趙 強，何 法

(1. 東北林業(yè)大學 交通學院，黑龍江 哈爾濱 150040; 2. 華晨公司汽車工程研究院，遼寧 沈陽 110141)

0 引 言

主動懸架通過采用主動伺服作動器，由外界提供能量，能夠根據(jù)汽車行駛條件動態(tài)自適應調節(jié)懸架的剛度和阻尼系數(shù)，兼顧車輛的操作穩(wěn)定性和行駛平順性，還具有可控車身高度等優(yōu)點，一直是行業(yè)內學者和車企的研究重點之一。包括奔馳、保時捷、豐田、福特等在內的國際著名車企都致力于主動懸架的開發(fā)與研究，并將不同類型主動懸架系統(tǒng)應用到各自的車輛上，這些車企一般都有自主研發(fā)的高端主動懸架產品。比如：2010年德國大眾汽車公司將最新研發(fā)的空氣懸架系統(tǒng)應用到途銳車型上；2013年本田將研發(fā)的主動可調后懸架系統(tǒng)(ADS)首次應用到思域旅行車上，其懸架系統(tǒng)能根據(jù)載重情況設置不同的工作模式；雪鐵龍C5和C6車型采用其第3代的Hydractive液壓式主動懸架系統(tǒng)；奧迪A6L、A8車型采用可調空氣式主動懸架，奧迪TT、R8車型則采用電磁式主動懸架；2015款凱迪拉克XTS車型裝配了其第3代MRC主動式電磁懸架系統(tǒng)。

主動懸架研發(fā)主要包括懸架結構參數(shù)優(yōu)化和控制方法設計[1]。結構設計優(yōu)良的懸架也必須配以最優(yōu)的控制器才能達到其最佳性能，且優(yōu)秀的控制算法一般對各種形式主動懸架都有應用價值或借鑒作用。所以，深入研究主動懸架的控制算法變得尤為重要。目前主動懸架控制方法的研究包括：天棚及其改進控制[2]、模糊控制[3-4]、最優(yōu)控制[5]、預測控制[6]、預瞄控制和魯棒控制等[7-9]。以上研究幾乎都基于1/4車(quarter car)的兩自由度模型，該模型是簡化的線性模型，且未考慮具體懸架形式(如麥弗遜、多連桿型等)的物理特性影響，例如具體懸架幾何關系所帶來的固有非線性。針對上述線性兩自由度模型所設計的控制算法在應用到具體懸架上的控制效果和實用性有待檢驗。因此，筆者基于主動懸架具體形式設計了合適的魯棒控制算法。

麥弗遜懸架具有結構簡單緊湊、體積小、經久耐用等優(yōu)點，是當今應用最廣泛的懸架之一。國內眾多常見車型，如標致307、卡羅拉、君越、邁騰、高爾夫6和現(xiàn)代ix35等均采用麥弗遜式懸架。筆者建立了麥弗遜式主動懸架LPV模型，針對該模型采用LMI技術和區(qū)域極點配置法設計狀態(tài)反饋H∞控制器，提高懸架性能。

1 麥弗遜主動懸架動力學分析

麥弗遜式懸架系統(tǒng)的結構如圖1，主要由控制臂5、減振器3、車身2(簧載質量)、主軸和輪胎4(非簧載質量)組成。圖1中：zs表示車身垂向位移運動；d表示減振器上體和下體的相對運動；θ1表示控制臂和減振器之間的旋轉運動；θ2表示減振器和車身之間的旋轉運動。

由于控制臂質量遠遠小于簧載質量和非簧載質量，因此忽略不計，同時忽略其柔性變形。則在圖1中添加伺服作動器，并假定螺旋彈簧、輪胎變形和阻尼力都在線性區(qū)域內變化，形成二維麥弗遜式主動懸架簡化模型如圖2。圖2中：伺服作動器(其產生的主動力為fa)，被動元件彈簧(其剛度為ks)和阻尼器(其阻尼系數(shù)為cp)并聯(lián)形成主動懸架的滑柱；ms為簧載質量；mu為非簧載質量；kt為輪胎剛度；fd為負載擾動；zs為車身垂向位移；zr為路面垂向位移；θ0為平衡點控制臂的初始角位移；α′為平衡點時減振器上端點與坐標原點連線和控制臂之間的夾角；θ為控制臂的角位移。

圖1 麥弗遜式懸架機構Fig. 1 Mechanism diagram of Macpherson suspension

圖2 二維麥弗遜式主動懸架簡化模型Fig. 2 Simplified model of 2-D Macpherson active suspension

該模型為從實際麥弗遜懸架物理模型抽象出的幾何結構，與傳統(tǒng)線性兩自由度模型相比，考慮了懸架具體幾何關系所帶來的固有非線性特性，因此該模型更準確，更接近于實際懸架。由于圖2 模型具有兩個獨立自由度，考慮到用zs和zr描述系統(tǒng)更方便簡潔，故為廣義坐標。應用含耗散能的拉格朗日方程建立懸架的運動微分方程，首先由動能定理可求得主動懸架系統(tǒng)的總動能，如式(1)：

(1)

由彈性勢能基本公式可得到主動懸架系統(tǒng)總勢能，如式(2)：

(2)

麥弗遜式主動懸架系統(tǒng)減振器中含有阻尼器，其產生的耗散能如式(3)：

(3)

含耗散能的拉格朗日方程[10-11]如式(4)：

(4)

將式(1)～(3)帶入式(4)，可得二維麥弗遜式主動懸架的動力學方程，如式(5)、(6)：

kt{zs+lC[sin(θ-θ0)-sin(-θ0)]-zr}=-fd

(5)

ktlCcos(θ-θ0){zs+lC[sin(θ-θ0)-sin(-θ0)]-zr}-

(6)

(7)

式中：

矩陣中的參數(shù)a21、a23、a24、a41、a43和a44的表達式限于篇幅不再展開。

2 LPV模型的極點配置狀態(tài)反饋魯 棒控制

2.1 基于LMI區(qū)域極點配置

其矩陣值函數(shù)如式(8)：

(8)

定義2[12-13]：對復平面中給定的左半復平面的子區(qū)域D和矩陣A，如果矩陣A所有特征值都位于區(qū)域D內，則稱矩陣A是D-穩(wěn)定的。

定義3：矩陣Kronecker乘積[12-13](矩陣張量積)對兩個給定的矩陣A=(aij)∈Rn×m和B∈Rp×q，矩陣A和B的Kronecker乘積是一個分塊矩陣A?B=(aijB)∈Rnp×mq。

復平面上半徑為r，圓心在(-q，0)的圓盤D(r,q)為一個LMI圓盤區(qū)域，如圖3。

圖3 圓心在(-q，0)半徑為r的圓盤區(qū)域Fig. 3 Disk domain with center at(-q，0)with radius r

該區(qū)域用線性矩陣不等式描述其LMI區(qū)域，如式(9)：

(9)

由r>0可推出：

(10)

因此它的特征函數(shù)如式(11)：

(11)

由式(11)可得：

MD(A,X)=L?X+M?(AX)+MT?(AX)T=

(12)

由以上分析能得出推理：矩陣A的所有特征值均在半徑為r，圓心在(-q，0)的圓盤中充分必要條件是存在對稱矩陣X>0，使得：

(13)

2.2 LPV系統(tǒng)的區(qū)域極點配置控制

LPV(linear parameter varying)是線性變參數(shù)系統(tǒng)，LMI的發(fā)展推動了基于LPV系統(tǒng)的魯棒控制在工程實踐中應用，其克服了傳統(tǒng)控制缺點，能保證系統(tǒng)全局穩(wěn)定性。考慮帶有k個線性無關的變量參數(shù)θ=[θ1,…,θk]T的 LPV 系統(tǒng)G(θ)如式(14)：

(14)

式中：x∈Rn為狀態(tài)向量；u∈Rn為控制輸入向量；w∈Rn為擾動輸入向量；z∈Rn為性能輸出向量；y∈Rn為系統(tǒng)輸出向量；參數(shù)θ=[θ1,…,θk]T為時變的參數(shù)序列，代表系統(tǒng)的不確定性或者系統(tǒng)的動態(tài)變化，也是系統(tǒng)所依賴的參數(shù)；A、B1、B2、C1、C2、D11、D12、D21、D22為關于變參數(shù)θ的仿射函數(shù)，θi為θ=[θ1,…,θk]T的線性仿射函數(shù)。

對式(14)的時變變參數(shù)系統(tǒng)，給定γ>0，通過狀態(tài)反饋u=Kx，若存在一個對稱矩陣X和矩陣L=KX，使得以下不等式約束成立：

(15)

(16)

若式(15)、(16)對多胞體模型各個頂點優(yōu)化問題有解，則所求狀態(tài)反饋增益K=LX-1不僅可保證閉環(huán)的極點落在所設置的圓盤區(qū)域L(q,r)之中，而且也能保證閉環(huán)的擾動抑制具有最小的H系能指標γ。根據(jù)所求得凸多胞形結構系統(tǒng)LPV的區(qū)域極點配置的狀態(tài)反饋H的控制器為：K=LX-1,上述不等式約束可通過 LMI 優(yōu)化軟件(如 LMI Control Toolbox)求解[14]。

2.3 基于LPV的主動懸架H∞控制

以某車型的麥弗遜式懸架為研究對象，其基本參數(shù)如下：ms=453 kg；mu=71 kg；cp=1 950 N·s/m；ks=17 658 N/m；kt=183 887 N/m；lA=0.66 m；lB=0.34 m；lC=0.37 m；θ0=12°；α=50°。

根據(jù)式(5)、(6)，考慮非線性項sin2(θ-θ0)和簧載質量ms的不確定性，其他參數(shù)均已知。由被動麥弗遜式懸架的仿真結果可知θ的取值范圍，并且已知θ0的值，即可確定sin(θ-θ0)的范圍。令n=sin2(θ-θ0)，可得參數(shù)矩陣φ∈[msn]，其中ms∈[msminmsmax],n∈[nminnmax]。

麥弗遜式主動懸架的LPV模型可用多胞體的4個頂點如式(17)：

(17)

針對麥弗遜式主動懸架的LPV系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點限制在左半平面圓心為(-60，0)、半徑為50的圓盤區(qū)域內，并利用 MATLAB中的LMI 工具箱的相關命令函數(shù)可求解得到極點配置的狀態(tài)反饋魯棒H控制器K，K=[-491.204 2 -121 9.921 6 121.965 4 -11.465 7 ]無論簧載質量在317 kg到589 kg范圍如何變動，此控制器不僅可保證閉環(huán)的極點落在圓盤區(qū)域L(q,r)之中，且可保證閉環(huán)的擾動抑制具有最小H性能γ=1.983 1，此控制器是利用LMI技術求解麥弗遜主動懸架LPV的極點配置的狀態(tài)反饋控制器。

3 仿真分析

選擇C級路面的不平度來建模，車速取40 km/h，麥弗遜式懸架的簧載質量設置為標稱質量453 kg，根據(jù)2.3節(jié)中給出的懸架參數(shù)，在Simulink平臺中建立麥弗遜主動懸架仿真模型，如圖4。

選取路面激勵模型作為路面輸入zr，得到車身加速度和控制臂角位移響應曲線，如圖5。

由圖5可看出：在隨機路面激勵下，麥弗遜主動懸架相比于同參數(shù)的被動麥弗遜懸架和模糊PID控制的麥弗遜懸架，其車身加速度和控制臂角位移的峰值都有所減少。其計算對應的均方根值如表1。

由表1可看出：主動麥弗遜懸架與其被動形式相比：車體質心垂直加速度減少了13.48%；控制臂角位移減少了大約17.58%；而其與模糊PID控制主動懸架相比，雖然加速度增加了11.12%，但控制臂減少了24.68%，明顯降低了車身振動幅度。

根據(jù)圖5中的數(shù)據(jù)，繪制車身加速度和控制臂角位移的功率譜密度曲線，如圖6。

圖4 麥弗遜主動懸架simulink模型Fig. 4 Simulink model of Macpherson active suspension

圖5 車身加速度和控制臂位移曲線Fig. 5 Vehicle body acceleration and angular displacement of control arm

圖6 功率譜密度曲線Fig. 6 Power spectral density curve

結果(均方根值)車身加速度/(m·s-2)控制臂角位移/rad/(°)被動1.232 80.063 73.654 9模糊PID控制器0.959 80.069 83.999 2極點配置狀態(tài)反饋魯棒控制器1.066 50.052 53.012 1

由圖6可看出：在隨機路面的激勵下，主動麥弗遜懸架相比于被動麥弗遜懸架在4～8 Hz范圍內，其車身加速度和控制臂角位移功率譜密度峰值較小，因此從頻域內進一步驗證主動懸架提高了車輛的平順性和懸架的穩(wěn)定性。

將模型中的簧載質量標稱值分別改為最小值317 kg(空載)和最大值589 kg(滿載)，并以階躍函數(shù)代替模型中的隨機路面輸入，分別得到車身加速度和控制臂角位移的響應曲線，如圖7。

圖7 車身加速度和控制臂角位移Fig. 7 Vehicle body acceleration and control arm angular displacement

由圖7看出：參數(shù)簧載質量取最小值和最大值時，所設計的極點配置狀態(tài)反饋魯棒控制器均適用，與被動麥弗遜懸架相比，能降低車身加速度和控制臂角位移幅度，進一步提高車輛行駛平順性和懸架穩(wěn)定性。

4 結 語

筆者運用拉格朗日方程分析簡化的二維麥弗遜懸架模型，并推導出麥弗遜懸架的運動學方程，并針對簧載質量的不確定性，建立麥弗遜式主動懸架的LPV模型，應用LMI技術和區(qū)域極點配置方法完成了狀態(tài)反饋魯棒控制器設計。仿真分析驗證了帶有極點配置的狀態(tài)反饋魯棒H∞控制器的麥弗遜式主動懸架車輛行駛平順性和穩(wěn)定性明顯優(yōu)于參數(shù)相同的被動麥弗遜式懸架。