黃偉軍

本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的

1. 已知集合A={x|x2-3x<0}，{B=x|x-2≥0}則A∩B為

（ ）

A. {x|x≥2} B. {x|0

2. 已知復(fù)數(shù)z滿足（1-i）z=2i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z為（ ）

A.1-i B. -1+i C. -1-i D. 1+i

3. 已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=2x，則f（log42）的值為（ ）

A.■ B. ■ C. -■ D. -■

4. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4=-2，S5=0，則S9的值為（ ）

A.18 B.12 C.8 D.4

5. 若雙曲線■-■=1（a>0，b>0）的一條漸近線的傾斜角為60°，則其離心率的值為（ ）

A.■ B. 2 C.■ D.■

6. 函數(shù)f（x）=sin（x+？漬），│？漬│<■的圖像向左平移■個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)f（x）的一條對(duì)稱軸為（ ）

A. x=■ B. x=-■ C. x=■ D. x=-■

7. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）

A. 24+8■ B. 16+12■

C. 24+12■ D. 48

8. 若x，y滿足x-y≥0，x+y≤1，y≥0，則z=x-2y的最小值為（ ）

A.-■ B.■ C.-1 D.1

9. 函數(shù)f（x）=■+1的圖像大致是（ ）

10. 如果執(zhí)行右面的程序框圖，那么輸出的s的值為（ ）

A. 4 B. ■

C. -■ D. -■

11. 設(shè)f（x）=|lnx|，若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在區(qū)間（0，4）上有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

A.（■，■） B.（■，■）

C.（■，■） D. （■，■）

12. 已知傾斜角為30°的直線l過(guò)拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)F且與拋物線C交于點(diǎn)A，B，│AB│=4，若拋物線C與圓O：x2+y2-10x+25-R2=0（R>0）有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則R的取值范圍是（ ）

A.（■，10） B. （■，10）

C. （■，5） D. （■，5）

本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題-第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答，第13題-第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答，第22題-第23題為選考題，考生根據(jù)要求做答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13. 若向量■=（■，1），■=（0，-1），■=（1，t），若（■-2■）∥■，則■與■的夾角等于 .

14. 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若■=■，則■= .

15. 下列表格提供了某四個(gè)家庭2017下半年的總收入x（萬(wàn)元）與總投資y（萬(wàn)元）的四組對(duì)照數(shù)據(jù).

根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.7x+0.35，則m的值為 .

16. 側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)均為2■的正三棱錐S-ABC，它的四個(gè)頂點(diǎn)S，A，B，C在同一球面上，則這個(gè)球的表面積的值為 .

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答

（一）必考題：60分

17.（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知■+■=■.

（1）求b；

（2）若sin（■+B）=1，S△ABC=■■，求a，c的值.

18. （本小題滿分12分） 某批發(fā)商對(duì)剛從甲與乙兩個(gè)水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)收購(gòu)的一批小龍蝦分別隨機(jī)抽取了40只進(jìn)行單個(gè)小龍蝦的重量的檢測(cè)，得到40只小龍蝦重量的頻數(shù)分布表和頻率分布圖如下：

甲水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)抽取的40只小龍蝦的重量的頻數(shù)分布表

B筐抽取的40只小龍蝦的重量的頻率分布圖：

19. （本小題滿分12分）如圖，三棱錐中P-ABC，BC=2，AC=2■，AB=4，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD=3DB， PD⊥平面ABC，PD=AD.

（1）求證：平面PAB ⊥平面PCD.

（2）求三棱錐A-PBC的體積.

20. （本小題滿分12分）已知橢圓E：■+■=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F1（-■，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P（■，-■）為橢圓上一點(diǎn).

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)A，B，C在E上運(yùn)動(dòng)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且 | AC | = | CB |，求？駐ABC的最小面積.

21. （本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f（x）=（x2-2ax）ln x+2x2.

（1）若曲線f（x）在點(diǎn)（1， f（1））處的切線與直線y=-■x+1互相垂直，求a的值；

（2）若對(duì)任意x∈[1，+∞），不等式 2f（x）>3x2+a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

22. （參數(shù)方程與極坐標(biāo)）（本小題滿分10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：x=cos？琢，y=1+sin？琢（？琢為參數(shù)），以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的方程為y=-■x，曲線C2 的極坐標(biāo)方程為ρ=-2cos？茲+2■sin？茲.

（1）求曲線C1和C2 的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線l交曲線C1于O，A兩點(diǎn)，直線l交曲線C2于O，B兩點(diǎn)，求 | AB | 的長(zhǎng).

23.（不等式選講）（本小題滿分10分）如圖是函數(shù)f（x）的圖像， 函數(shù)g（x）=x2.

（1）寫出函數(shù)f（x）的解析式；

（2）當(dāng)x∈[-2， 5]時(shí)，不等式m≥f（x）+g（x）恒成立，求m的最小值.

2018年高考文科數(shù)學(xué)模擬試題參考答案

提示：

1. A={x|x2-3x<0}={x|0

2. 方法1；設(shè)z=a+bi （a， b∈R），由（1-i）z=2i得（1-i）（a+bi）=2i，即a+bi-ai+b=2i，因此a+b=0，b-a=2，解得a=-1，b=1，所以z=-1+i，選B.

方法2；由（1-i）z=2i，得z=■=-1+i，選B.

3. f（x）是定義在R上的奇函數(shù)， 故f（-x）=-f（x）， 當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，則f（-x）=2-x，即f（-x）=-f（x）=2-x，得到f（x）=-2-x，因?yàn)閘og 4 2=■，故f（log 4 2）=f（■）=-2■=-■，選C.

4. 方法1：由題意可得4a1+■d=-2，5a1+■d=0，即2a1+3d=-1，a1+2d=0，解得a1=-2，d=1，故S9=9a1+■d=9×（-2）+36=18，選A.

方法2：由已知得，a5=S5-S4=2，因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以S9=■=■=9a5=18，選A.

5. 依題意可得雙曲線的一條漸近線方程為y=■x，故■=tan60°=■，故■=3，離心率為e=■=■=■=■=2，選A.

6. 函數(shù)f（x）=sin（x+？漬）的圖像向左平移■個(gè)單位后，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為g（x）=sin（x+■+？漬）. 再由所得g（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，可得g（x）為偶函數(shù)，故？漬+■=k？仔+■，k∈Z， 即？漬=k？仔+■， k∈Z，又|？漬|<■， 故？漬=■，可得函數(shù)f（x）=sin（x+■），函數(shù)f（x）的一條對(duì)稱軸為x=■，選A.

7. 由三視圖可得該幾何體是三棱柱，底面是有一個(gè)角是30°斜邊為4且斜邊上的高為■的直角三角形，可得三角形另外兩邊為2，2■，三棱柱的高為4，該幾何體的表面積為2×■×4×■+（2+2■+4）×4=24+12■. 選C.

8. 先作出x-y≥0，x+y≤1，y≥0表示的平面區(qū)域，如圖三角形陰影部分表示，目標(biāo)函數(shù)z=x-2y可化為y=■x-■z，平移直線y=■x，可知當(dāng)直線y=■x-■z 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)縱截距最大，z取得最小值，由x-y≥0，x+y≤1，可得x=■，y=■，即A（■， ■），故zmin=■-2×■=-■. 選A.

9. f（-x）=■+1=■+1=f（x）是偶函數(shù)，排除D. 當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=■+1，則 f′（x）=■ = ■，當(dāng)0

10. s=4，n=1？圯s=■=■，n=2？圯s=■=-■，n=3？圯s=■=4，n=4？圯s=■=■，n=5，周期為3，依題意可得n=2018時(shí)，輸出s，因?yàn)?018=672×3+2，所以輸出s=■，選B.

11. 由題意，當(dāng)g（x）=0，即f（x）=ax時(shí)，若曲線y=f（x）與y=ax相切時(shí)，切點(diǎn)為（e，1），得到a=■，可知，當(dāng)0■，故所求a的取值范圍為（■，■），選B.

12. 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），焦點(diǎn)F（■，0），直線l的方程為y=■（x-■），

聯(lián)立y=■（x-■），y2=2px可得x2-7px+■=0，故x1+x2=7p，由拋物線定義可得|AB|=x1+■+x2+■=7p+p=4，解得p=■，故拋物線方程為y2=x.

將拋物線C∶y2=x與圓O∶x2+y2-10x+25-R2=0的方程聯(lián)立，消去y2，整理得x2-9x+25-R2=0（*）. 拋物線與圓有四個(gè)不同的交點(diǎn)的充要條件是：方程（*）有兩個(gè)不相等的正根即可，即？駐=81-4（25-R2）>0，25-R2>0，解得■

13. ■π；14. -■；15. 4；16. 18π.

答案提示：

13. 設(shè)■與■的夾角為？琢，■-2■=（■，3），因?yàn)椋ā?2■）//■，故■t-3=0，解得t=■，即c=（1，■），故cos？琢=-■，因?yàn)?≤？琢≤π，故？琢=■π.

14. 法1：S3=■，S6=■，S9=■，

由■=■可得q3=-■，設(shè)■=t，則S3=■t，S6=■t，S9=■t，

則■=■=-■.

法2：因?yàn)椤?■，所以S6=■S3，S6-S3=-■S3，由等比數(shù)列的性質(zhì)得S3，-■S3，S9-■S3，成等比數(shù)列，所以■■=S3（S9-■S3），得S9-■S3=■S3，所以■=■=-■ .

15. x=■=■=4.5，y=■=■，因?yàn)闃颖局行狞c(diǎn)（x，y）一定在回歸直線上，所以■=0.7×4.5+0.35，解得m=4.

16. 設(shè)球的半徑為r，過(guò)A作AD垂直于BC，垂足為D，過(guò)S作底面ABC的垂線SO1，垂足為O1，依題意可得O1在直線AD上，AD=■×2■=3，AO1=■×■×2■=2，故SO1=■=2■，設(shè)O是球心，連接OA，依題意可得|OA|=r，|OO1|=■×2■-r=2■-r，在直角三角形OO1A中，則有22+（2■-r）2=r2，得到r=■■，故這個(gè)球的表面積為4π×（■■）2=18π.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟

17. 解析：（1）方法1：由■+■=■可得■=■，即■=■，故■=■，得到b=■.

方法2：由余弦、正弦定理可得■+■=■，化簡(jiǎn)得2b=1，得到 b=■.

（2）由sin（■+B）=1，解得B=■.

由S？駐ABC=■可得■acsin■=■，解得ac=■……（1）

因?yàn)閎=■，由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，即■=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac……（2）

（1）代入（2）得（a+c）2=1，即a+c=1……（3）

聯(lián)立a+c=1，ac=■，可得c2-2c+1=0解得c=■，故a=■.

18. 解析：（1）若把頻率看作相應(yīng)的概率，則：

“甲水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)的小龍蝦為優(yōu)質(zhì)”的概率為■=0.85；

“乙水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)的小龍蝦為優(yōu)質(zhì)”的概率為■=0.8，所以甲水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)的小龍蝦優(yōu)質(zhì)率高.

（2）用分層抽樣的方法從乙水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)重量在[1，3），[3，5），[9，11]的小龍蝦中共抽取6只，則重量在[1，3）內(nèi)的有2只，在[3，5）內(nèi)的有3只，在[9，11]內(nèi)的有1只.

記重量在[1，3）內(nèi)的為x1，x2，在[3，5）的為y1，y2，y3，[9，11]的為z，從中任取2只，可能的情況有：（x1，x2），（x1，y1），（x1，y2），（x1，y3），（x1，z），（x2，y1），（x2，y2），（x2，y3），（x2，z），（y1，y2），（y1，y3），（y1，z），（y2，y3），（y2，z），（y3，z），共15種；設(shè)任取2只，至少有1只重量在[3，5）的小龍蝦的概率事件為A，則事件A包含有（x1，y1），（x1，y2），（x1，y3），（x2，y1），（x2，y2），（x2，y3），（y1，y2），（y1，y3），（y1，z），（y2，y3），（y2，z），（y3，z），共12種，所以P（A）=■=■.

19. 解析：因?yàn)锽C=2，AC=2■，AB=4，所以AB2=42=（2■）2+22=16，所以？駐ABC是直角三角形，故AC⊥CB，在Rt？駐ABC中，∠CAB=30°，BD=1，由AD=3DB，得AD=3，BC=2，AC=2■，由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD×AC×cos30°=32+（2■）2-2×3×2■2■cos30°=9+12-18=3，故CD=■，由CD2+AD2=AC2，即3+9=12，所以CD⊥AD. 因?yàn)镻D⊥平面ABC，CD？奐平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AD=D，得CD⊥平面PAB，又CD？奐平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.

（2）求三棱錐A-PBC的體積等價(jià)于求三棱錐P-ABC的體積.

由（1）知？駐ABC是直角三角形，BC=2，AC=2■，故？駐ABC的面積為■×2×2■=2■，因?yàn)镻D⊥平面ABC，PD=DA，可得PD=DA=3，故三棱錐P-ABC的體積為■×2■×3=2■，即三棱錐A-PBC的體積為2■.

20. 解析：F1（-■，0）是橢圓E：■+■=1的一個(gè)焦點(diǎn)， 且經(jīng)過(guò)P（■，-■）.

依題意可得■+■=1，a2-b2=3，即2b4+b2-3=0，解得b2=1或b2=-3（舍去），可得a2=4，故橢圓E的方程為■+y2=1.

（2）當(dāng)AB為長(zhǎng)軸（或短軸）時(shí)，依題意知，點(diǎn)C就是橢圓的上下頂點(diǎn)（或左右頂點(diǎn)），此時(shí)S△ABC=■×OC×AB=2.

當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其斜率為k，直線AB的方程為y=kx，

聯(lián)立方程■+y2=1，y=kx，得x2A=■，y2A=■，

所以O(shè)A2=x2A+y2A=■. 由AC=CB，知△ABC為等腰三角形，O為AB的中點(diǎn)，OC⊥AB，所以直線OC的方程為y=-■x，由■+y2=1，y=-■x，解得x2C=■，y2C=■，OC2=■，

S△ABC=2S△OAC=OA×OC=■×■=■.

由于■≤■=■，所以S△ABC=≥■.

當(dāng)且僅當(dāng)1+4k2=k2+4，即k=±1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)△ABC面積的最小值是■.

21. （1）因?yàn)閒′（x） =（2x-2a）lnx+（x2-2ax）■+4x，所以f（1）=2，f′（1） =5-2a，曲線f（x） 在點(diǎn)（1，f（1） ）處的切線方程為y-2=（5-2a）（x-1），切線與直線y=-■x+1互相垂直，即5-2a=3，解得a=1.

（2）f（x）=（x2-2ax）lnx+2x2，a∈R.

所以不等式2f（x）>3x2+a等價(jià)于（2x2-4ax）lnx+x2-a>0.

方法一：令h（x）=（2x2-4ax）lnx+x2-a，x∈[1，+∞），

則h′（x）=（4x-4a）lnx+（2x-4a）+2x=4（x-a）（lnx+1）（x≥1）.

當(dāng)a≤1時(shí)，h′（x）≥0，則函數(shù)h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）min=h（1）=1-a，所以根據(jù)題意，知有1-a>0，∴a<1.

當(dāng)a>1時(shí)，由h′（x）<0，知函數(shù)h（x）在[1，a）上單調(diào)減；

由h′（x）>0，知函數(shù)h（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增.

所以h（x）min=h（a）=a2（1-2lna）-a.

由條件知，a2（1-2lna）-a>0，即a（1-2lna）-1>0.

設(shè)g（a）=a（1-2lna）-1，a>1，則g′（a）=1-2lna<0，a>1，

所以g（a）在（1，+∞）上單調(diào)遞減.

又g（1）=0，所以g（a）

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1）.

方法二：令h（x）=（2x2-4ax）lnx+x2-a，x∈[1，+∞），

則h（x）=（2x2-4ax）lnx+x2-a>0在[1，+∞）上恒成立，所以h（1）=1-a>0，

所以a<1.

又h′（x）=（4x-4a）lnx+（2x-4a）+2x=4（x-a）（lnx+1）（x≥1），

顯然當(dāng)a<1時(shí)，h′（x）=>0，則函數(shù)h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）min=h（1）=1-a>0，所以a<1.

綜上可知a的取值范圍為（-∞，1）.

22.

解析：（1）曲線C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2+（y-1）2=1即：x2+y2 -2y=0.

曲線C2的方程為：？籽=-2cos？茲+2■sin？茲.

即：？籽2=-2？籽cos？茲+2■？籽sin？茲？圯x2+y2=

-2x+2■y.

所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為：（x+1）2+（y-■）2=4.

（2）解法1：由y=-■x，x2+y2-2y=0，可解得x=0，y=0或x=-■，y=■，

則OA=■=■.

同理由y=-■x，x2+y2=2x+2■y，可解得x=0，y=0或x=-2，y=2■，

則OB=■=■=4，

故 AB =OB-OA=4-■.

解法2：直線l的極坐標(biāo)方程為？茲=■，

圓C1的極坐標(biāo)方程為？籽=2sin？茲，

所以 OA=？籽1=2sin■=■.

圓C2的方程為？籽=-2cos？茲+2■sin？茲，

所以O(shè)B= ？籽2=-2cos■+2■sin■=4，

所以AB=？籽1- ？籽2=4-■.

23解析：（1）由圖像可得解析式為f（x）=3x+5，-2≤x≤-1-■x+■，-1≤x≤2x-1.2≤x≤5

（2）當(dāng)x∈[-2，5]時(shí)，不等式m≥f（x）+g（x）恒成立等價(jià)于m≥[f（x）+g（x）]max

設(shè)h（x）=f（x）+g（x），當(dāng)x∈[-2，-1]時(shí)，h（x）=x2+3x+5=（x+■）■+■，故hmax（x）=hmax（-2）=hmax（-1）=3.

當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，h（x）=x2-■x+■=（x-■）■+■，故hmax（x）=hmax（-2）=■.

當(dāng)x∈[1，5]時(shí)，h（x）=x2+x-1=（x+■）■-■，hmax（x）=hmax（5）=29，

故m≥29，故m的值為29.

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)