摘 要：作為數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究的先驅(qū)之一，美國(guó)著名數(shù)學(xué)史家、數(shù)學(xué)教育家史密斯

對(duì)數(shù)學(xué)史對(duì)于教師的價(jià)值做過(guò)深的入探討，有過(guò)深刻的認(rèn)識(shí)。對(duì)史密斯的數(shù)學(xué)教育思想進(jìn)行梳理，并且從數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展中的“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)”的角度探討其現(xiàn)代啟示。得到結(jié)論：數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的廣博程度直接影響數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)、對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)藝術(shù)多樣性的習(xí)得、對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理活動(dòng)歷程的預(yù)知、對(duì)數(shù)學(xué)課程資源多途徑的獲取。

關(guān)鍵詞：史密斯思想 數(shù)學(xué)史 教師發(fā)展 MKT

關(guān)于數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，教師關(guān)注得更多的是數(shù)學(xué)史對(duì)于學(xué)生的價(jià)值，比如數(shù)學(xué)史激發(fā)學(xué)生的興趣，促進(jìn)學(xué)生的理解，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程和本質(zhì)，等等。這也是教師對(duì)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐產(chǎn)生濃厚興趣的重要原因之一。然而，實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)史對(duì)于教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展也有著重要的作用。

事實(shí)上，在數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育（HPM）研究的早期，一些先驅(qū)已經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)史對(duì)于教師的價(jià)值做過(guò)深的入探討，有過(guò)深刻的認(rèn)識(shí)。美國(guó)著名數(shù)學(xué)史家、數(shù)學(xué)教育家史密斯（D.E.Smith，1860～1944）就是其中之一。史密斯一生筆耕不輟，著作等身，除了《數(shù)學(xué)史》《數(shù)學(xué)原典》《算術(shù)珍本》等經(jīng)典之作外，還撰寫(xiě)了大量有關(guān)數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育的論文，與他人合作編寫(xiě)了約150種數(shù)學(xué)教科書(shū)，為我們留下了許多重要的數(shù)學(xué)教育思想。

站在巨人的肩膀上，才能看得更遠(yuǎn)。本文對(duì)這些思想進(jìn)行梳理，并且從數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展中的“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)”（Mathematics Knowledge of Teaching，簡(jiǎn)稱(chēng)MKT；其結(jié)構(gòu)如圖1所示）的角度探討其現(xiàn)代啟示。

圖1

一、數(shù)學(xué)史與教師的“內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)”

教師的內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)（Knowledge of Content and Teaching，簡(jiǎn)稱(chēng)KCT）是指綜合針對(duì)教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)與實(shí)施的知識(shí)，用于確定教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)順序，識(shí)別教學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn)以及根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)安排不同程度的活動(dòng)，即回答“怎么教”的知識(shí)。關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，史密斯分別從思想和方法上給予我們啟迪。

首先，在思想上。教學(xué)從根本上講是一種輔助學(xué)生學(xué)習(xí)的行為。若教師未能有效地從思想上端正學(xué)生的學(xué)習(xí)信念，則再高明的教學(xué)行為都只能是“金玉其外，敗絮其中”。教師的教學(xué)觀念往往是學(xué)生學(xué)習(xí)信念的主要來(lái)源之一。若教師自身對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)沒(méi)有一個(gè)健康的認(rèn)識(shí)，則其教學(xué)效果也只能收到上行下效的反饋。那么，什么才是健康的數(shù)學(xué)教學(xué)觀念呢？史密斯認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教育的目的不僅僅是為了數(shù)學(xué)的技術(shù)，為了這組或那組定律，為了一堆彼此無(wú)關(guān)的命題，為了學(xué)校規(guī)定的某場(chǎng)考試，而主要是為了數(shù)學(xué)的美，為了數(shù)學(xué)所給予的對(duì)于永恒真理的信仰，為了那種比較有限和無(wú)限世界里的律則之后所產(chǎn)生的謙卑感?！惫P者認(rèn)為，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)才是健康的數(shù)學(xué)教學(xué)，因?yàn)樗怯泻髣诺臄?shù)學(xué)教學(xué)，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種自動(dòng)自發(fā)的行為，是一種欲罷不能的情感。接下來(lái)的問(wèn)題則是：如何才能獲取健康的數(shù)學(xué)教學(xué)觀念？教師要發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中那些公式、定理背后對(duì)于生活的意義以及數(shù)學(xué)中那些對(duì)于真理孜孜以求的精神，從而建立對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的熱愛(ài)。對(duì)此，史密斯在“七支蠟燭”理論中已有很好的論述：（1）“實(shí)用之燈”，即數(shù)學(xué)與人類(lèi)的活動(dòng)息息相關(guān)，無(wú)論是腦力上還是體力上的活動(dòng)，數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)都應(yīng)有其用武之地；（2）“裝飾之燈”，即數(shù)學(xué)有著獨(dú)特的美感；（3）“想象之燈”，即任何數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都離不開(kāi)想象的作用；（4）“詩(shī)歌之燈”，即數(shù)學(xué)中有著豐富的詩(shī)意；（5）“神秘之燈”，即數(shù)學(xué)中有著豐富的謎題；（6）“無(wú)窮之燈”，即數(shù)學(xué)能使人認(rèn)識(shí)到自身在浩瀚宇宙中渺小的力量……

其次，在方法上。史密斯指出：“數(shù)學(xué)史展現(xiàn)了不同方法的成敗得失，因而今人可從中汲取思想養(yǎng)料，少走彎路，獲取最佳教學(xué)方法?！睔v史是最好的老師，歷史是最好的教材。站在歷史的肩膀上，不但可以快捷、有效地汲取知識(shí)，而且可以從前人的經(jīng)歷中借鑒探索正確知識(shí)與規(guī)避錯(cuò)誤路徑的法子。很多教師在課堂上，喜歡講述數(shù)學(xué)家的睿智與成就，而不提及他們的錯(cuò)誤與失敗。數(shù)學(xué)家輝煌的經(jīng)歷固然能使學(xué)生受到激勵(lì)，但是他們錯(cuò)誤的教訓(xùn)更容易讓學(xué)生產(chǎn)生共鳴。這是因?yàn)閷W(xué)生經(jīng)常會(huì)犯和數(shù)學(xué)家同樣的錯(cuò)誤。例如，面對(duì)擲骰子的概率問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)常會(huì)犯“想當(dāng)然”的錯(cuò)誤，而數(shù)學(xué)家也犯過(guò)這樣的低級(jí)錯(cuò)誤。法國(guó)著名賭徒德·梅雷（De Méré，1607～1684）曾經(jīng)向數(shù)學(xué)家帕斯卡（B.Pascal，1623～1662）提問(wèn)：一堆骰子需要擲多少次，才能使出現(xiàn)6點(diǎn)的機(jī)會(huì)為50%？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，意大利數(shù)學(xué)家卡丹（G.Cardano，1501～1576）的想法是：因?yàn)槊繑S36次都會(huì)有1次機(jī)會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)6點(diǎn)，所以，只要擲18次，出現(xiàn)兩個(gè)6點(diǎn)的機(jī)會(huì)就是50%。但事實(shí)上，在n次擲骰子中至少有1次得到兩個(gè)6點(diǎn)的概率為

pn=1-3536n，因此p24≈0.4914，p25≈0.5055，故知至少需要擲25次，才能符合要求。若教師在課堂上能多以這樣貼近學(xué)生實(shí)際的“反面教材”告誡學(xué)生，則其教學(xué)效果不言而喻。

二、數(shù)學(xué)史與教師的“內(nèi)容與學(xué)生知識(shí)”

教師的內(nèi)容與學(xué)生知識(shí)（Knowledge of Content and Student，簡(jiǎn)稱(chēng)KCS）是指能夠預(yù)測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的疑惑和錯(cuò)誤，解釋學(xué)生學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的困難，并預(yù)測(cè)學(xué)生會(huì)做的特定任務(wù)以及可能遇到的挑戰(zhàn)，解釋學(xué)生的認(rèn)知、思維過(guò)程，即“備學(xué)生”的知識(shí)。

首先，如何了解學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，尤其是學(xué)習(xí)困難呢？史密斯認(rèn)為：“困擾世界的東西也會(huì)困擾孩子，世界克服其困難的方式提示我們，孩子在其發(fā)展過(guò)程中會(huì)以類(lèi)似的方式來(lái)克服類(lèi)似的困難?！边@說(shuō)明學(xué)生在探求新知的過(guò)程中，其思維方法極有可能與前人有著歷史相似性。例如，有研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)“平面”概念的認(rèn)識(shí)，歷史上經(jīng)歷了這樣的過(guò)程：公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家巴門(mén)尼德（Parmenides，公元前515年～公元前5世紀(jì)中葉以后）強(qiáng)調(diào)平面是二維的，是沒(méi)有厚度的；公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，公元前330年～公元前275年）強(qiáng)調(diào)用直線(xiàn)來(lái)刻畫(huà)平面；約1世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家海倫（Heron，約1世紀(jì)）強(qiáng)調(diào)平面的無(wú)限延展性。至此，才探索出平面的三個(gè)特性。而有教師在引導(dǎo)學(xué)生探究平面的特性時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維過(guò)程與前人的探究歷程如出一轍。且該教師在后續(xù)的教學(xué)反饋中還發(fā)現(xiàn)，這樣的教學(xué)方式受到了90%以上學(xué)生的喜愛(ài)，更使得90%以上的學(xué)生聽(tīng)懂了這一內(nèi)容。

其次，如何幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)困難，理順學(xué)習(xí)過(guò)程呢？史密斯認(rèn)為：“數(shù)學(xué)史揭示了人類(lèi)文明中最珍貴、最有意義的東西，先輩們的成就應(yīng)該成為獲取更大目標(biāo)的手段?！币簿褪钦f(shuō)，透過(guò)歷史的薄紗，先輩們似曾相識(shí)的經(jīng)歷往往能賦予我們突破教學(xué)瓶頸的啟迪。例如，學(xué)習(xí)“復(fù)數(shù)的引入”時(shí)，許多學(xué)生對(duì)于知識(shí)庫(kù)中“貿(mào)然”出現(xiàn)一個(gè)“i”感到莫名其妙，不知其意義何在，只能機(jī)械地記住相關(guān)的計(jì)算方法。其原因是多數(shù)教師都是以教材中提供的方程x2+1=0引出“i”的，然而如此數(shù)學(xué)化的引入方式不能真切地讓學(xué)生體會(huì)到“i”的意義。而在一個(gè)HPM案例中，教師以1545年意大利數(shù)學(xué)家卡丹提出的問(wèn)題“將10分成兩個(gè)部分，使它們的乘積等于40，如何求這兩個(gè)數(shù)”引入。在學(xué)生發(fā)現(xiàn)該題無(wú)解后，教師拋出卡丹當(dāng)時(shí)運(yùn)用二次方程求根公式得出的結(jié)論“（5+-15）+（5--15）=10，（5+-15）·（5--15）=40”，使得學(xué)生對(duì)之前的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生疑惑；接著又拋出16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家邦貝利（R.Bombelli，1526～1572）解一元三次方程

x3=15x+4時(shí)綜合因式分解和三次方程求根公式得出的結(jié)果x=32+-121+32--121=4，使得學(xué)生對(duì)這一現(xiàn)象的好奇達(dá)到頂峰——這與卡丹以及邦貝利當(dāng)時(shí)的感受是如出一轍的。這時(shí)，教師再通過(guò)適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言（比如“數(shù)不夠用了”）引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比之前學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、無(wú)理數(shù)等概念時(shí)的心路歷程，自然地聯(lián)想到創(chuàng)造一個(gè)新數(shù)來(lái)解釋這種現(xiàn)象——這與1777年歐拉（L.Euler，1707～1783）提出“i”時(shí)的心路歷程是相同的。經(jīng)歷這樣一個(gè)與古人類(lèi)似的認(rèn)知沖突，學(xué)生對(duì)于新出現(xiàn)的“i”的接受度就得到了明顯的提高。

三、數(shù)學(xué)史與教師的“內(nèi)容與課程知識(shí)”

教師的內(nèi)容與課程知識(shí)（Knowledge of Content and Curriculum，簡(jiǎn)稱(chēng)KCC）是指對(duì)課程發(fā)展的理解，不限于理解在特定時(shí)段被教授的內(nèi)容，還包括理解那些還沒(méi)有走進(jìn)課程內(nèi)容的學(xué)科知識(shí)，即回答“教什么”的知識(shí)。

首先，如何準(zhǔn)確地理解與把握課程內(nèi)容呢？史密斯指出：“若要考慮該學(xué)科的任何改革問(wèn)題，就不可不知道幾何如何演變?yōu)楝F(xiàn)今的形式；若要理解現(xiàn)今提倡的改進(jìn)教學(xué)的多種方法，就必須知道早期解方程的幾何方法；若要將微積分從現(xiàn)今的地位中挽救出來(lái)，知道微積分的早期歷史同樣很重要?！睂?shí)際上，課程內(nèi)容中的知識(shí)點(diǎn)往往都有其出現(xiàn)的歷史必然性，而且往往都是在人類(lèi)社會(huì)的歷史進(jìn)程中由于對(duì)數(shù)學(xué)的進(jìn)一步需求而產(chǎn)生的。基于此，教師要想對(duì)課程內(nèi)容有深刻、清晰的理解與把握，就應(yīng)該關(guān)注課程內(nèi)容中每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)背后的歷史淵源。事實(shí)上，歷史發(fā)展軌跡是我們安排課程內(nèi)容的一個(gè)重要依據(jù)。例如，在人類(lèi)社會(huì)的早期，由于記事和分配生活用品的需要，最先產(chǎn)生了自然數(shù)；后來(lái)，人們發(fā)現(xiàn)僅僅用自然數(shù)是不夠的，如5人分配4份物品等，于是出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)；隨著社會(huì)的發(fā)展，出現(xiàn)了很多具有相反意義的數(shù)量，如上升和下降、增加和減少等，為了表示這些量，又出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，緊接著也就出現(xiàn)了有理數(shù)；隨著人們生產(chǎn)、生活的進(jìn)一步需要，又漸漸出現(xiàn)了無(wú)理數(shù)、虛數(shù)等。反觀當(dāng)下與數(shù)有關(guān)的課程內(nèi)容，不也正是按照從自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)到無(wú)理數(shù)再到虛數(shù)這樣的順序安排的嗎？

其次，如何獲取數(shù)學(xué)史方面的課程資源呢？考慮到數(shù)學(xué)史知識(shí)本身的豐富性和教師數(shù)學(xué)史知識(shí)的匱乏性，史密斯認(rèn)為，閱讀數(shù)學(xué)史書(shū)籍和接受數(shù)學(xué)史培訓(xùn)是解決該問(wèn)題的有效途徑。而在當(dāng)下，很多教師的數(shù)學(xué)史知識(shí)仍顯不足，因此這些建議仍然具有指導(dǎo)價(jià)值。在閱讀方面，史密斯編著了《初等數(shù)學(xué)的教學(xué)》《幾何的教學(xué)》和《算術(shù)的教學(xué)》等圖書(shū)，采用發(fā)生法與分析法相結(jié)合的寫(xiě)法，讓數(shù)學(xué)史占有重要位置，甚至專(zhuān)門(mén)推薦了數(shù)學(xué)史圖書(shū)。而在當(dāng)下國(guó)內(nèi)，汪曉勤教授與其研究團(tuán)隊(duì)近十年的科研成果《HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育》是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育方面較為權(quán)威的著作。在培訓(xùn)方面，史密斯在密歇根州立師范院校任教時(shí)，就開(kāi)設(shè)了美國(guó)最早的教師在職培訓(xùn)課程。在他的影響下，到1936年，美國(guó)先后有近160所大學(xué)開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)史課程。而在當(dāng)下國(guó)內(nèi)，汪曉勤教授提出了另一種具有較高可行性的培訓(xùn)模式：“在進(jìn)行HPM教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)踐時(shí)，先由大學(xué)教師完成相關(guān)主題的歷史研究，獲得歷史材料；然后由大學(xué)教師與中學(xué)教師合作，根據(jù)需要對(duì)材料進(jìn)行加工，使之適合于教學(xué)；最后由中學(xué)教師將加工后的材料用于教學(xué)設(shè)計(jì)，并付諸實(shí)踐?！?/p>

四、數(shù)學(xué)史與教師的“專(zhuān)門(mén)內(nèi)容知識(shí)”

教師的專(zhuān)門(mén)內(nèi)容知識(shí)（Specialized Content Knowledge，簡(jiǎn)稱(chēng)SCK）是指在特定的教學(xué)任務(wù)中使用的，比如怎樣準(zhǔn)確表述數(shù)學(xué)概念、為通常的規(guī)則和進(jìn)程提供解釋以及理解問(wèn)題的非同尋常的解法，即回答“為什么教”的數(shù)學(xué)知識(shí)。

“為什么三角形不叫三邊形，四邊形不叫四角形？”“為什么稱(chēng)未知數(shù)為‘元’？”“為什么稱(chēng)某些函數(shù)為奇函數(shù)、偶函數(shù)？”“虛數(shù)是虛無(wú)縹緲的數(shù)嗎？”諸如此類(lèi)的“歷史遺留”問(wèn)題讓很多教師猝不及防，不知如何回答。因此，這些教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中也就只能讓學(xué)生“知其然，不知其所以然”。史密斯用發(fā)生法和分析法編寫(xiě)數(shù)學(xué)教師的培訓(xùn)教材，目的就在于讓教師了解教材中相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的歷史背景。例如，他曾在《初等數(shù)學(xué)的教學(xué)》中事無(wú)巨細(xì)地介紹教授算術(shù)的歷史原因、當(dāng)下意義，算術(shù)在過(guò)去是怎么教的、在今天又是怎么教的，為何要教代數(shù)以及應(yīng)該教什么等等追根溯源式的問(wèn)題。由此可見(jiàn)，史密斯十分重視在數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歷史闡釋。在他看來(lái)，數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，是不可或缺的解釋“為什么教”的知識(shí)。

實(shí)際上，教師若能根據(jù)歷史發(fā)生原理處理教學(xué)內(nèi)容，即根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史演變推進(jìn)教學(xué)，或解釋相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史起源，則能幫助學(xué)生更好地體會(huì)所學(xué)知識(shí)的價(jià)值和意義，解決“不知其所以然”的問(wèn)題，從而激發(fā)學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，提高理解的水平。例如，相關(guān)歷史材料表明，橢圓的歷史大致可以分為橢圓的發(fā)現(xiàn)、截線(xiàn)定義的形成、基本性質(zhì)的推導(dǎo)、焦半徑性質(zhì)的獲得、機(jī)械作圖的產(chǎn)生、軌跡定義的確立以及橢圓方程的推導(dǎo)七個(gè)重要環(huán)節(jié)。而高中數(shù)學(xué)教材中通常只出現(xiàn)最后三個(gè)環(huán)節(jié)。如此處理雖然簡(jiǎn)潔，但是既未交代清楚學(xué)生為什么要研究橢圓，也沒(méi)將橢圓概念建立在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，從而使得橢圓概念的出現(xiàn)非常突兀。因此，在一個(gè)在HPM案例中，教師首先利用球的影子、建筑、水杯等生活事物引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中存在的橢圓，然后利用旦德林雙球?qū)嶒?yàn)?zāi)Ｐ鸵龑?dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出橢圓焦半徑的性質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)了從古希臘截線(xiàn)定義到如今教材中軌跡定義的自然過(guò)渡，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，提高了學(xué)生的理解水平。

總之，史密斯數(shù)學(xué)教育思想給我們的啟示是：數(shù)學(xué)史素養(yǎng)應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)的重要組成部分，數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的廣博程度直接影響數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)、對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)藝術(shù)多樣性的習(xí)得、對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理活動(dòng)歷程的預(yù)知、對(duì)數(shù)學(xué)課程資源多途徑的獲取。

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[5] 汪曉勤.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2014（1）.

[6] 汪曉勤，王苗，鄒佳晨.HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)：以橢圓為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011（5）.