張廣成

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)把“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”分布在三年級、五年級、六年級不同的階段，這說明分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)對小學(xué)生而言，是關(guān)于數(shù)的認(rèn)識的一次有序擴(kuò)展過程。所以，認(rèn)識分?jǐn)?shù)也是一個需要從時間和訓(xùn)練兩個方面有序深化的過程。

一、小學(xué)生在《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》學(xué)習(xí)中存在的困難

三年級學(xué)生認(rèn)識分?jǐn)?shù)的困難體現(xiàn)在兩個方面：從意義上說，表示部分與整體的分率關(guān)系容易理解，表示比較量與標(biāo)準(zhǔn)量在比較中的倍比關(guān)系比較難理解。如：

（1）興趣小組12名學(xué)生，其中有4名女生，女生占總?cè)藬?shù)的幾分之幾？

（2）興趣小組中有女生4名，男生8名，女生是男生的幾分之幾？

這兩道題中：（1）題易于理解，（2）題不容易理解。

從部分量與對應(yīng)分率的數(shù)量上看，分率與對應(yīng)的部分量在數(shù)量上是同一個分?jǐn)?shù)的問題比較好理解，分率與部分量在數(shù)量上不是同一個分?jǐn)?shù)的問題就比較難理解。在難理解的問題中，等分后的每份數(shù)是整數(shù)比等分后的每份數(shù)是分?jǐn)?shù)要容易理解。

比如 ：（1）1塊蛋糕的是塊。

（2）8塊蛋糕的是2塊。

（3） 3塊蛋糕的是塊。

（1）題和（2）題，學(xué)生比較好理解，即使有困難，但借助幾何直觀或開展實踐操作活動也好理解。（3）題即使借助幾何直觀也不好理解，比如一塊蛋糕的等于3塊蛋糕的，有的同學(xué)通過具體操作或者教師的課件演示看似能理解這道題，但一旦數(shù)字稍稍復(fù)雜一些或者脫離實際操作要靠思維來解決，就又難理解了。比如：9塊蛋糕的是塊，要按照以前的教法理解成1塊蛋糕的，塊從意義角度就超出了小學(xué)生理解的部分比整體小的部分與整體關(guān)系范疇，而從倍比角度理解又不恰當(dāng)，所以最佳理解角度就是從假分?jǐn)?shù)的意義角度來理解，但假分?jǐn)?shù)在五年級分?jǐn)?shù)階段只是要求學(xué)生從分子分母大小角度進(jìn)行簡單了解，并沒有從單位1的幾分之幾角度去教學(xué)。所以說，1塊蛋糕的是塊，本身就是新知識，把9塊蛋糕的是塊轉(zhuǎn)化成1塊蛋糕的是塊，屬于新知識轉(zhuǎn)化成新知識，不可取。那只有限定在9÷4=這個分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系范圍內(nèi)進(jìn)行理解，這樣的結(jié)果學(xué)生只是從形式上知道了塊的結(jié)果，從意義上并沒有形成塊的表象，這就直接導(dǎo)致學(xué)生對于被除數(shù)大于除數(shù)，商是假分?jǐn)?shù)或帶分?jǐn)?shù)的情況，普遍是明算理，而不清楚數(shù)量上的大小。這對于分?jǐn)?shù)作為“數(shù)的一次擴(kuò)展”的目標(biāo)實現(xiàn)形成了障礙。

二、關(guān)于分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識的有序性內(nèi)容編排

人教版三年級上冊的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識、簡單分?jǐn)?shù)大小的比較、簡單分?jǐn)?shù)加減法的運算和分?jǐn)?shù)的簡單應(yīng)用等，都是借助幾何直觀或者具體情境展開學(xué)習(xí)。

如針對分?jǐn)?shù)的簡單應(yīng)用設(shè)計了一個活動，先說出上圖中黃色占一個大正方形的幾分之幾，然后將這個大正方形剪成4個小正方形，再說出黃色占這4個小正方形的幾分之幾，巧妙地實現(xiàn)用一個整體表示一個物體，到一個整體表示多個物體的過渡，幫助學(xué)生突破思維的難點。接下來設(shè)計了用圓片表示學(xué)生，用三角形也能表示學(xué)生兩個環(huán)節(jié)，為下一步用一個大長方形或者用線段圖表示部分與整體的關(guān)系做好了鋪墊。教材內(nèi)容在編排上就滲透了語言—圖示—線段圖—算式等表征的有序轉(zhuǎn)化思維訓(xùn)練。

從分?jǐn)?shù)簡單應(yīng)用的情境實例看，三年級教材在編排“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”中，一是以部分與整體的分率關(guān)系情境為主，而把研究比較量與標(biāo)準(zhǔn)量的倍比關(guān)系情境放在五年級學(xué)習(xí)；在分?jǐn)?shù)簡單應(yīng)用的情境數(shù)量選擇上，主要是選擇平均分“單位1”后每份數(shù)能得到整數(shù)的數(shù)量（能整除的數(shù)量）。從五年級上冊教學(xué)“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”時，才開始呈現(xiàn)“單位1”數(shù)量平均分后每份數(shù)是分?jǐn)?shù)的情況（不能整除的數(shù)量），進(jìn)行“倍”與“率”的轉(zhuǎn)化。在六年級上冊學(xué)習(xí)了“比”后，又進(jìn)行分?jǐn)?shù)與比的轉(zhuǎn)化，也就是“倍”與“比”的轉(zhuǎn)化。這都體現(xiàn)了教材編排上難易程度的有序性。

三、“分?jǐn)?shù)的簡單應(yīng)用”的有序性教學(xué)設(shè)計

1.教材練習(xí)題的教學(xué)設(shè)計要體現(xiàn)從形象思維向抽象思維的有序性過渡的編寫意圖。

“分?jǐn)?shù)的簡單應(yīng)用”部分的練習(xí)題編排，基本上都是求“單位1”的幾分之幾是多少，和求部分占整體的幾分之幾這兩類順向思維練習(xí)。還沒有出現(xiàn)已知部分和部分對應(yīng)的分率，求“單位1”是多少的逆向思維練習(xí)。所以，“分?jǐn)?shù)的簡單應(yīng)用”的練習(xí)主要是用分物表象建立的形象思維過程和使用數(shù)學(xué)語言描述表象的抽象思維過程的練習(xí)，先從分一分、涂一涂、折一折等操作活動呈現(xiàn)分物情境到用數(shù)學(xué)語言描述分物過程，再到通過理解數(shù)學(xué)語言而形成分物情境中的數(shù)量與分?jǐn)?shù)的對應(yīng)關(guān)系，找到解答問題的辦法，并寫出解答過程。根據(jù)分?jǐn)?shù)簡單應(yīng)用的練習(xí)編排，教師應(yīng)設(shè)計好以下教學(xué)小目標(biāo)。

練習(xí)題1設(shè)計目標(biāo)：教材提供了情境分物的規(guī)范的語言范例，呈現(xiàn)了分?jǐn)?shù)認(rèn)識序列的序列前項，為后面用語言描述提供了模本。

練習(xí)題2設(shè)計目標(biāo)：從多個物體中涂出指定的分?jǐn)?shù)，檢驗學(xué)生對單位1是多個物體進(jìn)行分物的理解程度。進(jìn)而通過涂一涂的動手實踐，在頭腦中建立分率與部分量對應(yīng)的表象。最后說出沒有涂色的占單位1的幾分之幾。

練習(xí)題3設(shè)計目標(biāo)：首先觀察分物的情境，理解事理，達(dá)成分物事理與情境表象的對應(yīng)，再用分?jǐn)?shù)表示情境，用練習(xí)1提供的規(guī)范的數(shù)學(xué)語言描述出分物的過程，其中，第二幅和第三幅圖還分別可以用哪些不同的分?jǐn)?shù)來表示？為什么？最后再拓展延伸到不涂顏色部分所表示的分?jǐn)?shù)。

練習(xí)4的設(shè)計目標(biāo)有三個：

（1）理解圖文意思，根據(jù)要求進(jìn)行分物，呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)對應(yīng)的分物情境。

（2）能用數(shù)學(xué)語言簡潔完整地描述分物的過程。

（3）能用合適的方法算出一個數(shù)的幾分之幾是多少。

（4）能解答剩余的部分量，并初步感知圈出部分與剩余部分之間的關(guān)系。

這幾道練習(xí)題的設(shè)計目標(biāo)：通過閱讀理解文字題或者圖文結(jié)合的問題情境，首先在頭腦中呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)與分物情境對應(yīng)，教材為降低難度，情境都是學(xué)生生活中常見的事物，如小棒，兔子，書籍，魚等，對學(xué)生訓(xùn)練的重點放在部分量與分率的對應(yīng)上，從而找到等分后的份數(shù)關(guān)系，最后用數(shù)學(xué)方法算出要解決的數(shù)量。

2.設(shè)計相似題對比環(huán)節(jié)，有序地訓(xùn)練學(xué)生溝通知識的能力。

練習(xí)題中，6題和8題基本的數(shù)量關(guān)系原型都是求15的是多少，但兩道題不同情境中的事理敘述方式不同，6題敘述為“其中是多少”，8題敘述為“吃了這盤魚的”，兩種敘述方式有必要進(jìn)行溝通理解，即都說成統(tǒng)一的數(shù)量關(guān)系15的是多少。也有必要把一個情景事理用兩種方式進(jìn)行敘述，訓(xùn)練學(xué)生靈活使用語言的能力。如：老貓吃了這盤魚的，也可以說成其中的被老貓吃了。

有序訓(xùn)練設(shè)計：

用投影同時給出兩道題，讓學(xué)生對比觀察。

要求：

（1）先審題，再解答各題。

（2）找到兩題在數(shù)學(xué)上的主要共同點和不同點。

（3）每一道題分別用兩種敘述方式呈現(xiàn)。

（4）根據(jù)這兩道題的已知條件，分別還能提出什么問題？

3.設(shè)計一題多練，培養(yǎng)學(xué)生有序的舉一反三的能力。

（1）先按照要求解答。

（2）用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言敘述情境，并解答如下問題：

5個笑臉的五分之三是多少？5÷5×3

10個笑臉的五分之三是多少？10÷5×3

15個笑臉的五分之三是多少？15÷5×3

（3）觀察這組題，你還能說出求（ ）的五分之三是多少？并解答。你能說出多少個數(shù)，這些數(shù)都有怎樣的特點？

（4）這些數(shù)，數(shù)量不同，結(jié)果不同，但計算的方法為什么都相同？

（5）除了說5個笑臉，我們還可選擇不同的對象，例如求5只兔子的是多少，求10棵樹的是多少。

同學(xué)們，我們想一想，還能求（ ）的五分之三是多少？

通過這樣一組練習(xí)設(shè)計，有序引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，積累數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗。

分?jǐn)?shù)概念的內(nèi)涵非常豐富，有度量、比率、商等多個角度，這樣多角度理解顯然不是一次或幾次教學(xué)設(shè)計就能完成的。教師要針對概念的內(nèi)涵有序設(shè)計教學(xué)內(nèi)容及過程，幫助學(xué)生從多角度理解分?jǐn)?shù)，在內(nèi)涵和外延上多次建構(gòu)，有序深化，不斷豐富和完善學(xué)生對分?jǐn)?shù)的理解。