喬青青

【摘要】用向量法解決高中數(shù)學(xué)中的立體幾何問(wèn)題，是非常常見(jiàn)的.高中數(shù)學(xué)立體幾何中的問(wèn)題是非常抽象和難懂的，于是為了方便學(xué)生們解決立體幾何的問(wèn)題，開始采用向量的方法解決立體幾何問(wèn)題.高中的數(shù)學(xué)已是非常的復(fù)雜難懂，沒(méi)有向量這個(gè)方法，立體幾何問(wèn)題都會(huì)成為數(shù)學(xué)中的一大難題.向量方法在數(shù)學(xué)中有非常重要的地位.而我們這篇文章主要是淺析向量方法在高中立體幾何中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；立體幾何；向量法；應(yīng)用

向量法是數(shù)形結(jié)合的一種解決方法，它是將空間或平面的線線、線面、面面的抽象位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)字的計(jì)算問(wèn)題，化抽象為具體，方便學(xué)生們解決立體幾何問(wèn)題.向量法在高中數(shù)學(xué)是常用來(lái)解決平面幾何問(wèn)題和立體幾何問(wèn)題的，雖然有了向量法可以方便學(xué)生們解決高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的幾何問(wèn)題.但相應(yīng)的，也在立體幾何等問(wèn)題上大大增加了難度.

而高中數(shù)學(xué)中的立體幾何問(wèn)題主要考查學(xué)生們的空間思維轉(zhuǎn)換能力和想象能力，具有較強(qiáng)的考查力.而向量法的應(yīng)用就大大減少了一些學(xué)生們思維上的晦澀，方便學(xué)生們解決立體幾何問(wèn)題中的難題.而把向量法引入高中教材，不僅大大地減少了學(xué)生們解決問(wèn)題的難度；而且有效地減少了畫輔助線的應(yīng)用，使解決問(wèn)題的步驟大大地減少，有效地節(jié)約了考試的時(shí)間.為廣大學(xué)生提供一個(gè)好的學(xué)習(xí)方法.

一、淺析向量法

向量，顧名思義就是有方向的.在使用向量法，解決問(wèn)題當(dāng)中一定要注意向量的方向性.向量法就是把立體幾何問(wèn)題放到三維的直角坐標(biāo)系中，直觀地展現(xiàn)在我們面前.根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中的圖形大小來(lái)設(shè)定數(shù)值，并求出各種向量的值和所需角度的大小以及各種所需距離等，一步步地計(jì)算來(lái)達(dá)到我們解決幾何問(wèn)題的目標(biāo).

而用向量法解決立體幾何問(wèn)題，就必須學(xué)會(huì)運(yùn)用向量解決簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.

二、向量法在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

向量法則以算術(shù)代替文言證明，在一定程度上減輕了教師對(duì)學(xué)生們邏輯思維的要求，但我們也應(yīng)該注意到，向量法計(jì)算更為煩瑣復(fù)雜，運(yùn)算量又比較大，所以在運(yùn)算時(shí)我們必須小心謹(jǐn)慎，否則就會(huì)功虧一簣.

這些都是一些基礎(chǔ)的向量運(yùn)算法則，除了要掌握這些，還要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)換運(yùn)用.這是向量的基礎(chǔ)運(yùn)算也是立體幾何的基礎(chǔ)運(yùn)算.接下來(lái)，就給大家介紹一下利用向量解決一些簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題的例題.

（一）用向量法求空間角度問(wèn)題

比如，求異面直線a和直線b所成夾角的問(wèn)題.對(duì)這種問(wèn)題，我們應(yīng)該確定兩條直線a，b方向的向量m和向量n，接著直接求向量m和向量n之間的夾角就可以了.

（二）用向量法求直線與平面之間的夾角

我們先假設(shè)直線a和平面b.對(duì)于直線a和平面b之間的夾角問(wèn)題，我們應(yīng)先從直線a上引一點(diǎn)做平面b之間的法向量.再取直線a上的向量n，就求向量n和平面b的法向量之間的夾角，我們求出來(lái)的夾角就是直線a和平面b之間的夾角.

（三）用向量法求二面角

用向量法去求二面角是非常簡(jiǎn)單的.我們先假設(shè)有兩個(gè)平面α和β，接著作出平面α的向量n1和β平面的向量n2.而兩個(gè)向量n1和n2之間的夾角就是我們所求的二面角.

綜上所述，用向量法求數(shù)學(xué)中的幾何問(wèn)題是非常的簡(jiǎn)單的，就是算求應(yīng)用得比較多.

（四）用向量法求面與面之間的問(wèn)題

用向量法求面與面之間的問(wèn)題，就是在（三）的基礎(chǔ)上，分別求出兩個(gè)面的法向量，再利用向量法去求兩個(gè)法向量之間的夾角，任何問(wèn)題都迎刃而解了.但前提是你要求對(duì)這兩個(gè)面的法向量哦.

三、什么是立體幾何

數(shù)學(xué)上，立體幾何是三維歐氏空間幾何的傳統(tǒng)名稱.立體幾何一般作為高中數(shù)學(xué)平面幾何之后的課程，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)學(xué)生們思維上和數(shù)學(xué)能力的訓(xùn)練.

在高中數(shù)學(xué)中用向量法去解決立體幾何問(wèn)題有兩個(gè)重要的手段，其一即直線的方向向量和平面的法向量之間的各種角度問(wèn)題，他們也就是實(shí)現(xiàn)空間問(wèn)題向向量轉(zhuǎn)換之間的聯(lián)系，而平面與平面之間的問(wèn)題就是由這一步進(jìn)一步轉(zhuǎn)化而來(lái)的.其二用空間向量方法去證明立體幾何中普遍存在平行與垂直問(wèn)題，角的問(wèn)題，距離問(wèn)題等數(shù)學(xué)問(wèn)題，都是運(yùn)用了直線的方向向量和平面的法向量之間的關(guān)系，再一步步地計(jì)算進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的要求，在此基礎(chǔ)上我們還要借助教材的向量的一些定理來(lái)進(jìn)行輔助.

常見(jiàn)的立體幾何問(wèn)題，有三種.其一就是在一個(gè)立體圖形內(nèi)求各種角度的問(wèn)題；其二就是證明這個(gè)立體幾何圖形內(nèi)面面垂直或線面垂直或平行等問(wèn)題；其三就是給你一個(gè)角度，求出滿足這個(gè)角度下線段大小的常用問(wèn)題等.這三個(gè)問(wèn)題中最考驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的就是第三個(gè)問(wèn)題，它屬于一種倒推思路的應(yīng)用.它需要學(xué)生有嚴(yán)密的邏輯思維和強(qiáng)大的算求能力，非?？简?yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

在處理立體幾何問(wèn)題中，你一定要清楚地明白它的三視圖即正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.看清這些，會(huì)讓你在頭腦中重現(xiàn)這個(gè)立體幾何，你會(huì)明白它有幾條線幾個(gè)面，對(duì)進(jìn)一步解決問(wèn)題是有很大幫助的.

例如，這道題：在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°.

（1）求證：BD⊥平面PAC；

（2）若PA=AB，求PB與AC所成角的余弦值；

（3）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng).

這道題是典型的需要用向量法去求解的.

四、結(jié)束語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)中，一看到立體幾何問(wèn)題，第一想到的就是好困難，好抽象；第二才會(huì)想到要用“向量法”來(lái)解決問(wèn)題.所以說(shuō)高中的立體幾何問(wèn)題不僅困難，你還要用向量法去解決難題.進(jìn)而說(shuō)明了高中的立體幾何離不開向量，在高中生涯中，一定要學(xué)好怎樣去用向量去解決問(wèn)題尤其是立體幾何問(wèn)題.學(xué)好向量的有關(guān)用法，高中數(shù)學(xué)就相當(dāng)于你學(xué)會(huì)了一半.“向量法”在高中數(shù)學(xué)立體幾何中的應(yīng)用是非常重要的，也是解決立體幾何問(wèn)題中至關(guān)重要的一把鑰匙.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]吳光峰.法向量在高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（3）：5.