王瑞奇，逯 程

(海軍航空大學(xué)， 山東 煙臺 264001)

隨著裝備集成化水平的提高，其組成結(jié)構(gòu)日趨復(fù)雜，退化故障問題使裝備保障工作面臨嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。實現(xiàn)裝備故障率的準(zhǔn)確預(yù)測可以為視情維修策略的制定提供建設(shè)性的指導(dǎo)，同時為裝備部門進(jìn)行下一步的備件采購任務(wù)提供參考。

目前關(guān)于故障率時間預(yù)測的研究主要有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[1-2](Artificial Neural Network,ANN)、支持向量機(jī)[3-4](Support Vector Machine,SVM)、ARMA模型預(yù)測法[5-6]等，但是ANN往往需要海量訓(xùn)練數(shù)據(jù)才能取得較理想的預(yù)測結(jié)果；而SVM的核函數(shù)比較復(fù)雜，需要引入多個參數(shù)；而像故障率這種非平穩(wěn)的復(fù)雜序列，ARMA建模法的預(yù)測效果也十分有限。因此，針對含有多種未知因素相互影響的故障率時間序列，使用單一模型難以對其進(jìn)行較高精度的預(yù)測。

在保留小波變換多分辨優(yōu)勢的基礎(chǔ)上，經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解[7](Empirical Mode Decomposition,EMD)作為一種自適應(yīng)信號分解方法，解決了小波變換中分解尺度確定與小波基選取的問題。相關(guān)向量機(jī)(Relevance Vector Machine，RVM)已在解決小樣本非線性回歸估計等問題中展現(xiàn)出了良好的性能[8],灰色理論[9]又是處理“小樣本”、“貧信息”的有效工具。本文通過EMD對故障率數(shù)據(jù)進(jìn)行分解分析，再利用相關(guān)向量機(jī)與灰色模型預(yù)測，將各分量預(yù)測值疊加，得到最終結(jié)果。

1 經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解

通過對復(fù)雜信號進(jìn)行自適應(yīng)多尺度分解，EMD算法逐步展現(xiàn)了其在非線性非平穩(wěn)信號分析領(lǐng)域所特有的優(yōu)勢。EMD是將時間序列中不同尺度的波動或趨勢逐級分解為一系列具有不同特征尺度的IMF分量。每個IMF分量具有一定的物理意義，分解結(jié)果突顯了信號的局部特征，進(jìn)一步分析即可準(zhǔn)確把握原始信號的特征信息。

IMF必須具備下面兩個條件：一是在整個時間范圍內(nèi)，局部極值點和過零點數(shù)目相同或至多相差一個；二是在任意時刻點，其上下包絡(luò)線關(guān)于時間軸局部對稱。若為包含n個數(shù)據(jù)的時間序列，其EMD的計算步驟為[7]：

① 確定X的所有極大值與極小值點，分別利用三次樣條插值法擬合原序列的上包絡(luò)線U1和下包絡(luò)線L1，均與原序列長度相同，二者的平均為均值包絡(luò)線M1：

M1(t)=[U1+V1]/2

(1)

② 令H1=X-M1，對H1重復(fù)步驟①直至其滿足IMF條件，記C1=H1為X的第一個IMF分量。

③ 將R1=X-C1作為原始序列，重復(fù)上述步驟得到X的第2～m個IMF分量與一個余量(RF)R，結(jié)束篩選過程。最終原序列表示為：

(2)

從以上的過程可以看出，EMD分解后的IMF分量實質(zhì)上包含了從高頻到低頻的不同頻率成分，RF分量則代表了原始序列的平均趨勢。

2 RVM 預(yù)測模型

RVM是一種新的非線性稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)理論，其良好的泛化性能和較少的相關(guān)向量使其在預(yù)測領(lǐng)域逐步成為新熱點，其回歸模型原理[10]如下：

ti=y(xi,ω)+εi

(3)

式(3)中，樣本Gaussian噪聲εi～N(0,σ2)。類似于SVM的表達(dá)式，將上式用一系列核函數(shù)表示為：

(4)

式(4)中，ω=[ω0，ω1，…,ωN]T為權(quán)參數(shù)向量；K(·,·)為核函數(shù)。因此可以推斷出p(ti|xi)=N(ti|y(xi,w),σ2)，即ti滿足ti～N(y(xi,w),σ2)。為方便表達(dá)，引入一個超參數(shù)β=σ-2，則整個訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)組的似然函數(shù)表示為：

(5)

式(5)中，t=[t1,t2,…,tN]T；Φ∈RN×(N+1)是設(shè)計矩陣，定義為Φ=[φ(x1),φ(x2),…,φ(xN)]T，基函數(shù)向量為φ(xi)=[1,K(xi,x1),…,K(xi,xN)]T，i=1,2,…,N。

(6)

式(6)中，在超參數(shù)α=[α1,α2,…,αN]中的每個αj都相互獨(dú)立且只與對應(yīng)的權(quán)值ωj相關(guān)。利用式(5)和式(6)，根據(jù)貝葉斯公式即可得到ω后驗分布的表達(dá)式：

(7)

由于p(t|ω,β)和p(ω|α)均為Gaussian分布，二者乘積也同樣滿足該分布；而p(t|α,β)不含ω，可視作歸一化系數(shù)，式(7)改寫為：

p(ω|t,α,β)=N(ω|μ,∑)

(8)

式(8)中，均值矩陣μ和協(xié)方差矩陣∑分別為：

∑=(βΦTΦ+A)-1

(9)

μ=β∑ΦTt

(10)

其中，Α=diag(α0,α1,…,αN)。若要得到ω的后驗分布，必須對兩個影響參數(shù)β和αj進(jìn)行優(yōu)化，具體方法為最大化邊緣似然函數(shù)p(t|α,β)。對p(t|α,β)等號兩邊取對數(shù)得到目標(biāo)函數(shù)后，再分別對αj和β求偏導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，得到兩個參數(shù)的迭代計算公式為：

(11)

(12)

γj=1-αj∑jj

(13)

對RVM模型進(jìn)行訓(xùn)練就是通過迭代計算不斷更新μ和∑，直至參數(shù)收斂或達(dá)到最大迭代次數(shù)。

噪聲方差σ2也通過迭代算法求得：

(14)

在超參數(shù)估計的收斂過程中，通過最大似然法得到αMP和σMP。若給定新的輸入值x*，則相應(yīng)預(yù)測輸出的概率分布服從Gaussian分布：

(15)

y*=μTφ(x*)

(16)

(17)

3 GM(1,1)預(yù)測模型

由于故障率變化趨勢含有一些復(fù)雜的不確定及未知因素，而灰色模型對“貧信息、少數(shù)據(jù)”的時間序列具有良好的預(yù)測效果，因此本文采用GM(1,1)模型對EMD分解后的RF項進(jìn)行預(yù)測。

設(shè)原始時間序列為[11]：

X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}

(18)

對X(0)做一次累加生成(1-Accumulated Generating Operation,即1-AGO)得到新序列X(1)：

X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}

(19)

(20)

其差分形式(灰色微分方程)為：

x(0)(k)+vz(1)(k)=u

(21)

其中，z(1)(k)=[x(1)(k-1)+x(1)(k)]/2，k=2,3,…,n為GM(1,1)模型的背景值，Z(1)={z(1)(1),z(1)(2),…,z(1)(k)} 即為X(1)的緊鄰均值序列。

微分方程中的參數(shù)向量為：

Q=[v,u]T

(22)

則待測參數(shù)的最小二乘解滿足：

Q=(BTB)-1BTY

(23)

式(23)中：

(24)

Y=(x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n))T

(25)

若規(guī)定x(1)(1)=x(0)(1)，則GM(1,1)微分方程的解為：

(26)

還原得到原始序列的預(yù)測公式：

(27)

4 實例分析

以故障率預(yù)測的經(jīng)典算例進(jìn)行分析，選取波音757-700飛機(jī)的故障率數(shù)據(jù)為研究對象，數(shù)據(jù)采集來自文獻(xiàn)[12]，從1996年9月—1998年8月兩年內(nèi)共24個數(shù)據(jù)，如圖1所示。

圖1 故障率時間序列

為驗證本文方法，通過EMD對前20個數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，結(jié)果如圖2所示，最后4個故障率數(shù)據(jù)作為預(yù)測結(jié)果檢驗。通過圖2可以看出故障率數(shù)據(jù)分解為1個RF項和3個IMF項，各分量更簡單也更具各自的規(guī)律性，在此基礎(chǔ)更易建模分析。

圖2 故障率數(shù)據(jù)EMD分解結(jié)果

在利用GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測的過程中，不斷加入新的預(yù)測信息向后預(yù)測，以提高精度，最后將各分量預(yù)測結(jié)果疊加得到故障率最終預(yù)測值。為將本文方法與已有方法進(jìn)行對比分析，表1列出了本文方法與各模型的預(yù)測結(jié)果，其中，平均絕對百分比誤差(MAPE)為預(yù)測性能評價指標(biāo)，LS-SVM選取Gaussian核函數(shù)，核參數(shù)和正則化參數(shù)通過留一交叉驗證法確定，嵌入維數(shù)為4。

表1 模型預(yù)測結(jié)果

從表1的預(yù)測結(jié)果可以看出，在與相關(guān)向量機(jī)和最小二乘支持向量機(jī)的預(yù)測結(jié)果對比中，本文方法的預(yù)測精度較高，說明EMD的分解是有效的，在其基礎(chǔ)上對各分量利用RVM與GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測建模也符合故障率變化規(guī)律。

5 結(jié)論

實例分析表明，本文方法可以有效改善預(yù)測精度，具有工業(yè)應(yīng)用前景，可以為維修決策人員提供前瞻性指導(dǎo)。