邵紅

所謂函數(shù)綜合題，就是以函數(shù)知識為主體，同時還涉及到其他數(shù)學(xué)知識，而且要綜合運用多種數(shù)學(xué)方法來進(jìn)行求解的一類問題，具有一定的難度.大家知道，數(shù)學(xué)解題，必須講究方法.方法得當(dāng)，事半功倍；方法不當(dāng)，半途而廢.那么解答函數(shù)綜合題，同學(xué)們必須掌握哪些基本的方法與技巧呢？

一、善于換元，化繁為簡

換元法又稱輔助元素法、變量代換法.通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來；或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來；或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計算和推證簡化.函數(shù)綜合題中，往往可以經(jīng)過換元將復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單的初等函數(shù).

例1 （1）已知x∈（0，+∞）時，不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立，則m的取值范圍是 .

（2）對于函數(shù)f（x）=4x-m·2x+1，若存在實數(shù)x0，使得f（-x0）=-f（x0）成立，則實數(shù)m的取值范圍是 .

解析：（1）令t=3x（t>1），則由已知得函數(shù)f（t）=t2-mt+m+1的圖象在t∈（1，+∞）上恒在x軸的上方，則對于方程f（t）=0有

Δ=（-m）2-4（m+1）<0或Δ≥0，

m2≤1，

f（1）=1-m+m+1≥0，解得m<2+22.

（2）若存在實數(shù)x0，使得f（-x0）=-f（x0）成立，

即4-x0-m·2-x0+1=-4x0+m·2x0+1，

所以14x0+4x0=2m·（12x0+2x0），

令t=2x0（t>0），則1t2+t2=2m（1t+t），令λ=1t+t（λ≥2），所以2m=λ-2λ，

令g（λ）=λ-2λ（λ≥2），易知g（λ）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，所以2m≥2-22=1，故m≥12.

評注：本例第（1）小題，經(jīng)過換元轉(zhuǎn)化為我們熟知的二次函數(shù)問題.而本例第（2）小題經(jīng)過兩次換元，將原本復(fù)雜的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)g（λ）的最值問題.換元法的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是通過換元變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化.

二、適當(dāng)配方，巧中取勝

配方法是對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”的技巧），通過配方找到已知和未知的聯(lián)系從而化繁為簡.何時配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運用“裂項”與“添項”，“配”與“湊”的技巧，從而完成配方.在函數(shù)綜合題中，利用配方法往往可以將原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題.

例2 （1）設(shè)函數(shù)f（x）=2x，x≤0，

log2x，x>0，若對任意給定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x0∈R，滿足f（f（x0））=2a2y2+ay，則正實數(shù)a的最小值是 .

（2）若函數(shù)f（x）=m-x+3的定義域為[a，b]，值域為[a，b]，則實數(shù)m的取值范圍是 .

解析：（1）當(dāng)x≤0時，f（x）=2x，值域為（0，1]，所以f（f（x））=log22x=x；

當(dāng)0

當(dāng)x>1時，f（x）=log2x，值域為（0，+∞），所以f（f（x））=log2（log2x），

故f（f（x））=x，x≤1

log2（log2x），x>1.

當(dāng)x≤1時，f（f（x））的值域為（-∞，1]；當(dāng)x>1時，f（f（x））的值域為R，

因為a>0，令g（y）=2a2y2+ay=2a2（y+14a）2-18，對稱軸y=-14a<0<2，

所以g（y）在（2，+∞）上是增函數(shù)，則g（y）在（2，+∞）上的值域為（g（2），+∞），即（8a2+2a，+∞），則8a2+2a≥1，解得a≥14，所以正實數(shù)a的最小值是14.

（2）易知f（x）=m-x+3在[a，b]上單調(diào)遞減，

因為函數(shù)f（x）的值域為[a，b]，所以f（a）=b

f（b）=a，即m-a+3=b

m-b+3=a，

兩式相減得，a+3-b+3=a-b=（a+3）-（b+3）=（a+3）2-（b+3）2，

所以a+3+b+3=1，

因為a

所以m=（a+3）-a+3-2=（a+3-12）2-94，

又0≤a+3<12，所以-94

評注：利用配方法將原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題時，一定要特別關(guān)注二次函數(shù)的對稱軸的位置，才能確定二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值.

三、用好定義，返璞歸真

某些數(shù)學(xué)定義，其實就是一個數(shù)學(xué)關(guān)系式，有時這正是我們解題的“切入口”.

例3 （1）若函數(shù)f（x）=xln（x+a+x2）為偶函數(shù)，則a= .

（2）若函數(shù)f（x）為定義域D上的單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間[a，b]D（其中a

解析：（1）（法一）由偶函數(shù)定義得f（-x）=f（x），即-xln（a+x2-x）=xln（x+a+x2）恒成立，故有l(wèi)n（x+a+x2）+ln（a+x2-x）=0，

∴l(xiāng)n[（a+x2）2-x2]=0，得lna=0，∴a=1.

（法二）根據(jù)“奇×奇=偶”，

設(shè)g（x）=ln（x+a+x2）為奇函數(shù)即可.

又∵g（0）=0，∴l(xiāng)na=0，∴a=1.

可驗證a=1時，f（x）為偶函數(shù).

（2）∵函數(shù)f（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函數(shù)，∴a

∴當(dāng)x∈[a，b]時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

∴f（a）=b，f（b）=a，即a2+k=b，b2+k=a，

兩式相減得a2-b2=b-a，即b=-（a+1），代入a2+k=b得a2+a+k+1=0，

由a

即a<-a-1

a+1>0，∴a<-12

a>-1，解得-1

∴關(guān)于a的方程a2+a+k+1=0在區(qū)間（-1，-12）內(nèi)有實數(shù)解，

記h（a）=a2+a+k+1，則h（-1）>0，h（-12）<0，

∴1-1+k+1>0，且14-12+k+1<0，解得-1

評注：本例第（1）小題中，法一是根據(jù)偶函數(shù)的定義f（-x）=f（x）待定a，轉(zhuǎn)化為方程問題；法二則根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的特殊結(jié)論快速求解.定義法有時雖然顯得有些“笨拙”，卻十分有效！本例第（2）小題是個新定義的探索性問題，看似比較復(fù)雜，但解題過程中只需“緊扣”新定義，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系式，問題便迎刃而解.

四、著眼性質(zhì)，等價轉(zhuǎn)化

“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)解題的“主旋律”，而函數(shù)性質(zhì)是實現(xiàn)“轉(zhuǎn)化”的“助推器”.

例4 （1）已知f（x）是定義域為實數(shù)集R的偶函數(shù)，對任意的x1≥0，x2≥0，若x1≠x2，則f（x2）-f（x1）x2-x1<0.如果f（13）=34，4f（log18x）>3，那么x的取值范圍為 .

（2）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足條件：①對任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②對任意的x1，x2∈[0，2]且x1

解析：（1）依題意得，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，又f（x）是定義域為實數(shù)集R的偶函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，則4f（log18x）>3等價于f（log18x）>34，即f（log18x）>f（13），所以|log18x|<13，解得12

（2）由函數(shù)f（x+2）的圖象關(guān)于y軸對稱，得f（2+x）=f（2-x），又f（x+4）=f（x），所以f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2-1）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（2+0.5）=f（2-0.5）=f（1.5），由②知f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，所以f（4.5）

評注：對于抽象函數(shù)問題，一般可利用它的有關(guān)性質(zhì)，把原問題中的“f”符號脫去，轉(zhuǎn)化為一般的不等式問題或方程問題，或從性質(zhì)找出圖象特征，利用圖象特征（如函數(shù)的單調(diào)性、圖象的對稱性等）求解.

五、數(shù)形結(jié)合，答案自現(xiàn)

函數(shù)圖象，是函數(shù)的另一種表現(xiàn)形式，函數(shù)的性質(zhì)可從函數(shù)圖象中直接看出.當(dāng)遇到與函數(shù)有關(guān)的零點問題或參數(shù)取值范圍問題時，數(shù)形結(jié)合能讓答案自現(xiàn).

例5 （1）函數(shù)f（x）=|x2-2x+12|-32x+1的零點個數(shù)為 .

（2）已知函數(shù)f（x）=2x，x≤0

log2x，x>0，且函數(shù)g（x）=f（x）+x-a只有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 .

解析：（1）令f（x）=0，

即|x2-2x+12|=32x-1，

則函數(shù)h（x）=|x2-2x+12|和函數(shù)g（x）=32x-1的交點個數(shù)即為函數(shù)f（x）的零點個數(shù)，如圖所示，h（x）與g（x）有兩個交點，所以函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為2.故答案：2.

（2）由題意，函數(shù)g（x）=f（x）+x-a只有一個零點，即方程f（x）=-x+a有且只有一個解，作出函數(shù)f（x）=2x，x≤0，

log2x，x>0，的圖象如圖所示，而當(dāng)a=1時直線y=-x+1與f（x）有兩個交點，故當(dāng)a>1時直線y=-x+a與f（x）有且只有一個交點，a∈（1，+∞）.故答案：（1，+∞）.

評注：對于函數(shù)零點問題，當(dāng)給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形，常會通過分解轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合，看其交點的個數(shù)有幾個，其中交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.而對于含參零點問題，往往將其轉(zhuǎn)化為一“靜”一“動”的兩個函數(shù)的位置關(guān)系，從“動”函數(shù)的平移中直接得到參數(shù)的取值范圍.

六、分類（段）討論，一網(wǎng)打盡

在函數(shù)綜合題中，當(dāng)自變量不確定或參數(shù)的取值范圍不確定時，必須分段或類討論，這是解函數(shù)綜合題的基本方法之一.

例6 （1）已知函數(shù)f（x）=3x+1，x≤0，

log13x，x>0，則不等式f（x）>1的解集為 .

（2）函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1）在[2，4]上的最大值與最小值的差是1，則a的值為 .

解析：（1）若x≤0，則不等式f（x）>1可轉(zhuǎn)化為3x+1>1x+1>0x>-1，∴-1

若x>0，則不等式f（x）>1可轉(zhuǎn)化為log13x>10

綜上，不等式f（x）>1的解集為（-1，13）.

（2）當(dāng)a>1時，函數(shù)y=logax在[2，4]上是增函數(shù)，所以loga4-loga2=1，即loga42=1，所以a=2.當(dāng)0

評注：遇到分段函數(shù)問題應(yīng)分段解決，遇到指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的底數(shù)為參數(shù)時必須分類討論.分段或分類討論函數(shù)問題，必須做到不重不漏，做到一網(wǎng)打盡.