李宏宇，王旭剛

(南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院, 南京 210094)

自20世紀(jì)末高新技術(shù)的大量應(yīng)用以來(lái)，制導(dǎo)炮彈應(yīng)運(yùn)而生。制導(dǎo)炮彈與普通炮彈相比有突出的精確性與首發(fā)命中性，與導(dǎo)彈相比有良好的經(jīng)濟(jì)性以及毫不遜色的打擊命中能力，所以近些年制導(dǎo)炮彈在軍事領(lǐng)域中的地位越來(lái)越重要，被應(yīng)用到許多常規(guī)彈藥的領(lǐng)域甚至某些戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈原有的作戰(zhàn)領(lǐng)域[1-3]，這就要求制導(dǎo)炮彈的作戰(zhàn)能力不斷提高，使其在實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離攻擊的同時(shí)，依然可以做到在發(fā)射后實(shí)現(xiàn)精確打擊。對(duì)于一定的初始條件，假設(shè)制導(dǎo)炮彈開(kāi)始制導(dǎo)時(shí)的初始高度不變。制導(dǎo)的初始彈目相對(duì)的水平距離稱(chēng)為制導(dǎo)距離。本文通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)制導(dǎo)距離是有一定范圍的，超過(guò)最大制導(dǎo)值，脫靶量將不斷增大，落點(diǎn)發(fā)散，本文將最大制導(dǎo)值稱(chēng)為制導(dǎo)范圍。不同末制導(dǎo)初始條件，制導(dǎo)范圍不同，本文通過(guò)改變制導(dǎo)律里的導(dǎo)航系數(shù)改變制導(dǎo)范圍。

為了提高導(dǎo)彈的發(fā)射價(jià)值，Kim于1973年首次推導(dǎo)了具有落角約束形式的末制導(dǎo)律，此后國(guó)內(nèi)外對(duì)帶落角約束的末制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)進(jìn)行了廣泛的研究，部分研究成果已經(jīng)得到了實(shí)際應(yīng)用[4,5]。加入落角約束是希望導(dǎo)彈能以大角度擊中目標(biāo)，但是大多數(shù)文獻(xiàn)在研究、推導(dǎo)帶落角約束的制導(dǎo)律時(shí)，過(guò)程中出現(xiàn)的俯仰角或者彈目連線角的三角函數(shù)與反三角函數(shù)時(shí)，為了計(jì)算與推導(dǎo)的方便性，均將其近似。本文為了增強(qiáng)制導(dǎo)律的準(zhǔn)確性，在帶落角的最優(yōu)制導(dǎo)律的推導(dǎo)過(guò)程中，俯仰角與彈目連線角的三角函數(shù)與反三角函數(shù)均采用不近似原則。最優(yōu)制導(dǎo)律在關(guān)于落角約束的制導(dǎo)中應(yīng)用最廣泛、最簡(jiǎn)單。近年來(lái)關(guān)于最優(yōu)制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中考慮滿足落點(diǎn)、落角和末端攻角的研究很多，但是由于實(shí)際測(cè)量中，存在各種滯后與測(cè)量誤差，使落點(diǎn)與落角存在誤差。許多人研究在自動(dòng)駕駛儀動(dòng)力學(xué)滯后和導(dǎo)引頭測(cè)量滯后等方面減小誤差[6]。因?yàn)樵谥茖?dǎo)律計(jì)算時(shí)，速度矢量前置角由導(dǎo)引頭提供，若想得到準(zhǔn)確的制導(dǎo)律，一定要考慮滯后問(wèn)題[7,8]。本文主要針對(duì)導(dǎo)引頭引起的動(dòng)力學(xué)滯后問(wèn)題進(jìn)行研究，將由導(dǎo)引頭引起的時(shí)間滯后加入制導(dǎo)過(guò)程中，提高制導(dǎo)精度。

1 動(dòng)力學(xué)模型

為設(shè)計(jì)一種提高制導(dǎo)炮彈能力的末制導(dǎo)律，首先要構(gòu)建其動(dòng)力學(xué)模型。本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)炮彈一般攻擊海上靜止或者運(yùn)動(dòng)緩慢的目標(biāo)。以制導(dǎo)系統(tǒng)開(kāi)始工作時(shí)，炮彈與目標(biāo)的連線在海平面的投影為x軸建立慣性坐標(biāo)系，彈目基本關(guān)系如圖1所示[9]。

圖1中MT線為當(dāng)前時(shí)刻的彈目連線，vm為制導(dǎo)炮彈飛行速度，θ為彈道傾角，q為彈目視線角，η為前置角，r為視線距離。

根據(jù)彈目基本幾何關(guān)系：

(1)

(2)

(3)

q(t)=θ(t)+η(t)

(4)

(5)

假設(shè)目標(biāo)靜止，制導(dǎo)炮彈的速度為vm，加速度為am,且始終am⊥vm，ac表示輸出控制。在不考慮各種滯后的情況下，am=ac[10]。如果制導(dǎo)律成立,根據(jù)Razumikhin理論在制導(dǎo)炮彈最后階段即末制導(dǎo)階段始值很小且線性ηm接近于零，所以上述式子可寫(xiě)成[11]：

(6)

(7)

圖1 彈目基本關(guān)系

2 帶落角的最優(yōu)制導(dǎo)律

根據(jù)圖1所示的彈目關(guān)系，可寫(xiě)出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

(8)

(9)

aM=u

(10)

根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)方程，運(yùn)用拉式反變換與Schwartz不等式可得到最基本的最優(yōu)制導(dǎo)律公式[12]：

(11)

因?yàn)楸疚膶で蟠舐浣?、大毀傷，為了增加系統(tǒng)的準(zhǔn)確性，本文在帶落角的最優(yōu)制導(dǎo)律的推導(dǎo)與計(jì)算過(guò)程中q、θ的三角和反三角函數(shù)值采用不近似原則，定義：

sin(q(t))=w

(12)

(13)

(14)

將式(13)、式(14)代入式(11)，得：

(15)

變換式(13)、式(14)得到：

(16)

(17)

將式(17)代入式(15)：

(18)

將式(13)、式(14)代入式(18)，得到：

(19)

3 擴(kuò)展帶落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律

傳統(tǒng)的對(duì)固定目標(biāo)最優(yōu)的落角約束制導(dǎo)律，想達(dá)到滿足約束條件的制導(dǎo)結(jié)果只能改變初始條件。而每個(gè)初始條件都有一個(gè)制導(dǎo)范圍，超過(guò)這個(gè)范圍制導(dǎo)律將達(dá)不到制導(dǎo)效果。相比之下制導(dǎo)炮彈的速度對(duì)制導(dǎo)結(jié)果影響不大。制導(dǎo)炮彈速度一般在一定范圍內(nèi)，而且在末制導(dǎo)階段默認(rèn)制導(dǎo)炮彈速度大小不變。所以本文討論影響制導(dǎo)效果的主要因素為制導(dǎo)炮彈的初始俯仰角與制導(dǎo)距離。

當(dāng)制導(dǎo)炮彈初始俯仰角不變，制導(dǎo)范圍的最大值隨末端約束的角度增大而減小。當(dāng)制導(dǎo)炮彈的末端約束角不變，制導(dǎo)范圍的最大值隨初始俯仰角的增大而減小。根據(jù)最基礎(chǔ)的帶落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律，當(dāng)距離超出某值，帶落點(diǎn)的制導(dǎo)律為滿足落角約束，當(dāng)達(dá)到tf制導(dǎo)結(jié)束時(shí)，落角達(dá)到落角約束誤差1°以?xún)?nèi)，但制導(dǎo)炮彈距離目標(biāo)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1 m，本文通過(guò)其變化特點(diǎn)，通過(guò)調(diào)節(jié)導(dǎo)航參數(shù)即約束比重，使擴(kuò)大制導(dǎo)范圍。

假定制導(dǎo)炮彈的初始條件為：初始制導(dǎo)炮彈俯仰角為30°，落角約束為75°，通過(guò)仿真計(jì)算得到，當(dāng)制導(dǎo)距離達(dá)到3 150 m時(shí)，當(dāng)制導(dǎo)炮彈時(shí)間到達(dá)tf時(shí)，制導(dǎo)結(jié)束時(shí)脫靶量線性增大，以5 m為基本單位，制導(dǎo)炮彈脫靶量隨xr0的變化而變化規(guī)律如圖2所示。

圖2 傳統(tǒng)的帶落角約束的最優(yōu)末制導(dǎo)律不同初始制導(dǎo)距離對(duì)應(yīng)的脫靶量

可見(jiàn)在超出制導(dǎo)范圍之后的脫靶量線性增長(zhǎng)。根據(jù)脫靶量變化情況，可知在一定范圍內(nèi)，傳統(tǒng)的對(duì)固定目標(biāo)最優(yōu)的落角約束制導(dǎo)律可以達(dá)到制導(dǎo)要求，但是超過(guò)這個(gè)范圍，由于落角的影響，制導(dǎo)律能很好完成制導(dǎo)約束，但是脫靶量隨著初始距離的增大而增大，所以為了在較遠(yuǎn)距離實(shí)現(xiàn)末制導(dǎo)，可以通過(guò)調(diào)整控制落點(diǎn)與落角的導(dǎo)航系數(shù)。因?yàn)槁浣请S制導(dǎo)范圍變化不大，所以保持控制落角的導(dǎo)航系數(shù)不變，將控制落點(diǎn)的導(dǎo)航系數(shù)設(shè)為變量b，隨xr0的變化而變化。傳統(tǒng)的對(duì)固定目標(biāo)最優(yōu)的落角約束制導(dǎo)律擴(kuò)展為：

(20)

(21)

(22)

經(jīng)實(shí)驗(yàn)可得到改進(jìn)導(dǎo)航系數(shù)之后的制導(dǎo)律，制導(dǎo)范圍明顯增大。

雖然制導(dǎo)范圍增大了，但是制導(dǎo)精度不夠。因?yàn)橹茖?dǎo)律計(jì)算的原始數(shù)據(jù)來(lái)自于導(dǎo)引頭，導(dǎo)引頭導(dǎo)致動(dòng)力學(xué)滯后，所以在改進(jìn)落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律時(shí)，要考慮由導(dǎo)引頭引起的動(dòng)力學(xué)滯后。

圖3 改進(jìn)后帶落角約束的最優(yōu)末制導(dǎo)律不同初始制導(dǎo)距離對(duì)應(yīng)的脫靶量

4 導(dǎo)引頭動(dòng)力學(xué)滯后下的制導(dǎo)律

導(dǎo)引頭引起的動(dòng)力學(xué)滯后，即在測(cè)量角度時(shí)有時(shí)間滯后。本文考慮在測(cè)量彈道角(炮彈速度矢量與基準(zhǔn)線之間的夾角)時(shí)的時(shí)間滯后。用延遲的η(t-τ)代替理想的η(t)，τ為延遲時(shí)間，因?yàn)閠時(shí)刻的q(t)是從η(t)得到的，根據(jù)式(7)：

q(t)、η(t)代表理想t時(shí)刻的彈目視線角與前置角；

q(t-τ)、η(t-τ)代表實(shí)際滯后情況下的彈目視線角與前置角。

(23)

所以η(t-τ)對(duì)應(yīng)的q(t-τ)為：

(24)

根據(jù)式(6)，η(t-τ)對(duì)應(yīng)的r(t-τ)為：

r(t-τ)=r(t)+vm·τ

(25)

將式(23)、式(24)、式(25)代入式(19)，有：

(24)

再根據(jù)式(1)、式(10)，可得到：

(25)

在計(jì)算、求其他制導(dǎo)炮彈的信息時(shí)，注意：

(27)

5 仿真

為了驗(yàn)證制導(dǎo)律的正確性，給定初始條件如表1所示。xm0、ym0表示制導(dǎo)炮彈初始制導(dǎo)位置坐標(biāo)，xT、yT表示目標(biāo)的位置坐標(biāo)，θ0表示初始彈道傾角，qf表示末制導(dǎo)的落角約束。

當(dāng)不考慮動(dòng)力學(xué)滯后的時(shí)候，給定彈目坐標(biāo)以及制導(dǎo)炮彈速度以及初始彈道傾角，傳統(tǒng)的制導(dǎo)律能很好的求得落角，但脫靶量精度大于1。在考慮滯后時(shí)間因素后，圖4表明，增加滯后時(shí)間項(xiàng)之后，通過(guò)調(diào)節(jié)滯后時(shí)間，脫靶量有明顯的優(yōu)化，從1.072減小到 0.020 513。

表1 制導(dǎo)系統(tǒng)初始條件

圖5、圖6表示，本文推導(dǎo)的制導(dǎo)律可以實(shí)現(xiàn)在增大落點(diǎn)精度的同時(shí)，落角精度基本保持不變。

圖4 彈目運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)比

圖5 彈目相對(duì)距離變化對(duì)比

圖6 制導(dǎo)炮彈彈道傾角變化對(duì)比

6 結(jié)論

1) 本文針對(duì)擴(kuò)大的制導(dǎo)炮彈的應(yīng)用領(lǐng)域?qū)χ茖?dǎo)炮彈提出的新要求，在大角度的三角函數(shù)與反三角函數(shù)不近似的情況下對(duì)傳統(tǒng)的最優(yōu)制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上加入了落角約束，提高了制導(dǎo)炮彈的打擊效果。

2) 為了增大制導(dǎo)炮彈的射擊自由度與初始狀態(tài)的靈活選擇度，在制導(dǎo)律中通過(guò)改變導(dǎo)航系數(shù)增大了制導(dǎo)距離。

3) 因?yàn)橹茖?dǎo)計(jì)算推導(dǎo)的原始數(shù)據(jù)來(lái)源于導(dǎo)引頭，制導(dǎo)精度不足，考慮了滯后因素，通過(guò)調(diào)節(jié)滯后時(shí)間滿足了落角要求，達(dá)到很好的落點(diǎn)。