周青燕

【摘 要】2017年第11期的《教學(xué)月刊·小學(xué)版》（數(shù)學(xué)）有很多有亮點的文章，其中《低年級學(xué)生對應(yīng)思考中的直覺規(guī)律》和《程序性知識典型錯題的成因分析及教學(xué)策略》兩文結(jié)合教學(xué)實踐提出，一線教師可以從四個方面去關(guān)注學(xué)生的“錯誤”，讓錯誤成為教學(xué)資源。

【關(guān)鍵詞】錯誤；賞析

從2017年元月開始，每月7日晚上19：00～21：00，全國著名特級教師朱樂平率領(lǐng)他的一課研究團隊成員，在線為廣大《教學(xué)月刊·小學(xué)版》（數(shù)學(xué)）讀者做上一個月文章的導(dǎo)讀與交流，并邀請《教學(xué)月刊·小學(xué)版》（數(shù)學(xué)）的作者與讀者進行對話，回答問題和交流寫作體會。為此每一期的導(dǎo)讀員在讀本期文章時都格外用心，希望通過自己的導(dǎo)讀引起讀者共鳴。2017年第11期的《教學(xué)月刊·小學(xué)版》（數(shù)學(xué)）有很多有亮點的文章，現(xiàn)只摘取有關(guān)學(xué)生錯誤的文章與讀者交流。

本文所指的數(shù)學(xué)錯誤是廣義的：小學(xué)生會在他們的書面作業(yè)、實際練習(xí)以及口頭回答老師的問題時出錯，這些錯誤可能是因為粗心或者是由運算過程的失誤導(dǎo)致，這些錯或誤都在本文的討論范圍。2011年之后關(guān)于錯誤的研究文章劇增，在眾多的研究中尤以郜舒竹老師的研究時間跨度長，內(nèi)容涉及面廣，研究影響大。

一、對《低年級學(xué)生對應(yīng)思考中的直覺規(guī)律》的文章賞析

郜舒竹教授在文章中強調(diào)：錯誤是必然的、普遍的、相對的、有理的、有用的。錯誤永遠具有神圣的本性，不要試圖去修正它們，反之，應(yīng)努力去理解它們的合理性，進而使之升華。錯誤反映出學(xué)生對事物本質(zhì)的掌握程度，那專家是如何利用看到的錯誤信息通過一些路徑與方法去促進教學(xué)的呢？

在過去的錯誤研究中郜教授收集了大量的學(xué)生錯例，分類整理發(fā)現(xiàn)，造成這些錯誤的因素是多方面的，如對空間感、語言的誤解，持續(xù)語言的作用，也受到已有知識和經(jīng)驗不恰當?shù)臍w納和類比的影響，都是從教學(xué)內(nèi)容進行研究的。在本期文章中，郜教授則是聚焦到了對學(xué)生“對應(yīng)思考”中的普遍錯誤進行研究，對一個研究多年的老問題從一個新的角度去讀懂學(xué)生的錯誤。學(xué)生在解決問題時都需要將課程內(nèi)容中的文字、圖形和符號進行轉(zhuǎn)換與對應(yīng)，所謂對應(yīng)就是指在兩種不同類的事物之間建立一種聯(lián)系，以使兩類事物之間的聯(lián)系更加緊密。文章在對應(yīng)這一數(shù)學(xué)思想下，對低年級學(xué)生的錯誤分內(nèi)容進行了研究，筆者覺得此文除了視角獨特外，還有以下特點。

（一）收集典型錯誤

文章從低年級語言轉(zhuǎn)換、加減法計算、文字題轉(zhuǎn)換三個方面內(nèi)容進行舉例。看過文章的老師會發(fā)現(xiàn)這些錯誤都似曾相識，幾乎都可以在我們批改過的作業(yè)中找到類似錯誤，我們平時做得比較多的可能是以題說題。但是郜教授的文章從一個共同的角度去分析一類問題，把典型錯誤發(fā)散到類似知識的錯誤，如文字題中的保持順序的對應(yīng)思考：低年級學(xué)生在解決一個盤子里有8個蘋果，幾個盤子里有40個蘋果？8×5=40，是學(xué)生常見的典型錯誤。

（二）分析聚焦本源

日常教學(xué)中我們也有對錯誤的分析，也重視錯誤，會對學(xué)生進行訪談希望了解錯誤產(chǎn)生的原因，但是往往學(xué)生給出的原因十分淺顯：太粗心、沒有看清楚題目。如豎式計算的錯誤可能就是分析：學(xué)生沒有掌握加法豎式計算的本質(zhì)，不清楚什么叫相同數(shù)位相加。在本文中，郜教授從數(shù)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系去分析產(chǎn)生錯誤的原因，如豎式計算的錯誤，學(xué)生存在這樣的錯誤不僅由于對加法意義的不理解，還從一個錯誤追究到知識本源：數(shù)的位值意義的理解。

也許我們不能像專家一樣對數(shù)學(xué)本體知識進行如此深入的分析，但是我們可以站在巨人的肩膀上，如果你多閱讀郜教授的文章，相信在看到學(xué)生的錯誤時你會更從容的應(yīng)對。

二、對《程序性知識典型錯題的成因分析及教學(xué)策略》的文章賞析

本文章作者夏春峰老師是一線教師，他將錯誤聚焦在了“怎么辦”上。義務(wù)教育階段，特別是小學(xué)階段，包含大量的有理數(shù)加、減、乘、除運算，這類知識被稱為程序性知識。學(xué)習(xí)這類知識，一方面要掌握相應(yīng)的運算法則，另一方面要理解運算的意義和算理。郜教授的文章在數(shù)學(xué)思想框架下從解決問題的內(nèi)容上對錯誤進行分類研究，夏老師則是從解決問題的方法上對錯誤進行了分類，他為我們對“錯誤”進行研究提供了思路。

（一）典型錯誤分類清晰

文章中對錯誤的成因分析是從五個方面完成的，他從解決問題的不同過程去分析學(xué)生產(chǎn)生錯誤的原因，文章的五個小標題分別對應(yīng)了解決問題的五個過程中出現(xiàn)的錯誤。

“怎么做”的程序目標不明?！x懂信息，知道要解決什么問題。

“怎么做”的信息提取有誤?！x取信息，知道解決問題需要什么。

“怎么做”的程序規(guī)則不清?！?guī)則運用，尋找可用的數(shù)學(xué)方法與規(guī)則。

“怎么做”的程序環(huán)節(jié)缺失?！鉀Q步驟，結(jié)合具體情景將方法進行運用。

“怎么做”的程序思維僵化?！獞T性思維，區(qū)分不同情境方法下的變式運用。

（二）教學(xué)策略操作性強

我們看雜志，閱讀文章的目的是什么？能站在巨人的肩膀上，讓巨人的肩膀成為你起跳的又一個踏板，不斷思考、實踐、創(chuàng)新……夏老師的文章中不僅有錯誤產(chǎn)生前的干預(yù)措施，還有錯誤產(chǎn)生后的改錯糾錯建議，對教師如何應(yīng)對數(shù)學(xué)錯誤還是非常值得借鑒的。

三、體會與啟示

結(jié)合這兩篇文章，面對數(shù)學(xué)錯誤，筆者認為除了已有文章中所強調(diào)的讓錯誤成為教學(xué)資源，分類整理錯誤并對癥下藥，一線教師可以從以下方面去關(guān)注“錯誤”。

（一）讓學(xué)生經(jīng)歷活動全過程，不懼怕出現(xiàn)錯誤

最近筆者上了一節(jié)《羽毛球的包裝問題》的課，需要學(xué)生在課堂中根據(jù)不足量的羽毛球個數(shù)設(shè)計一個羽毛球筒。一開始筆者這樣設(shè)計：第一個環(huán)節(jié)出示問題情境讓學(xué)生獨立思考三個問題：如何將裝12個球的筒變成能裝6個球的筒？家里只有2個羽毛球，怎樣才能幫助商家計算出包裝筒的高度？寫出你的想法。你覺得需要去測量出哪些數(shù)據(jù)？希望扶著學(xué)生去找到解決問題的辦法。第二個環(huán)節(jié)交流三個問題，說說測量方法。由于擔心學(xué)生不會解決問題，所以把學(xué)習(xí)任務(wù)分解成比較細小的步驟，但在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，教師過多的問題設(shè)計和引導(dǎo)反而阻礙了學(xué)生的思考，分步的教學(xué)設(shè)計也一次次打斷了學(xué)生的思考，學(xué)生在得到任務(wù)就迫不及待地想解決。后來教學(xué)改為一個大問題：如何用工具得到羽毛球筒的高度？讓學(xué)生用大塊時間組內(nèi)分工探究，雖然有的順利解決了問題，有的不能解決問題，但這正是一節(jié)課的常態(tài)學(xué)習(xí)狀態(tài)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷活動的全過程，不斷進行試誤、糾錯的實踐，在實踐中提煉方法。

（二）不要讓課堂成為競技場，思考需要慢

如上圖，求多個一樣的立方體拼在一起后的表面積，學(xué)生常出現(xiàn)將各個立方體的表面積相加作為拼在一起的多個立方體表面積的錯誤，表面上看起來是對表面積概念不清楚，但深入思考，這是學(xué)生學(xué)習(xí)組合長方體面積必不可少的過程，學(xué)生只有經(jīng)歷了這樣的過程，才能理解單一立體圖形的表面積與組合立體圖形的表面積之間的關(guān)系。這種錯誤是學(xué)生思維建模的真實過程，讓學(xué)生充分思考，探求產(chǎn)生錯誤的內(nèi)在原因，有利于學(xué)生自主構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

（三）讓試卷發(fā)揮積極作用，及時診斷與激勵

除了在課堂和日常練習(xí)中產(chǎn)生錯誤，試卷也是學(xué)生出現(xiàn)錯誤最集中的地方，教師可以通過統(tǒng)計的方法了解錯誤的根源，可以涉及：（1）學(xué)生在哪些問題上出錯了；（2）學(xué)生掌握知識所處的目標層次（識記、理解、應(yīng)用、分析綜合、探究）；（3）學(xué)生成績不良的癥結(jié)（知識方面、思維方面、心理方面）等，可以編制“自我診斷表”，指導(dǎo)學(xué)生進行自我診斷。自我診斷表主要包含以下內(nèi)容：①應(yīng)得分與實得分；②知識點得分統(tǒng)計；③錯因分析。

（四）讓微課助力，完成學(xué)困生的轉(zhuǎn)化

在教學(xué)中除了有困惑的學(xué)生錯誤百出以外，往往還會發(fā)現(xiàn)有那么一部分學(xué)生，各種錯誤都會在他們身上集中出現(xiàn)，也就是我們所說的學(xué)困生。他們有的錯誤不具有普遍性，有的對知識的內(nèi)化需要較長周期，對于這樣的學(xué)生，推薦讀一讀23頁易榮敏老師的文章《運用“答疑型”微課助力學(xué)困生轉(zhuǎn)化》。找到學(xué)生的學(xué)困點，進行有針對性的微課指導(dǎo)，從而幫助學(xué)生達到個性化成長。

正如郜教授所說，教學(xué)不僅僅是為了消滅錯誤，而是為了發(fā)現(xiàn)錯誤，從而減少錯誤。期望有興趣的老師可以一起來探討這個話題。

參考文獻：

[1]郜舒竹.低年級學(xué)生對應(yīng)思考中的直覺規(guī)律[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2017（11）.

[2]夏春峰.程序性知識典型錯題的成因分析及教學(xué)策略[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2017（11）.

（浙江省杭州市勝利小學(xué) 310016）