知道這種方法嗎？

生（齊）想！

師看得出，點（-1，0）、（3，0）是該二次函數圖像與x軸的交點。根據利用因式分解法解一元二次方程的經驗，如果二次函數的圖像與x軸交于點（x1，0）、（x2，0），則其解析式可以寫成y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）。我們稱這種形式為“交點式”。你能直接用交點式設出題（3）中的二次函數嗎？

（學生沉默，約1分鐘。）

師本題中的解析式可以直接設為y=a（x+1）（x-3）（a≠0），然后只要代入另一個點的坐標，求出a的值。

（板書點的坐標）

大家不妨用這個方法求出經過（1，0）、（-2，0）和（0，3）三點的拋物線的解析式。

（學生求解時，教師巡視、指導。3分鐘后，教師組織學生展開全班交流，發(fā)現本題的正確率明顯提升。）

師對于題（2），你們是怎么求解的呢？

生我是用一般式，然后根據頂點公式列出方程組

-b2a=1，

4ac-b24a=2，

a-b+c=3，

求出a、b、c。

師你求出a、b、c了嗎？

生沒有。

師看來這個方法不簡單??！那么，有沒有更簡單的方法呢？

生可以用頂點式來求。

師怎么求？你來講講。

生（邊投影展示邊說）

設這個二次函數的解析式為y=a（x-1）2+2（a≠0），

則3=4a+2，

解得a=14，

所以所求二次函數的解析式為y=14（x-1）2+2。

師說說你是怎么想的。

生根據前面學過的知識，頂點橫坐標1就是h的值，頂點縱坐標2就是k的值。將這兩個值代入頂點式中，可得y=a（x-1）2+2；再將點（-1，3）的坐標代入，即可求出a的值。

師非常棒！用頂點式可以將這道題的運算簡化不少。從上面幾題的解答過程不難看出，求二次函數的解析式時，應該根據題目給出的點的特點，從三種形式中挑選出最適合的，然后運用待定系數法。

（二）教學診斷

綜合分析上面的教學過程，不難看出，在一節(jié)課上同時學習二次函數解析式的三種形式確實比較困難：教師煞費苦心的例題設計沒有讓學生走上認知的“快車道”，反而使教學過程舉步維艱，教學成效偏離預期。

1.例題設計煞費苦心。

從例題設計看，教師是花了很多心思的：三道例題分別指向一般式、頂點式和交點式。題（1）是一般式的應用，是教材安排的“探究”中的問題；學生在本節(jié)課前已經較為深入地學習了二次函數的定義、圖像和性質等方面知識，此時探索一般式的求法是順理成章的事情。題（2）是頂點式的應用，是對教材前一小節(jié)（“22.1.3二次函數y=a（x-h）2+k的圖像和性質”）安排的一道需要求出頂點式的實際問題（例4）的復習鞏固。題（3）的解答既可以應用一般式，也可以應用交點式；但是從教學過程看，教師意在引出交點式。

2.教學過程舉步維艱。

從教學過程看，學生學得艱難，教師教得痛苦。沒有對“運用待定系數法求一次函數解析式”這一

舊知回顧的“硬性遷移”讓學生的自主解答困難重重。8分鐘的探索，很多學生“無果而終”。求解過程的鋪墊不足讓后續(xù)的全班交流“如履薄冰”。一般式的應用成為交流的重點，學生給出的幾乎全是基于一般式的解題過程。在沒有追問的情況下，幾乎無人涉及頂點式和交點式：對于頂點式，雖然學生學過，但是由于問題情境的變化，他們很難將其應用

由前一小節(jié)的實際問題（例4）遷移到這里來；至于交點式，讓壓根就沒有見過的學生想出來，顯然是不可能的。

3.教學成效偏離預期。

從教學成效看，貌似教師預設的教學任務得以順利完成，實則學生所學的知識內容（頂點式、交點式）只是浮于表面，沒有真正進入

個人的認知系統(tǒng)。在自主求解環(huán)節(jié)，教師原本以為學生能夠根據

舊知直接將一般式、頂點式應用到相應例題的求解過程中，但是事與愿違。

在全班交流環(huán)節(jié)，教師牢牢掌控著話語權，無論是一般式、頂點式，還是交點式，都淺嘗輒止，看似給了幾位學生展示解題過程的機會，實則沒有進行充分的交流，使得正確解答的示范作用沒有完全發(fā)揮出來，更不要談解法的優(yōu)劣之分了。在小結歸納環(huán)節(jié)，教師依然自說自話，甚至對于“在什么樣的時點選擇什么樣的解法”直接“口口相傳”，使得學生

缺乏完整的思維與解題過程的經歷，不能充分地體驗解法。

二、相關內容的教材編排及解讀

（一）教材編排

教材“22.1二次函數的圖像和性質”安排了四個小節(jié)：“22.1.1二次函數”

“22.1.2二次函數y=ax2的圖像和性質”

“22.1.3二次函數y=a（x-h）2+k的圖像和性質”

“22.1.4二次函數y=ax2+bx+c的圖像和性質”。

第一小節(jié)從正方體的表面積、球隊比賽的場次、產品的年產量三個問題入手，抽象出y=6x2、m=12n2-12n、y=20x2+40x+20三個函數關系式；通過對這三個函數關系式的比較分析，歸納出二次函數的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）。后三小節(jié)便基于一般式，由特殊到一般地展開二次函數圖像與性質的探索。其中，第二小節(jié)從y=x2出發(fā)，探索最特殊的二次函數y=ax2的圖像和性質；第三小節(jié)從y=ax2與y=ax2+k、y=a（x-h）2的關系出發(fā)，疊加得二次函數的頂點式，探索形式特殊、實質“一般”的二次函數y=a（x-h）2+k的圖像和性質；第四小節(jié)從通過配方法化一般式為頂點式出發(fā)，探索一般的二次函數y=ax2+bx+c的圖像和性質。

此外，第三小節(jié)探索出二次函數y=a（x-h）2+k的圖像和性質后，還安排了一道實際問題（例4），揭示應用頂點式求二次函數解析式的基本過程；第四小節(jié)探索出二次函數y=ax2+bx+c的圖像和性質后，還安排了一則“探究”，揭示應用一般式求二次函數解析式的基本過程。需要指出的是，第三小節(jié)中的例4是一個與章前圖“噴水池”有關的問題：“要修建一個圓形的噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1 m處達到最高，高度為3 m，水柱落地處離池中心3 m，水管應多長？”這道例題的解答緊密結合圖像展開：通過對文本的詳細解讀，建構二次函數的圖像（拋物線），進而將其頂點的坐標及與y軸交點的坐標代入頂點式，求出待定的系數，得到最終的解析式。第四小節(jié)中的“探究”有“*”標記，說明它是選學內容，不在考試范圍。

教材“22.2二次函數與一元二次方程”則與二次函數的交點式有著密切的聯系，是其存在的“土壤”。雖然教材沒有明示，但是配套的教師教學用書闡述了其生成過程：“二次函數與一元二次方程有很大的關系，如果讓y=ax2+bx+c中的y的值為0，可得y=ax2+bx+c的圖像與x軸的交點坐標為（x1，0）、（x2，0），就得到了交點式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）?！贝送猓滩碾m然沒有安排專門的例題來揭示應用交點式求二次函數解析式的基本過程，但是安排了少量的練習。

（二）教材解讀

綜合分析上面的教材編排，不難看出，二次函數解析式三種形式引出的基本思路是：從具體問題入手，抽象出一般式；在深入研究一般式的圖像和性質的過程中，遵循由特殊到一般的規(guī)律，又抽象出頂點式；在進一步的探索中，發(fā)現二次函數與一元二次方程的關系，建構出交點式。由此，不難發(fā)現，一般式是代數視角下初步認識二次函數概念的基本解析式形式；頂點式和交點式是幾何（圖像）視角下深入研究二次函數性質的重要解析式形式，能夠幫助學生認清二次函數的圖像特征（頂點或與x軸的交點），對他們獲取多樣化的解題思路、優(yōu)化解題過程十分有益。所以，教學“運用待定系數法求二次函數的解析式”時，要注意讓學生明確三種形式

的數形特征、適用范圍、應用步驟。

教材將“22.1.4二次函數y=ax2+bx+c的圖像和性質”中的“探究”作為選學內容、不在考試范圍是《義務教育數學課程標準（2011年版）》

（以下簡稱“課標”）

中“課程內容”的要求，說明其“難度較大，適用性不強”?；谶@樣的要求，筆者認為，對于“應用一般式求二次函數的解析式”，要讓學生學會，但是不宜做過多的訓練。而且，同樣基于課標的要求，教材也將學習這一內容的基礎——七年級下冊“8.4三元一次方程組”——作為選學內容、不在考試范圍。因此，教學“運用待定系數法求二次函數的解析式”時，與其讓學生深陷“解三元一次方程組求一般式”的泥潭，不如另辟蹊徑，在課標和教材規(guī)定的內容和范圍中展開深度學習，讓學生學會應用更為便捷的頂點式或交點式來求二次函數的解析式。

教材在“22.1.3二次函數y=a（x-h）2+k的圖像和性質”中特別安排了例4，說明教材特別重視頂點式這一“數形結合體”的應用?；谶@樣的設計，筆者認為，對于“應用頂點式求二次函數的解析式”，不僅要結合例4落實教學內容（數形特征、適用范圍、應用步驟），而且應在后續(xù)的問題解決中反復訓練，提升學生應用的熟練與靈活程度。也即，教學“運用待定系數法求二次函數的解析式”時，應把頂點式的應用作為重點。

教材沒有明確地介紹交點式，而是將其隱含在相關問題的解決中，作為拓展資源。不過，教學“運用待定系數法求二次函數的解析式”時，用其解決一些特定的問題十分便捷，適用度好于頂點式和一般式。所以，對于學有余力的學生，可以讓他們獲得這一知識并加以應用；而對于基礎薄弱的學生，還是不提要求為好。

三、教學感悟

教材是課標的教學化載體，是教師教和學生學的主要工具。“強扭的瓜不甜”，“瓜熟蒂落”才是自然界應有的和諧生態(tài)。不順應知識結構、認知規(guī)律而獲得、接受的知識、技能是很難長久“貯存”的，讓知識、技能自然地“生長”在學生的認知網絡中才是數學教學應有的和諧生態(tài)。為此，教師應該在充分閱讀教材、剖析其編排意圖的基礎上，把握內容的演變關聯，明晰學習的發(fā)展歷程，從而獲得教學的基本線索，在適合的時間點上將不同的內容融入教學。

（一）重視知識關聯，強化系統(tǒng)建構

數學教材中，任何一個知識點基本都不是孤立的，而是在整個知識體系中承前啟后的。設計一節(jié)課的教學，我們不僅要閱讀相應小節(jié)的教材，而且要“瞻前顧后”，閱讀與之相關聯的前、后兩部分教材，從中發(fā)現知識演變的內在線索，從而明晰教學的起點和發(fā)展方向。

例如，閱讀教材不難發(fā)現，二次函數的一般式是基于實際問題的直接抽象，因此最先出現；頂點式是探究一般式狀態(tài)下的二次函數圖像與性質的中間橋梁，因此接著出現；交點式是一般式的特殊化，因此隱藏在相關問題的解決中?？梢?，三種形式之間彼此關聯，形成線索。我們的教學應該把握這樣的關聯，依據相應的線索，自然地展開。

此外，數學教材中，任何一個知識點所蘊含的知識層次往往都不是單一的，而是多樣的。數學教學不僅要重視概念、定理、法則、公式等顯性知識，而且要關注思想方法、活動經驗等隱性知識。如果只重視前者，而忽略后者，就會導致學生無法將學到（發(fā)現、接受）的知識轉化為應用（解決問題）的能力。對此，我們還應該關注教材中不同知識塊之間認知方法和路徑上的關聯，幫助學生將在不同知識塊的認知過程中獲得的知識、經驗融合在一起，形成一個認知系統(tǒng)。

例如，教材對一次函數的編排是從正比例函數y=kx開始，逐步過渡到一般的一次函數y=kx+b的；對二次函數頂點式的編排則是從特殊的形式y(tǒng)=ax2開始，逐步過渡到一般的形式y(tǒng)=a（x-h）2+k的。進一步地，教材對一次函數、二次函數乃至后續(xù)更為復雜的函數的編排都是基于定義、圖像及性質、應用的順序的。這樣的設計，將不同知識塊的認知用相同的方法、沿相同的路徑展開，無疑會讓前面知識的學習中潛藏的方法與路徑為后面知識的學習做鋪墊。因此，“應用頂點式求二次函數的解析式”應該緊跟在“二次函數y=a（x-h）2+k的圖像和性質”之后展開教學，這樣才比較自然；“運用待定系數法求二次函數的解析式”應該與“運用待定系數法求一次函數的解析式”聯系起來展開教學，這樣才比較高效。

（二）分析認知歷程，促進自主探索

新課標理念下，數學教材的編寫

凸顯了學生通過自主探索獲取知識、技能的動態(tài)發(fā)展過程。設計一節(jié)課的教學，我們要在閱讀教材的基礎上摸清學生的已有認知基礎，弄清學生已經學過了哪些與本節(jié)內容相關的知識、技能，積累了哪些與本節(jié)學習有關的方法、經驗，還應對學生獲取“四基”的能力和效率進行細致的分析，從中發(fā)現認識發(fā)展的主要線索，從而明晰教學的路徑和目標定位。

例如，閱讀教材不難發(fā)現，一般情況下，學生不會熟練掌握“解三元一次方程組”這一

選學內容，因此，缺乏學習“應用一般式求二次函數的解析式”的牢固基礎。教學“應用一般式求二次函數的解析式”時，不僅要用好教材給出的“探究”，而且應設計一些運算較為簡單的鞏固練習并給予學生足夠的完成時間。上述課例中，教師給出的問題運算難度偏大（每一個方程中a、b、c都齊全，甚至還有非整數解），而且完成時間不足（8分鐘很難解三個三元一次方程組），導致學生很少能夠給出正確、規(guī)范的解題過程。

此外，數學教學必須重視學生對知識的自主探索，否則，學生就無法獲得充分的體驗和深入的理解。對此，我們還應該關注教材中蘊涵的知識探索過程，促使學生在已有認知的基礎上，主動地探索新知，完成建構。

例如，閱讀教材不難發(fā)現，基于對特殊的二次函數頂點式y(tǒng)=ax2、y=ax2+k、y=a（x-h）2的圖像與性質的連續(xù)探索，學生不難抽象出一般的二次函數頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k，并且具備了自主探索y=a（x-h）2+k的圖像與性質的基礎；而正是對一般的二次函數頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k的圖像與性質的探索，使得學生從教材例4給出的文本信息中抽象出二次函數的圖像特征，從而應用頂點式求二次函數的解析式成為可能。這進一步說明，“應用頂點式求二次函數的解析式”應該緊跟在“二次函數y=a（x-h）2+k的圖像和性質”之后展開教學，即基于教材例4的解答進行鞏固與提升。同樣，探索了二次函數與一元二次方程的關系，學生才具備了學習二次函數的交點式及應用交點式求二次函數的解析式的基礎。因此，“應用交點式求二次函數的解析式”應該直等到“二次函數與一元二次方程”之后展開教學。

參考文獻：

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